Нечёткие величины
Предназначение и применения теории нечётких величин в задачах. Рассмотрение и специфика различных способов оценивания показателей работы, как численных, так и качественных, при помощи нечётких чисел. Характеристика и особенности принципа обобщения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.12.2016 |
| Размер файла | 354,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
«Финансовый университет при Правительстве
Российской Федерации»
Кафедра «Математика»
Домашнее творческое задание
по теме: «Нечёткие величины»
Дисциплина «Нечеткие множества и мягкие вычисления»
Выполнил:
Студент гр. ПМ 3-2
Мальцева Е.В.
Проверила:
к.ф-м.н., профессор Гисин В.Б.
Москва - 2016
Оглавление
- Аннотация
- Введение
- 1. Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа
- 2. Принцип обобщения
- Заключение
- Список используемой литературы
Аннотация
Домашняя творческая работа посвящена вопросам применения теории нечётких величин в задачах. Рассматриваются различные способы оценивания показателей работы, как численных, так и качественных, при помощи нечётких чисел. Представлены основные определения, которые более точно дают понять тему сообщения. Разобраны примеры решения задач с нечеткими величинами.
В данной работе два параграфа:
1. Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа;
2. Принцип обобщения.
В каждом параграфе есть: теоретическая часть и часть с примерами. Для большей наглядности в примерах представлены графики.
Введение
Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или, когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.
В этой работе обсуждаются методы исчисления выражений с неточными величинами, представленным в виде распределений возможности на множестве действительных чисел. Эти методы находятся в полном соответствии с методами расчета неопределенностей или теорией ошибок и представляют собой их расширение на случай взвешенных интервалов. Их значение показано на ряде примеров в конце этой главы. В сущности, в исчислении нечетких величин предлагается один из вариантов развития теории чувствительности, которая может приобретать оттенки без заметного увеличения объема необходимых вычислений. Когда затруднительно применение теории случайных функций, на смену ей также приходит исчисление нечетких величин, хотя, конечно, ценой некоторой потери информации - большей или меньшей в зависимости от характера решаемых проблем.
В разделе: «принцип обобщения» ставится следующая задача: как по заданным невзаимодействующим возможностным переменным X, Y, Z,…, каждая из которых характеризуется нечеткой величиной, ограничивающей ее область определения, вычислить нечеткую величину, которая ограничивает область определения переменной f (X, Y, Z,…), где f - заданная функция принимающая действительные значения.
1. Нечеткие величины, нечеткие интервалы и нечеткие числа
Процесс управления в технических системах основывается на количественном представлении сигналов в рассматриваемой системе. Такое представление связано с рассмотрением нечетких отображений, нечетких функций, а также специальных нечетких множеств, которые задаются на множестве действительных чисел и служат аналогом обычных чисел, рассматриваемых в контексте четких (обычных) множеств.
С лингвистической точки зрения нечеткое число - это нечеткая величина, трактуемая как неточное, неопределенное числовое значение некоторой измеримой величины: например, «примерно три», «приблизительно семь» и т.п. нечёткий число обобщение
Нечеткая величина Q- это произвольное нечеткое множество, определенное на множестве действительных чисел, т.е. отображение мQ из R в [0,1]. Здесь функция принадлежности мQ будет естественным образом рассматриваться как функция распределения возможностей на значениях, принимаемых некоторой переменной, будем в общем случае предлагать, что функция мQ нормирована.
Всякое действительное число m, принадлежащее ядру Q (т.е. мQ(m)=1), называется модальным значением Q.
Можно определить такой тип нечеткой величины, который обобщает понятие интервала: нечеткий интервал - это нечеткая величина с выпуклой функцией, принадлежности которой квазивогнута:
?u,v, ?w ? [u,v], мQ(w)>min(мQ(u), мQ(v)).
Нечеткая величина является выпуклой тогда, и только тогда, когда ее б-срезы выпуклы, т.е. являются (ограниченными или неограниченными) интервалами. Понятие замкнутых интервалов обобщается в виде понятия нечетких интервалов, у которых функция принадлежности полунепрерывна сверху, т.е. по определению их б-срезы являются замкнутыми интервалами. Понятие компактных подмножеств множества действительных чисел R (замкнутых и ограниченных) обобщается с помощью понятия нечетких величин с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, определенными на компактном носителе. Будем называть нечетким числом полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением.
Нечеткое число - это нечеткая величина с выпуклой унимодальной функцией принадлежности. Другими словами, нечеткое число соответствует унимодальному выпуклому нечеткому множеству, заданному на универсальном множестве действительных чисел.
Нечеткий нуль - это нечеткое число с нулевым модальным значением.
Положительное (отрицательное) нечеткое число - это нечеткое число со строго положительным (отрицательным) носителем.
Если М - нечеткое число с модальным значение m, то М является возможным представлением понятия «около m». В случае же нечеткого интервала множество модальных значений само есть некоторый интервал. Нечеткая величина Q будет называться полимодальной, если существует конечное множество выпуклых нечетких подмножеств {М1|i?I} с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, таких, что Q есть объединение Мi в смысле формулы:
?щ, мF?G(щ) = max (мF(щ), мG(щ)).
Нечеткий инетрвал - это удобная форма представления неточных величин, более богатая информацией, чем обычный, точный интервал. Действительно, часто встречаются ситуации, когда требуется оценить точность некоторого параметра или обеспечить прогноз значения некоторого признака, а обычный интервал оказывается неудовлетворительным представлением. Следует лив таком случае фиксировать границы этого интервала: давать пессимистические оценки (тогда интервал окажется широким, а проводимые расчеты будут иметь ничтожную ценность из-за их неточности) или оптимистические (тогда будет существовать риск выхода таким образом определенной величины за пределы назначенной области, что подвергает сомнению получаемые «точные» результаты)? Нечткий интервал позволяет иметь одновременно пессимистическое и оптимистическое представление: носитель нечеткого интервала будет выбираться так, чтобы гарантировать «невыход» рассматриваемой величины за нужные пределы, а его ядро будет содержать наиболее правдоподобные значения.
Пусть П - мера возможности, связанная с распределением мQ, где Q - нечеткий интервал с функцией принадлежности, полунепрерывный сверху, и компактным носителем. Отметим, что в этом случае мера возможности удовлетворяет условию непрерывности мер неопределенности для монотонно возрастающих или убывающих последовательностей компактных множеств. Рассмотрим множество Р всех вероятностных мер, совсетимых с мерой возможности П, т.е. в соответствии с формулой:
P = {P|?A, N(A) ? P(A) ? П(A)}.
Пусть [q1, q2] - ядро Q* нечеткого интервала Q.
Верхняя граница множества Р достигается вероятностной мерой Р* с функцией распределения F*, такой, что
?u ? R, F*(u) = P*((-?, u]) = П((-?, u]) = sup {мQ(r) | r ? u},
Рис.1.1
Точно так же нижняя граница множества Р достигается вероятностной мерой Р* с функцией распределения F*, такой, что
?u ? R, F*(u) = P*((-?, u]) = N((-?, u]) = inf {1-мQ(r) | r > u},
т.е.
Используя определения верхних и нижних математических ожиданий, можно получить соответственно нижнее и верхнее средние значения нечеткой величины Q:
Тогда среднее значение нечеткого интервала Q будет являться множеством всех средних значений случайных величин, совместимых с Q (удовлетворяющих условию (1,30)), т.е. интервалом [Е*(Q), E*(Q)]. Кажется, вполне естественным, что среднее значение нечеткого интервала - обычный интервал. Если Q = [a, b], то легко убедиться, что E*(Q) = a, E*(Q) = b.
2. Принцип обобщения
Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция y=f(x), определенная на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x?X соответствует элемент y?Y. Функцию f называют отображением f: X>Y множества X на множество Y, а значение f(x)?Y, которое она принимает на элементе x?X, называют образом элемента x.
Принцип обобщения распространяет понятие «отображение» математического анализа и соответственно математические операции типа сложения, вычитания, умножения, деления и др. на описываемые нечеткими множествами нечеткие числа, Введение принципа обобщения дает возможность, оперируя нечеткими числами, решать при наличии лингвистически заданной неопределенности традиционные задачи теории управления: идентификации, фильтрации, прогнозирования и т.д. Классическое определение принципа обобщения, введенное Заде, выглядит следующим образом.
Согласно принципу обобщения, при заданном четком f: X>Y или нечетком f: X>HY отображении для любого нечеткого множества A= мА(x)/x, заданного на универсальном множестве X, можно определить на универсальном множестве Y нечеткое множество f(A), являющееся образом нечеткого множества A, в соответствии со следующим правилом: при четком отображении:
, y?Y.
Процедура построения множества f(A), суть поиск функции принадлежности , где нечеткое множество A задано на универсальном множестве X заключается в следующем. Произвольно фиксируется элемент y0?Y. В этом случае функцияесть проекция функции нечеткого отображения, а искомая функция принадлежности результирующего нечеткого множества f(A) является минимаксом этой проекции и функции принадлежности исходного нечеткого множества A.
Пример. Пусть нечетким множеством A=0,6/1+1/2+0,8/3 задано нечеткое число «примерно два» и четкое отображение y=f(x)=x2. Если возвести заданное нечетким множеством A нечеткое число «примерно два» в квадрат, то получим другое нечеткое множество f(A)=0,6/1+1/4+0,8/9, соответствующее новому нечеткому числу «примерно два в квадрате». Точки функции принадлежности:
x1=1?y1=±1?y1=1, мf(A)y1==0,6,
x1=1?±y1=1?y1 =1, мf(A)y2==1,
x3=1?y3=±3?y3=9, мf(A)y3==0,8.
Пример. Пусть нечеткое множество A задано функцией принадлежности мA(x)=e?x2. Тогда при четком отображении y=f(x)=ex имеем x=f?1/y=lny, y>0(см.рис.1.1):
мf(A)y==supx?f?1/y{e?lny2,y>0,0,y?0,=e?lny2,y>0,0,y?0,=y?lny,y>0,0,y?0.
Рис.2.1. Функция принадлежности нечеткого множества fA, являющегося результатом функционального преобразования f(x)=ex нечеткого числа A, заданного функцией принадлежности мAx=e?x2.
Заключение
В этой домашней творческой работе рассмотрены достаточные условия для выражения б-уровня нечеткой величины f (Q1, Q2) в виде функции б-уровней нечетких величин Q1 и Q2. Нечеткая величина f (Q1, Q2) получается за счет применения принципа обобщения к функции действительных переменных f, которая принимает действительные значения и строится на основе двух невзаимодействующих нечетких интервалов является обобщением теории ошибок, а также теории действительных чисел. Более того, оно лежит в основе методов выполнения практических вычислений, которые станут предметом следующего раздела.
Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.
Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое кантовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими. Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода.
Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.
Список используемой литературы
1. Волкова Е.С., Гисин В.Б. Нечеткие множества и мягкие вычисления в экономике и финансах: учебное пособие. Изд. 2-е. - М.: Финансовый университет, 2016. - с. 46-50.
2. http://fuzzy-group.narod.ru/files/Fuzzy_Modeling/Lection01.Introduction.pdf
3. George J. Klir, BoYuan. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. - USA: Prentice Hall PTR, 1995 -
4. L. A. Zadeh. Fuzzy Sets. - 1965
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Нечёткие системы логического вывода. Исследование основных понятий теории нечетких множеств. Операции над нечёткими множествами. Нечёткие соответствия и отношения. Описания особенностей логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации.
презентация [191,0 K], добавлен 29.10.2013Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа [27,8 K], добавлен 24.12.2010Понятие и специфика Аддитивной теории чисел, ее содержание и значение. Описание основных проблем Аддитивной теории чисел: Варинга, Гольдбаха, Титчмарша. Методы решения данных проблем: редукция к производящим функциям, исследование структуры множеств.
курсовая работа [150,0 K], добавлен 18.12.2010Предмет и метод математической статистики. Распределение непрерывной случайной величины с точки зрения теории вероятности на примере логарифмически-нормального распределения. Расчет корреляции величин и нахождение линейной зависимости случайных величин.
курсовая работа [988,5 K], добавлен 19.01.2011Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
лекция [285,3 K], добавлен 17.12.2010- Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.01.2012 Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Представление доказательства неравенства Чебышева. Формулирование закона больших чисел. Приведение примера нахождения математического ожидания и дисперсии для равномерно распределенной случайной величины. Рассмотрение содержания теоремы Бернулли.
презентация [65,7 K], добавлен 01.11.2013Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе.
презентация [2,2 M], добавлен 09.10.2011Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Числа натурального ряда, их закономерное периодическое изменение: сведение бесконечного к конечному путем выявления периодичности. Обоснование метода поиска простых чисел с помощью "решета" Баяндина. Закон динамического сохранения относительных величин.
книга [359,0 K], добавлен 28.03.2012Свойства бесконечно малых величин. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию. Предел функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности: теорема и ее доказательство. Пример решения функции и предел отношения двух малых величин.
презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2013Доказательства существования иррациональных чисел. Арифметический подход Евклида к множеству иррациональных чисел. Рассуждения Дедекинда о непрерывности области вещественных чисел, неявном понятии точной верхней грани. Анализ бесконечно малых величин.
реферат [1,9 M], добавлен 08.05.2012Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Сущность и значение средних величин как обобщающая характеристика изучаемого признака в совокупности. Теория Кетле: причины, определяющие состояние общего процесса, и индивидуальные (случайные). Категории и виды средних величин, способы их вычисления.
контрольная работа [20,7 K], добавлен 23.07.2009Знакомство с Пьером де Ферма - французским математиком, одним из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Разработка способов систематического нахождения всех делителей числа. Великая теорема Ферма.
презентация [389,1 K], добавлен 16.12.2011
