Теория пределов

Размещено на http://www.allbest.ru//

Теория пределов



Абсолютная величина

Абсолютной величиной , или модулем действительного числа а называют неотрицательное число |a|, равное числу а, если а ? 0, и числу -а, если а<0

Например, |4|=4; |0|=0; |-6|=-(-6)=6;

Следствие из определения:

1)|a|=|-a|

2)|a|=max{a;-a},a?|a|;-a?|a|

3)|a*b|=|a|*|b|; |a/b|=|a|/|b|

4)|a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа - это расстояние от начала отсчёта до точки,которой соответствует это число на координатной прямой. Из определения абсолютной величины модуля следует, что при любом значении числа а>0:

1)|x|<ax]-a;a[

2)|x|?ax[-a;a]

3)|x|>ax]-?;-a[U]a;+?[

4)|x|?ax]-?;a]U[a;+?[

5)|x-a|<е-е<x-a<еa-е<x<a+еx]a-е;a+е[

Интервал ] a-е, a+е[ называется окрестностью, точкой е- окрестностью, точки а; е называется радиусом окрестности.



Предел функции

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а; в самой точке х=а функция может быть и не определена.

Число b называется пределом функции y=f(x) при х стремящемся к а, если для любого числа такое b >0, что при всех х, удовлетворяющих условию

0<|x-a|<b (1)

Выполняется неравенство

|f(x)-b|<е (2)

Обозначения предела функции f(x) при х стремящемся к а :

(3)

x>a => f(x)>b

Геометрический смысл предела

Неравенство (1) означает, что х отстает от точки а не дальше, чем на b, т.е. принадлежит b - окрестности точки а на оси Ох.

Неравенство (2) означает, что функция y=f(x) не выходит из интервала ] a-е, a+е[ оси Оу, т.е. принадлежат е-окрестности точки b этой оси.

Следовательно, если выполняется неравенство (3),то точка А графика функции y=f(x) должна находиться в полоске шириной 2е, ограниченной прямыми y=b-е, y=b+е для всех значений х, удаленных от точки а не дальше чем на b.

Пример 1.

Докажем, что предел постоянной функции равен этой же постоянной. В самом деле, если f(x)=C для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а , то для таких х

|f(x)-C|=|C-C|=0<е, е-любое положительное число

Пример 2.

f(x)=x,

В самом деле, если ?- производное положительное число, то выбрав b=??, получим, что |f(x)-a|=|x-a|<е, как только |x-a|<<b

Пример 3.

определена всюду, за исключением точки х=-3. Докажем, что эта функция при х>3, f(x)>-6

В самом дле, х?-3

Следовательно, , если |x-(-3)|< е при х?-3. Поэтому если для произвольного положительного числа е выбрать b=??, то при |x-(-3)|<b и х?-3

, а это и означает, что

Рассматривают также односторонние пределы функции: предел слева

(4)

(х стремится к а, оставаясь меньше а: х<а) и предел справа

(5)

( x стремится к а, оставаясь больше а: х>a).Когда а=0,то вместо 0-0 пишут -0,вместо 0+0 пишут +0,поэтому последние принимают вид:

;

Отметим без доказательства, что если односторонний предел равен

То предел b в точке х=а существует и равен односторонним пределам:

Если односторонние пределы различны:

или хотя бы один из них существует, то не существует и предел функции в точке x=a.

Говоря о пределе функции, мы предполагали что а- конечное число. Однако части приходится исследовать и тот случай, когда х стремится к бесконечности (х>-?,х>+?), т.е. неограниченно возрастает по модулю. Сформулируем определение предела функции для этого случая.

Число b называется пределом функции y=f(x) при х, стремящемся к -? или +?,если для любого числа ??>0 можно указать такое положительное число М ,чтобы для всех значений х, удовлетворяющих условию |x|>M,выполнялось неравенство : |f(x)-b|<??. Обозначения (3) применяются и в случаях, когда а=-? или а=+?.

Пример .

. Действительно,

Бесконечно малая функция и их свойства

(БМ)

Функция б=б(х) называется БМ при х > а или х>?, если

Примеры .

1) Ф-ия б(х)=(х-3)² есть БМ при х>3 т.к.

2) Ф-ия

3)б(x)=0 - это единственная постоянная функция, являющаяся БМ

Принимая во внимание понятие предела функции, определение БМ можно также сформулировать следующим образом.

Функция ??=??(х) называется бесконечно малой при х>а, если, задав любое число ??>0,можно указать такое b ,что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-a|<b выполняется неравенство |б(x)|<е.

Свойство бесконечно малых

Теорема 1.(связь между функцией, ее пределом и БМ)

Если функция y=y(x) предел b при х>a, то

y(x)=b+б(x) , y=b+б (7)

где б=б(х)- БМ при х > а

Обратно: (7) >

Доказательство.

Если , то по определению ? е>0 ? b>0, что |y-b|<е при 0<|x-a|<b. Обозначив y-b=б получим, что |б|<е, если 0<|x-a|<b. Следовательно б- БМ при х>а.

Обратно, если y=b+б, где б-БМ при х>а, то при |б|<е, когда 0<|x-a|<b. Поскольку б=у-b, то |y-b|<е при 0<|x-a|<b. Следовательно,

Отметим, что равенство (7) часто используется при нахождении предела переменной.

Теорема 2.

Алгебраическая сумма конечного числа БМ при при х>а

Доказательство.

Пусть u(x)=б(x)+в(x)+г(x), где б(x),в(x),г(x)- БМ при х>а . Следовательно

? е>0 ? b₁, что |б(x)| < , если |x-a|<b₁

? b₂, |x-a|<b_{2 ,} => |в(x)| <

? b₃, |x-a|<b₃ => |г(x)| <

Пусть b=min{b₁,b₂,b₃}. Тогда при |x-a|<b будут выполняться все указанные неравенства, т.е. |u(x)|? |б(x)|+|в(x)|+|г(x)|< , |u(x)|<е . Итак, u(x) - БМ при х>а.

Замечание. Если число слагаемых увеличивается, то утверждение теоремы может оказаться неверным, сумма х слагаемых не является БМ.

Где х =1,2,3,…

Хотя каждый из слагаемых при х>? есть БМ функция.

Функция f(x) , определённа я на D, называется ограниченной, если существует такое число М, что ? x? D выполняется неравенство: |f(x)|?M => -M?f(x)?M, x? D. График ограниченной функции расположим в полосе между двумя прямыми у=-М, у=М, параллельными оси Ох.

Примером ограниченной функции является синус: |sin x|?1.

Теорема 3.

Произведения БМ на ограниченную функцию есть БМ.

Доказательство.

Пусть б=б(х)-БМ при х>а, а z=z(x)- функция , ограниченная в некоторой окрестности точки х=а, т.е. для некоторого числа с>0 найдется окрестность этой точки, в которой |z(x)|<c. Для всякого е>0 сложно указать окрестность точки x=a, в которой выполняется неравенство:

В наименьше из этих двух окрестностей будет выполнено неравенство:

Следствие 1.

Произведение двух БМ есть БМ.

Следствие 2.

Произведение БМ на постоянную есть БМ. (БМ и постоянная - ограниченные функции)

Бесконечно большие функции (ББ)

Функция y=f(x) называется ББ при x>a, если ? N>0, ? b>0, что для всех значений х, отличных от а и удовлетворяющих условию 0<|x-a|<b выполняется нер-во

|f(x)|>N (8)

ББ ф-я предела не имеет при х>а , но иногда условно говорят, что ее предел равен бесконечности:

Если f(x) стремится к бесконечности при х>а, принимая только положительные или только отрицательные значения, то пишут

Если ф-я f(x) стремится к бесконечности при x>?, то пишут



Пример 1.

1) при х>0 ББ ф-я . В самом деле, при любом N>0 нер-во будет выполнено, если . Эта ф-я принимает положительные значения при x>0 () и отрицательные при x<0 ().

2) - ББ ф-я при х>2. Действительно,? N>0 нер-во >N будет выполнено, если или . Данная ф-я принимает только положительные значения .

Теорема 4. (связь БМ с ББ)

Если ф-я б=б(х) стремится к нулю при х>а (х>?) и не обращается в нуль, то ф-я стремится к бесконечности.

Доказательство. При любом, сколь угодно большом числе N>0 нер-во будет выполнено, если . Последнее нер-во выполняется для всех значений б(х), начиная с некоторого, т.к. б(х)>0.

Основные теоремы о пределах

Теорема 5. (единственность предела).

Функция y=y(x) не может иметь более одного предела при х>а.

Доказательство.

Предположим противное, пусть . предел модуль функция теорема

Согласно теореме 1 из этих равенств следует, что y=b₁+б₁ , y=b₂+б₂, где б₁, б₂-БМ. Поэтому b₁+б₁?b₂+б₂ => b₁-b₂=б₂-б₁ . Последнее равенство невозможно, т.к. в левой части стоит постоянная величина, отличная от нуля, в правой - БМ.

Теорема 6. (арифметические операции над пределами)

Если каждая из функций y=y(x) , z=z(x) имеет предел при х>а, то сумма, разность и произведение этих функций также имеют пределы, причем

Если, кроме того, , то и частное y(x)/z(x) имеет предел, причем

Доказательство.

Пусть , тогда на основании Теоремы 1. y(x) =b + в(x), z(x) = c + г(x) , где в(x), г(x) - БМ при х>а. Имеем y(x) ± z(x) = (b±c) + ( г(x) ± в(x)) , где (b+c) - постоянная; ( г(x) ± в(x)) - БМ при х>а. Согласно Теореме 1 из последнего равенства следует

Поскольку

y(x)*z(x)=(b+в(x))*(c+г(x))=b*c+(b*г(x)+c*в(x)+в(x)*г(x)) => y(x)*z(x)=b*c+b(x), где bc - const, b(x)=(b*г(x)+c*в(x)+в(x)*г(x)) - БМ при х>а , то на основании Теоремы 1 получаем

Размещено на Allbest.ru

...