Розв’язання системи чотирьох лінійних рівнянь. Метод Крамера
Розробка програмного забезпечення для розв’язку задачі математичного характеру. Історія виникнення методу Крамера, характеристика його переваг, можливе використання. Створення алгоритму програми, перевірка отриманих розрахунків в програмі Excel.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 28.11.2016 |
| Размер файла | 823,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара
Кафедра радіоелектроніки
КУРСОВА РОБОТА
з «Обчислювальної математики»
на тему: «Розв'язання системи чотирьох лінійних рівнянь. Метод Крамера»
Студентки I курсу групи КМ-14-1
«Мікро- та наноелектроніка»
Тертишник А.М.
м. Дніпропетровськ - 2015 рік
Реферат
Дана курсова робота містить 27 сторінкок, 5 рисунків, 5 літературних джерел.
Мета роботи: розглянути задачу знаходження методом Крамера невідомих в системі лінійних алгебраїчних рівнянь.
Створити програму яка буде вирішувати різні системи лінійних алгебраїчних рівнянь і в подальшому може бути використана багатьма галузями науки як допоміжний пристрій для розрахунків чи як засіб перевірки, який полегшує рішення поставленої задачі.
Ключові слова: МЕТОД КРАМЕРА, ДЕТЕРМІНАНТ, КОРЕНІ РІВНЯННЯ, СИСТЕМА ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ, ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ.
ЗМІСТ
- ВСТУП
- 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
- 1.1 Історія
- 1.2 Переваги та недоліки
- 1.3 Математичний опис
- 1.3.1 Система алгебраїчних рівнянь
- 1.3.2 Метод Крамера
- 1.3.3 Рішення системи рівнянь за допомогою методу Крамера
- 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
- 3. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
- 3.1 Алгоритм програми
- 3.2. Код програми
- 3.4 Перевірка отриманих розрахунків в програмі Excel
- ВИСНОВОК
- СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
ВСТУП
Обчислювальну техніку останніми роками широко застосовують у всіх сферах діяльності людини. Вона стала каталізатором науково-технічного прогресу. Бурхливий розвиток ЕОМ сприяв широкому процесу математизації науки, техніки і господарства в цілому. Саме розробка і застосування математичних методів розв'язування прикладних задач на базі ЕОМ є предметом сучасної математики.
Математика - одна з найдавніших наук - виникла з практичних потреб людини. Розвиток математики сприяв загальному науково-технічному прогресу цивілізації, а потреби природознавства, техніки і практичної діяльності людей становили перед математикою нові задачі і стимулювали її розвиток.
Однією із таких задач є розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера, де використовують техніку для обчислень.
Розвиток обчислювальної математики тісно пов'язаний з розвитком програмування, яке йде шляхом спрощення способів спілкування людини з комп'ютером. На сучасному етапі розвитку виникають мови програмування наближені до природних, розвиваються проблемно орієнтовані мови програмування, засоби візуального програмування, створюються пакети прикладних програм. Виникають і інтенсивно розвиваються структурне програмування і спеціалізовані мови для розробки структурованих програм.
Завдання на курсовий проект передбачає розробку програмного забезпечення для розв'язку задачі математичного характеру. Для її реалізації я вибрала мову Microsot Visual Studio 2010
Microsoft Visual C++ (MSVC) -- інтегроване середовище розробки програм на мові C++, розроблена фірмою Microsoft.
C++ компільована мова програмування загального призначення, поєднує властивості як високорівневих, так і низькорівневих мов програмування. У порівнянні з його попередником, мовою програмування Сі, найбільшу увагу приділено підтримці об'єктно-орієнтованого та узагальненого програмування. Назва «мова програмування C++» походить від мови програмування C, в якому унарний оператор ++ позначає інкремент змінної.
Мова програмування C++ широко використовується для розробки програмного забезпечення. А саме, створення різноманітних прикладних програм, розробка операційних систем, драйверів пристроїв, а також відео ігор і багато іншого. Існує декілька реалізацій мови програмування C++ - як безкоштовних, так і комерційних.
Мова програмування С++ була створена на початку 1980-х років, його творець співробітник фірми Bell Laboratories - Бьерн Страуструп.
Бьерн Страуструп
1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
1.1 Історія
Метод Крамера (правило Крамера) - спосіб розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з числом рівнянь дорівнює кількості невідомих з ненульовим головним визначником матриці коефіцієнтів системи (причому для таких рівнянь, рішення існує і єдино). Названий по імені Габріеля Крамера (1704-1752), який запропонував цей метод в 1750 р
Рис 1.1. Крамер
1.2 Переваги та недоліки
Переваги методу:
- простий метод;
- незалежність обчислення визначників, отже, процес обчислення визначників може бути відмежован.
Недоліки методу:
- висока ресурсомісткість обчислення визначників;
- чутливість до помилок округлен
1.3 Математичний опис
1.3.1 Система алгебраїчних рівнянь
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) називають систему виду:
(1.1)
де )- невідомі; - вільні члени системи; - коефіцієнти системи.
В матричному вигляді рівняння (1.1) прийме вигляд:
,
де - вектор невідомих; - вектор вільних членів;- матриця коефіцієнтів СЛАР.
Розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.1) називають вектор , координати якого при підстановці у систему, що розв'язують, перетворюють кожне рівняння системи в тотожність .
Кількість невідомих m в системі називають порядком СЛАР. Систему лінійних алгебраїчних рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один ненульовий розв'язок. В протилежному випадку СЛАР називають несумісною. СЛАР називається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок (випадок, коли m=n). Систему називають невизначеною, якщо вона має безліч розв'язків (m?n). Система називається виродженою, якщо головний визначник системи дорівнює нулю. Система називається невиродженою, якщо головний визначник системи не дорівнює нулю.
Дві системи називаються еквівалентними, якщо ці системи сумісні, визначені і мають однаковий розв'язок.
СЛАР можна розв'язати на ЕОМ чисельними методами, якщо вона сумісна, визначена, невироджена.
Методи розв'язування систем лінійних рівнянь можна поділити на дві групи: точні й ітераційні.
Точними називають такі методи, які дають змогу знайти точний розв'язок системи (1.1) за допомогою виконання скінченої кількості арифметичних операцій у припущенні, що всі обчислення виконуються точно (без округлень), а коефіцієнти системи і вільні члени - точні числа. Але на практиці всі обчислення виконуються з обмеженою кількістю десяткових розрядів, а ірраціональні коефіцієнти і вільні члени, якщо такі є, замінюються раціональними числами. Тому в процесі обчислення вдаються до округлень, а це означає, що розв'язки, які обчислюються за точними методами, фактично є наближеними числами з певними похибками (округлень).
Ітераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв'язок системи (1.1) із заздалегідь вказаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами. Точний розв'язок системи (1.1) за допомогою ітераційних методів може знайти тільки теоретично як границю збіжного нескінченного процесу. Розв'язуючи системи рівнянь ітераційними методами, крім похибок округлення, треба враховувати похибку методу.
До точних методів входить метод Крамера, який ми і будемо розглядати.
1.3.2 Метод Крамера
Метод Крамера - це метод розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником основної матриці (тобто у разі, коли система рівнянь має єдине рішення). Основною математичною дією при вирішенні системи рівняння методом Крамера є обчислення визначників матриць розмірністю n (де n - кількість рівнянь в системі).
Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь виду
де x1, x2, ..., xn - невідомі змінні, ai j, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n - числові коефіцієнти, b1, b2, ..., bn - вільні члени. Рішенням СЛАР називається такий набір значень x1, x2, ..., xn при яких всі рівняння системи звертаються в тотожності.
У матричному вигляді ця система може бути записана як А*Х=В:
де - А - основна матриця системи, її елементами є коефіцієнти при невідомих змінних, В- матриця - стовпець вільних членів, а Х - матриця - стовпець невідомих змінних. Після знаходження невідомих змінних x1, x2, ..., xn, матриця Х стає рішенням системи рівнянь і рівність А*Х=В звертається в тотожність.
Будемо вважати, що матриця А - невироджена, тобто, її визначник відмінний від нуля. У цьому випадку система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера. (Методи рішення систем при |A|=0 розібрані в розділі рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь).
Метод Крамера грунтується на двох властивостях визначника матриці: Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
крамер excel математичний
1. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) квадратної матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю:
Отже, приступимо до знаходження невідомої змінної x1. Для цього помножимо обидві частини першого рівняння системи на А1 1, обидві частини другого рівняння - на А2 1, і так далі, обидві частини n-ого рівняння - на An +1 (тобто, рівняння системи множимо на відповідні алгебраїчні доповнення першого стовпця матриці А )
Складемо всі ліві частини рівняння системи, згрупувавши доданки при невідомих змінних x1, x2, ..., xn, і прирівняємо цю суму до суми всіх правих частин рівнянь:
Якщо звернутися до озвучених раніше властивостей визначника, то маємо
і попередня рівність прийме вигляд
звідки
Аналогічно знаходимо x2. Для цього множимо обидві частини рівнянь системи на алгебраїчні доповнення другого шпальти матриці А.
Складаємо все рівняння системи, групуємо доданки при невідомих змінних x1, x2, ..., xn і застосовуємо властивості визначника:
звідки
потім
і звідки попередня рівність прийме вигляд
Аналогічно знаходяться всі інші невідомі змінні.
Отримуємо формули для знаходження невідомих змінних за методом Крамера
Зауваження. Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь однорідна, тобто , то вона має лише тривіальне рішення (при ). Дійсно, при нульових вільних членах всі визначники будуть рівні нулю, так як будуть містити стовпець нульових елементів. Отже, формули дадуть .
1.3.3 Рішення системи рівнянь за допомогою методу Крамера
Дано систему лінійних рівнянь:
Випишемо головний визначник системи (А) та стовпець вільних членів (В):
Рахуємо визначник А. Однак для зручності розрахунків віднімемо від першого рядка другий:
Рахуємо його:
=-2*2*(2*2-(-1)*1)+1*(1*2-(-1)*1)+1*(1*1-2*1) = -24 = ,
= -24;
Як описувалось в пункті 1.3.2. знаходимо Для цього замінюємо в головному визначнику перший стовпець на стовпець вільних членів (В) і рахуємо визначник:
= 8*(-1)*((-1)*(-1)-1*2) - 1*(2*(-1)-1*1) +1*(2*2-(-1)*1) -2*2*(2*2-(-1)*1) +
+1 *(1*2-(-1)*1)+1*(1*1-2*1) = -48,
=-48;
= -72;
Аналогічним способом знаходимо = -96.
Потім за формулою Крамера знаходимо відповідно :
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ:
Метою курсової роботи є розв'язання лінійних рівнянь методом Крамера. Для її досягнення необхідно:
1. Скласти блок-схему, яка описує алгоритм обчислювання лінійних рівнянь за методом Крамера;
2. Написати програму на алгоритмічній мові С++ відповідно до блок-схеми;
3. Протестувати написану програму;
4. Перевірка отриманих розрахунків в програмі Excel.
3. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
3.1 Алгоритм програми
Алгоритм роботи програми (рис. 3.1.):
· Програма обчислює головний визначник системи
· Перевіряє, чи дорівнює він нулю
o Якщо дорівнює нулю, то коренів немає і після цього дії більше не будуть виконуватись (Кінець)
o Якщо не дорівнює нулю, то рахує допоміжні визначники
Обчислює корені рівняння
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.3.1. Алгоритм роботи програми
3.2 Код програми
#include <tchar.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int mypow(int x){
int y=1;
for(int z=1;z<=x;z++){
y*=-1;
}
return y;
}
class matrix{
public:
matrix(){
size=0;
for(int x=0;x<=100;x++)
for(int y=0;y<=100;y++)
m[x][y];
}
/*Рекурсивная функция вычисления определителя */
int GetDet(){
int result=0;
if(size==1){ //Если у матрицы размерность 2(математическая, С`шная 1), то вычисляем определитель
return m[0][0]*m[1][1]-m[0][1]*m[1][0];
}
else{
/*Вычисляем определитель путём вычёркивания строк и столбцов. Берём элементы из первой строки. */
for(int x=0;x<=size;x++){
result+= mypow(x+2)*m[0][x]*(GetNew(x)).GetDet(); //рекурсия...
}
return result;
}
}
/*Функия получения новой матрицы из старой, путём вычёркивания первой(нулевой) строки и х`овой колонки*/
matri GetNew(int st){
matrix result;
int z=0;
result.size=size-1;
for(int x=1;x<=size;x++){
for(int y=0;y<=size;y++){
i(y!=st){
result.m[x-1][z]=m[x][y];
z++;
}
}
z=0;
}
return result;
}
/*Функция вывода на экран квадратной матрицы*/
void echo(void){
for(int x=0;x<=size;x++){
for(int y=0; y<=size;y++){
cout<<m[x][y]<<" ";
}
cout<<"\r\n";
}
}
/*Функция вывода на экран матрицы-столбца */
void echoEx(void){
for(int x=0;x<=size;x++){
cout<<m[x][0]<<"\r\n";
}
}
/*Функция установки размерности матрицы*/
inline void SetSize(int r){
size=r;
}
/*Функция установки значения элемента*/
inline void SetValue(int value, int x , int y){
m[x][y]=value;
}
/*Функция замены колонки на матриуц-столбец*/
inline void SetColumn(int column , matrix source){
for(int x=0;x<=size;x++){
m[x][column]=source.m[x][0];
}
}
private:
int m[100][100]; //сама матрица
int size; //размерность
};
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
matrix first,second,temp; //наши матрицы
int element,size,maindet; //необходимые переменные
bool c=1; //для цикла
cout<<"The Kramer method for the system of linear equations.\r\n\r\n";
while(c){
cout<<"\r\nInsert size of matrix:";
/*тут небольшая неровность: в математике матрица начинается с 1 столбцы, а в С - с 0-го */
cin>>size;
first.SetSize(size);
second.SetSize(size);
/* вводим основную матрицу */
for(int x =0; x<=size; x++){
for( int y=0; y<=size;y++){
cout<<"\r\nInsert ["<<x<<";"<<y<<"] element of first matrix:";
cin>>element;
first.SetValue(element,x,y);
}
}
/* вводим матрицу-столбец с числами*/
for(int x=0; x<=size; x++){
cout<<"\r\nInsert "<<x<<" element of second matrix:";
cin>>element;
second.SetValue(element,x,0);
}
maindet = first.GetDet(); //вычисляем основной определитель(на него будем делить)
if(maindet!=0){
for(int x=0;x<=size;x++){ //кол-во элементов(переменных в линейном уравнении) == размерности главной матрицы.
//Заменяем колонку, вычисляем определитель , делим на главный определитель, пробуем сократить и выводим
temp = first;
temp.SetColumn(x,second); //заменянем колонку
cout<<"\r\nElement "<<x<<" = "<<temp.GetDet()<<"/"<<maindet; // выводим на экран
}
}else{ //облом, главный определитель == 0, Крамер не прокатит :(((
cout<<"\r\nSorry, but the main determinat of first matrix is 0.Stop.";
}
// The End
cout<<"\r\n\r\nFinish!";
cout<<"\r\nDo you want to again calculate new matrix(1/0)?:";
cin>>c;
}
return 0;
}
3.3 Результат виконання програми
Розглянемо результат виконання програми на наступному прикладі:
Для рішення запустимо програму, вводимо з клавіатури порядок системи (розмір), далі вводимо через Enter коефіцієнти при невідомих членах та стовбець вільних членів.
Рис. 3.2. Результат виконання програми
Далі програма рахує визначник і якщо він не дорівнює «0», то видає нам результат (рис. 3.2.)
3.4 Перевірка отриманих розрахунків в програмі Excel
Перевіримо обчислення системи лінійних рівнянь методом Крамера за допомогою програми за допомогою програми Excel. Для цього розв'яжемо приклад вирішений у пункті 3.3.
Рис. 3.3. Перевірка отриманих розрахунків в програмі Excel
ВИСНОВОК
Результати зробленої курсової роботи дають підставу зробити такі висновки:
Було розглянуто задачу знаходження методом Крамера невідомих в системі лінійних алгебраїчних рівнянь.
Складено блок-схему до програми.
Створено програму, яка розраховувує різні системи лінійних алгебраїчних рівнянь і в подальшому може бути використана багатьма галузями науки як допоміжний пристрій для розрахунків чи як засіб перевірки, який полегшує рішення поставленої задачі.
Зроблено перевірку отриманих розрахунків в програмі Excel.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Ляшенко М.Я., М.С. Головань. Чисельні методи. / Ляшенко М.Я., М.С. Головань. - К.: ”Либідь”, 1996. - 285 с.
2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. - Москва: АСТ: Астрель, 2010. - 703
3. Литвниненко Н.А. Технология программирования на С++ / Литвиненко Н.А. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. - 281с.
4. Баврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественно-научным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. - Москва: Академия, 2010. - 611 с.
5. Шипачев, В. С. Основы высшей математики: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев. - Москва: Юрайт, 2009. - 478 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.
практическая работа [42,3 K], добавлен 09.11.2009Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Поняття та значення симплекс-методу як особливого методу розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального рішення. Розв'язання задачі з використанням програми Simplex Win.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 30.03.2015Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.
презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.
задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Задачі, ідея та формули методу Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь, особливості конкретні приклади його використання у випадку дійсних різних коренів. Загальні властивості алгебраїчних рівнянь. Загальна характеристика процесу квадратування коренів.
контрольная работа [118,8 K], добавлен 21.04.2010Розв'язання системи рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера. Знаходження власних значень і векторів матриці, косинуса кута між векторами. Визначення з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у магазині. Диференціювання функцій.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 06.03.2013Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014
