Определенный интеграл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Методы математики широко применяются при различных исследованиях прикладного характера, особенно в технических науках. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, в том числе и неберущиеся, решение дифференциальных уравнений, определение экстремума функции и так далее. Решая какую-либо задачу, исследователь часто оказывается в ситуации, когда определенную формулу применить довольно трудно и приходится прибегать к приближенным численным методам.

В данной работе рассматривается задача нахождения численного значения определённого интеграла и методы, которые позволяют приближённо вычислить интеграл при помощи конечного числа значений интегрируемой функции. Эти методы могут применяться там, где другие подходы к вычислению интегралов оказываются бессильными.

Вышесказанное обуславливает актуальность темы исследования.

Целью работы является систематизация материала по данной теме и разработка шаблонов для вычисления определенных интегралов с помощью прикладных программ.

В достижении цели потребовалось решить следующие задачи:

1. рассмотреть понятие определённого интеграла;

2. изучить методы его вычисления;

3. оценить погрешность приближенных методов;

4.продемонстрировать приближенное вычисление определенных интегралов

Описанные в работе точные приближенные методы вычисления определенных интегралов с помощью прикладных программ, что существенно упрощает и ускоряет процесс вычисления интегралов. Также данная работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия по теме «Численное интегрирование» при изучении дисциплины «Численные методы».

Структура работы: титульный лист, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованной литературы.

Основная часть курсовой работы состоит из двух глав. В первой главе рассматривается определенный интеграл и его свойства. Во второй главе описываются точные и приближенные методы исчисления определенных интегралов, также приводятся примеры заданий с их применением.



1. Определенный интеграл и его свойства

1.1 Понятие определенного интеграла

Определённый интеграл - аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая -- область в множестве задания этой функции (функционала)

Пусть определена на отрезке . Разобьём на части несколькими произвольными точками: .

Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка . Далее выберем произвольную точку , .

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

1.2 Свойства определенного интеграла

1. Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a,b]. Разобьем данный отрезок на n частичных интервалов. В каждом интервале выберем произвольную точку оi и составим интегральную сумму ?i=1nf(оi)Дxi, где Дxi ? длина i-го интервала. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной длины частичного интервала к нулю

2. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

4. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

5. Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

6. Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:

7. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:

8. Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a,c] и [c,b]:

9. Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю:

10. Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю:

11. Формула Ньютона-Лейбница

.

12. Метод подстановки для определенного интеграла

13. Если x=g(t), то , где c=g?1(a), d=g?1(b).

14. Интегрирование по частям

15. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций

16. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (метод парабол)

где .

17. Площадь криволинейной трапеции

18. Площадь между двумя кривыми

.



2. Методы вычисления определенного интеграла

2.1 Точные методы вычисления определенных интегралов

2.1.1 Формула Ньютона-Лейбница

Если для непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) может быть найдена её первообразная F(x), то простым и удобным методом вычисления определённого интеграла является формула Ньютона-Лейбница:

Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка : .

Пример 2.1: Вычислить определенные интегралы:

Решение.

.

2.1.2 Формула интегрирования по частям

Если функции u=u(x) и v=v(x)имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула

(3)

Доказательство. Вывод этой формулы следует из формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла : . Поэтому определённый интеграл вычисление формула

Формула (3) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 2.2. Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) .

Решение. а)

.

б)

.

2.1.3 Замена переменной в определенном интеграле

Часто при вычислении определенного интеграла применяется метод замены переменной.

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на отрезке вместе со своей производной, где и . Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

(6)

Пример 2. 3. Вычислить определенный интеграл:

.

Решение.

.



2.2 Приближенные методы вычисления определённых интегралов

Нахождение первообразной функции иногда весьма сложно, кроме того как известно не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определённый интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим несколько формул приближенного вычисления определённого интеграла, основанные на геометрическом смысле определённого интеграла

2.2.1 Метод прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция y=f(x). Вычислим численно определенный интеграл , который равен площади криволинейной трапеции.

Разобьем основание этой трапеции (отрезок ) на Размещено на http://www.allbest.ru/

равных частей-отрезков длины

Величину h будем называть шагом разбиения. В результате получим точки

Можно записать, что

В середине каждого такого элементарного отрезка отметим точку . Приняв ординату этой точки за высоту, построим прямоугольник с площадью .

Тогда сумма площадей всех Размещено на http://www.allbest.ru/

прямоугольников равна площади ступенчатой фигуры, которая представляет собой приближенное значение искомого определенного интеграла :

Полученная формула называется формулой прямоугольников.

Абсолютная погрешность последнего приближенного равенства удовлетворяет следующей оценке:

где - наибольшее значение на рассматриваемом отрезке .



2.2.2 Метод трапеций

Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл . Разобьем отрезок интегрирования на Размещено на http://www.allbest.ru/

равных частей длины . В результате получим точки . Пусть - соответствующие им ординаты функции. Тогда можно записать, что

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заменим кривую y=f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат и . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями , и высотой , то есть

Записанная формула называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность

где

2.2.3 Метод Симпсона

Если заменить график функции y=f(x) на каждом отрезке , которые получены после разбиения отрезка интегрирования на 2n равных частей, не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла .

Как было сказано выше, разобьем отрезок на 2n равных частей (отрезков) длиной точками

причем . В точках разбиения находим значения подынтегральной функции y=f(x)

то есть

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями h одной элементарной параболической трапецией с основанием 2h. Тогда, например, на частичном отрезке парабола проходит через три точки и так далее.

Расчетная формула парабол (или Симпсона) для этого метода имеет вид:

Абсолютная погрешность вычисления по этой формуле оценивается соотношением

где

.



Заключение

В процессе изучения точных и приближенных методов вычисления определенных интегралов происходит закрепление основ математического анализа. Приобретенные знания используются в дальнейшем при изучении специальных дисциплин.

В результате исследования курсовой работы, поставленные задачи достигнуты, получены следующие результаты и выводы, а именно:

· были рассмотрены основные положения, связанные с изучением определённого интеграла;

· изучены точные и приближенные методы его вычисления;

· была воспроизведена оценка погрешности приближенных методов;

· рассмотрены примеры вычисления определенных интегралов точными и приближенными методами.

Таким образом, цель данной работы была достигнута, все поставленные задачи решены.

Описанные в работе точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов сопровождаемые примерами вычисления, что существенно упрощает и ускоряет процесс вычисления интегралов. Данная работа спланирована таким образом, чтобы изложенные в ней аспекты представляли собой интересный и освобожденный от излишних трудностей для учащихся материал. Работа может быть использована в качестве учебно-методического пособия по теме «Численное интегрирование» при изучении дисциплины «Численные методы» для студентов математических специальностей среднетехнических и высших учебных заведений.



Список использованной литературы

1. Бахвалов Н.С. Численные методы - М.: Наука, 1987 - 598 с.

2. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. - М.: Наука, 1987.

3. Воробьева, А.Н. Данилова Практикум по вычислительной математике. - M.: Просвещение, 1990.

4. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. - Питер.: Просвещение, 2003.

5. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8.0 PRO в математике, в физике и в Internet.- М.:.1999.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1982.

7. К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. Сборник задач по высшей математике.- М.: Наука, 2003.

8. Калиткин Н.Н. «Численные методы». -М.: Наука, 1988.

9. Корнюшин П.Н. Численные методы. - Владивосток : Наука, 2002.

10. Марон, И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах И.А.Марон. - М.: Наука, 1973.

11. Петрова К.В. Методы вычислений. http://www.google.ru/school-collection.edu.ru/catalog/res/53bcd17e-1e46-9cb8.../view/

12. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.- М.: Просвещение, 2002.

13. Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике М.: Высшая школа, 1994.

14. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. - Петербург: Наука, 2005.

15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления том II. (§§ 332, 335).

Размещено на Allbest.ru

...