Системы уравнений с матрицами
Нахождение определителя матрицы. Решение систем матричным способом. Решение алгебраических дополнений. Решение системы уравнений методом Гаусса. Исследование совместности систем по теореме Кронекера-Капелли, определение их ранга, нахождение решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.12.2016 |
| Размер файла | 413,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Контрольные задания по теме «Алгебра и геометрия»
ЗАДАЧА 1
Заданы матрицы А, В, С. Найти: а) (3А+2В)·С; б) вычислить определитель матрицы А.
, , ,
матрица уравнение теорема система
Решение:
а) (3А+2В)·С
б) вычислить определитель матрицы А:
Ответ:
а) ; б)
ЗАДАЧА 2
Для матрицы А найти: а) A-1; б) AA-1; в) решить систему матричным методом.
,
Решение:
а) A-1
Найдем определитель матрицы А:
Определитель 36 ? 0, поэтому А-1 существует.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
EQ A=\b(\a \al \co3 \hs3 (a11;a12;a13;a21;a22;a23;a31;a32;a33))
Тогда:
EQ A-1 = \f(1;?)\b(\a \al \co3 \hs3 (A11;A21;A31;A12;A22;A32;A13;A23;A33)
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А.
Вычисляем алгебраические дополнения.
Тогда
б) AA-1
в) решить систему матричным методом
Ответ:
а) ; б) ; в)
ЗАДАЧА 3
Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение:
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
~ (умножим вторую строку на (-1) и поменяем местами первую и вторую строки) ~
~ (умножим первую строку на (-2) и сложим поочередно со второй строкой, а затем сложим с третьей) ~
~ (поменяем местами вторую и третью строки) ~
~ (умножим вторую строку на (-6) и сложим с третьей строкой) ~
Теперь исходную систему можно записать как:
Ответ:
ЗАДАЧА 4
Исследовать совместность каждой системы а) и б), для совместной системы найти решение
а) б)
Решение:
а)
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную (В) и основную матрицы (А). Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу А к треугольному виду.
~ (умножим 1-ю строку на (2). Добавим 2-ю строку к 1-й) ~
~ (умножим 2-ю строку на (-1). Умножим 3-ю строку на (2). Добавим 3-ю строку к 2-й) ~
~ (умножим 1-ю строку на (3). Добавим 2-ю строку к 1-ой) ~
Получили, что в матрице 1-я строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Определим ранг системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно, rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x, y, значит, неизвестные x, y - зависимые (базисные), а z - свободная.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
x y z
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x, y через свободную z, то есть нашли общее решение системы:
б)
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную (В) и основную матрицы (А). Здесь матрица А выделена жирным шрифтом. Приведем матрицу А к треугольному виду.
~ (умножим 1-ю строку на (-8), добавим 2-ю строку к 1-й) ~
~ (умножим 2-ю строку на (3), умножим 3-ю строку на (8), добавим 3-ю строку к 2-й) ~
~ (добавим 2-ю строку к 1-й) ~
Ранг матрицы B (rangB=3) больше ранга матрицы A(rangA=2), следовательно, система не совместна.
ЗАДАЧА 5
Даны вершины пирамиды A(1, 1, 1) , B(3, 4, 0), C(-1, 5, 6), D(4, 0, 5). Найти: а) угол между векторами и ; б) площадь грани ABC; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды; д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.
Решение:
Найдем координаты векторов по формулам:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi ; xi, yi, zi - координаты точек
Найдем модули векторов (длины ребер пирамиды)
Длина вектора a(x; y; z) выражается через его координаты формулой:
а) угол между векторами и :
Угол между векторами a1(x1;y1;z1), a2(x2;y2;z2) можно найти по формуле:
EQ cos г = \f(a1a2;|a1| * |a2|)
где a1a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Найдем угол между ребрами и :
г = arccos(0,86) = 30,680
б) площадь грани ABC:
Площадь грани можно найти по формуле:
EQ S = \f(1;2) |\x\to(AB) x \x\to(AC)|
Векторное произведение:
в) проекция вектора на вектор
Проекцию вектора на вектор можно найти по формуле:
г) объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах (x1;y1;z1), (x2;y2;z2), (x3;y3;z3) равен:
д) длина высоты пирамиды, опущенной из вершины D(4, 0, 5)
Сначала найдем уравнение плоскости АВС, на которую опущена высота.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
EQ \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (x-x1;y-y1;z-z1;x2-x1;y2-y1;z2-z1;x3-x1;y3-y1;z3-z1)) = 0
Уравнение плоскости ABC:
Окончательно получаем уравнение плоскости АВС:
Расстояние d от точки M(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
EQ d = \f(|A x1 + B y1 + C z1 + D|;\r(A2 + B2 + C2
Уравнение плоскости ABC: , координаты точки D(4, 0, 5) тогда
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы уравнений методом Гаусса и с помощью встроенной функции; матричным методом и с помощью вычислительного блока Given/Find. Нахождение производных. Исследование функции и построение её графика. Критические точки и интервалы монотонности.
контрольная работа [325,8 K], добавлен 16.12.2013Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Примеры вычисления определителя матрицы. Блок-схема программы, описание объектов. Графический интерфейс, представляющий собой стандартный набор компонентов Delphi.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 29.06.2014Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014
