Поняття марківського випадкового процесу
Сутність випадкових процесів як процесів з дискретними станами. Дослідження поняття марківського випадкового процесу та його використання у біології, фізиці, теорії обслуговування. Ілюстрація марківських випадкових процесів за допомогою графу станів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 02.12.2016 |
| Размер файла | 82,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
ПОНЯТТЯ МАРКІВСЬКОГО ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ
В.І. Сагач
Черкаський національний університет
ім. Б. Хмельницького
Досліджено поняття марківського випадкового процесу та наведено ряд прикладів, що ілюструють використання марківських випадкових процесів.
Розглянемо деяку фізичну систему S, в якій відбуваються випадковий процес. З плином часу система може під впливом випадкових факторів перейти з одного стану в другий стан.
Випадковий процес називається процесом з дискретними станами, якщо множина його можливих станів скінченна або зчисленна (тобто їх можна перелічити), а перехід з одного стану в інший відбувається стрибком, переходи можливі лише у певні моменти часу
Випадковий процес з дискретними станами називається марківським процесом, якщо для любого моменту часу умовна ймовірність кожного із станів системи S в майбутньому (тобто при ) залежить лише від її стану в теперішньому (тобто при ) і не залежить від того, коли і як система прийшла в цей стан (тобто які були стани системи S в минулому, при ).
Марківський процес називають також процесом без наслідків: майбутнє в ньому залежить від минулого лише через теперішнє, тобто ймовірність системи S потрапити в стан в момент часу Размещено на http://www.allbest.ru
залежить лише від стану , в якому система знаходилась в попередній момент часу тобто
де - всі можливі стани системи
Марківський процес є моделлю для багатьох процесів у біології (поширення епідемії, ріст популяції), у фізиці (розпад радіоактивної речовини), в теорії масового обслуговування. Випадковий процес з дискретними станами зручно ілюструвати за допомогою графу станів. В ньому стани системи S зображені прямокутниками (або кругами), а можливі безпосередні переходи із стану в стан - стрілками (або орієнтованими дугами), що з'єднують стани.
Розглянемо приклади задач, де для ілюстрування випадкових процесів використаємо графи.
Приклад 1. Побудувати граф станів, який складається з наступного випадкового процесу: пристрій S у випадковий момент часу може вийти з ладу, його оглядають в певні моменти часу, наприклад через кожні 3 години, і у випадку необхідності - ремонтують.
Розв'язання: Можливі стани системи S: - пристрій справний; - пристрій несправний, потребує ремонту; - пристрій несправний, ремонту не підлягає, списано. Процес являє собою випадкове блукання системи S по станам, час (3 години) - крок процесу. Граф системи має вигляд: (Рис. 1).
випадковий дискретний марківський граф
Размещено на http://www.allbest.ru
Реалізація випадкового процесу блукання системи може мати, зокрема, такий вигляд:
Размещено на http://www.allbest.ru
що означає: при 1-му, 2-му, 3-му оглядах пристрій справний: при 4-му огляді - несправний, ремонтується; при 5-му, 6-му - справний; при 7-му - пристрій визнано непридатним, списано. Процес закінчився.
Для опису випадкового процесу з дискретними станами користуються ймовірності станів системи S, тобто значеннями (t), (t), … , (t), де (t)=P{S(t)=} - ймовірність того, що в момент часу t система знаходилась в стані ; S(t) - випадковий стан системи S в момент t, причому
.
[1:203-205]
Приклад 2. Ймовірність переходу за один крок в ланцюгу Маркова задана матрицею. Намалювати граф відповідний даній матриці. [2.146]
Розв'язок. Граф який відповідає матриці P, представлений вище. Стани системи показані на ньому колами. Бачимо, що зі стану система з рівними ймовірностями переходить в стан і . Стан може перейти лише в стан .
Стан А2 з рівними ймовірностями переходить в стан А1 і А4 . А стан А3 переходить в стан А4 з тою ж ймовірністю що і сам в себе.
Список використаної літератури
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике \ Письменный Д. Т. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с. - (Высшее образование).
2. Жалдак М. И. Теория вероятностей с элементами информатики \ М. И. Жалдак, А. Н. Квитко - К: Выща шк., 1989. - 263 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Визначення і характеристики випадкового процесу. Марковські ймовірнісні процеси з дискретними станами. Стаціонарна нерегулярна діяльність і ергодична властивість по математичному очікуванню стаціонарного мимовільного процесу і його кореляційна функція.
курсовая работа [26,9 K], добавлен 17.01.2011Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів, розрахунок функцій розподілу, математичного сподівання, кореляційної функції. Поняття та принципи вивчення одномірної функції розподілу відгуку, порядок конструювання математичної моделі.
контрольная работа [316,2 K], добавлен 08.11.2014Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
реферат [151,8 K], добавлен 16.02.2011Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
реферат [253,5 K], добавлен 13.06.2010Загальні положення та визначення в теорії моделювання. Поняття і класифікація моделей, iмовірнісне моделювання. Статистичне моделювання, основні характеристики випадкових векторів. Описання програмного забезпечення для моделювання випадкових векторів.
дипломная работа [12,0 M], добавлен 25.08.2010Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.
реферат [113,9 K], добавлен 12.03.2011Вивчення поняття випадкових подій. Ознайомлення із класичним, статистичним, геометричним, аксіоматичним означеннями, предметом та методами аналізу (комбінаторний), основними співвідношеннями теорії ймовірності. Розгляд залежності та сумісністю подій.
реферат [202,5 K], добавлен 11.06.2010Сприймання і усвідомлення понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія, повна група подій, попарно несумісні події, рівно можливі події, елементарні події. Вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
реферат [24,9 K], добавлен 17.02.2009Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Мережа Петрі як графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів. Основні елементи мережі Петрі, правила спрацьовування переходу. Розмітка мережі Петрі із кратними дугами. Методика аналізу характеристик обслуговування запитів на послуги IМ.
контрольная работа [499,2 K], добавлен 06.03.2011Теорія графів та її використання у різних галузях. У фізиці: для побудови схем для розв’язання задач. У біології: для розв’язання задач з генетики. Спрощення розв’язання задач з електротехніки за допомогою графів. Математичні розваги і головоломки.
научная работа [2,1 M], добавлен 10.05.2009Основні принципи і елементи комбінаторики. Теорія ймовірностей: закономірності масових випадкових подій, дослідження і узагальнення статистичних даних, здійснення математичного і статистичного аналізу. Постановка і вирішення задач економічного характеру.
курс лекций [5,5 M], добавлен 21.11.2010Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.
книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.
курсовая работа [105,2 K], добавлен 09.07.2009Методи перевірки чисел на простоту: критерій Люка та його теореми, їх доведення. Теорема Поклінгтона та її леми. Метод Маурера - швидкий алгоритм генерації доведених простих чисел, близьких до випадкового та доведення Д. Коувером і Дж. Куіскуотером.
лекция [138,8 K], добавлен 08.02.2011Основні положення теорії графов. Алгоритм розфарбування графу методом неявного перебору. Задання графу матрицею суміжності. Особливості програмної реалізації на мові Turbo Pascal алгоритму оптимального розфарбування вершин завантаженого з файлу графа.
курсовая работа [557,1 K], добавлен 15.06.2014Оцінки для числа ребер з компонентами зв‘язності. Орієнтовані графи, графи з петлями, графи з паралельними дугами. Ойлерова ломиголовка "Кенігзберзьких мостів". Основні поняття та означення ойлерових графів. Сутність та поняття гамільтонових графів.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 18.07.2010Основні поняття теорії ймовірностей, означення випробування, випадкової, масової, вірогідної та неможливої події. Правило суми і множення. Теорема додавання і теорема добутку ймовірностей. Використання геометричної ймовірності, Парадокс Бертрана.
научная работа [139,9 K], добавлен 28.04.2013Динаміка розвитку поняття ймовірності й математичного очікування. Закон більших чисел, необхідні, достатні умови його застосування. Первісне осмислення статистичної закономірності. Поява теорем Бернуллі й Пуассона - найпростіших форм закону більших чисел.
дипломная работа [466,6 K], добавлен 11.02.2011
