Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет

імені О. Гончара

Кафедра математичного аналізу

КУРСОВА РОБОТА

з математичного аналізу на тему: “Ланцюгові дроби”

Студента ІІІ курсу ММ-11-1 групи

напряму підготовки 6.040102 “Математика”

Медухи Андрія Володимировича

Керівник Ласкевич Т.Ю.

Дніпропетровськ 2014



Зміст

Вступ

1. Правильні кінцеві ланцюгові дроби

1.1 Представлення раціональних чисел ланцюговими дробами

1.2 Підходящі дроби. Їх властивості

2. Нескінченні ланцюгові дроби

2.1 Представлення дійсних ірраціональних чисел правильними нескінченними ланцюговими дробами

2.1.1 Розклад дійсного ірраціонального числа у правильний нескінченний дріб

2.1.1 Збіжність правильних нескінченних ланцюгових дробів

2.1.2 Єдиність представлення дійсного ірраціонального числа правильним нескінченним ланцюговим дробом

2.1.2.1 Наближення дійсного числа раціональними дробами із заданими обмеженнями на знаменник

2.1.3 Оцінка похибки при заміні дійсного числа його підходящим дробом

2.1.4 Наближення дійсного числа підходящими дробами

2.1.5 Теорема Діріхле

2.1.6 Підходящі дроби як найкраще наближення

Висновок

Список літератури



Вступ

дріб ланцюговий ірраціональний діріхле

Метою моєї курсової роботи є дослідження теорії ланцюгових дробів. У ній я спробую розкрити властивості підхожих дробів, особливості розкладання дійсних чисел в неправильні дроби, похибки, які з'являються у результаті розкладання, й застосування теорії ланцюгових дробів для вирішення низки алгебраїчних завдань.

Ланцюгові дроби були введені в 1572 році італійським математиком Бомбеллі. Сучасне позначення безперервних дробів зустрічається у італійського математика Катальді в 1613 році. Найбільший математик XVIII століття Леонард Эйлер перший виклав теорію ланцюгових дробів, порушив питання використання їх для вирішення диференційних рівнянь, застосував їх до розкладання функцій, уявленню нескінченних перетворень, дав важливе їх узагальнення.

Роботи Эйлера з теорії ланцюгових дробів було продовжено М. Софроновим (1729-1760), академіком В.М. Висковатим (1779-1819), Д. Бернуллі (1700-1782) та іншими. Багато важливих результатів цієї теорії належать французькому математику Лагранжу, який знайшов метод наближеного розв'язку за допомогою ланцюгових дробів диференційних рівнянь.



1. Правильні кінцеві ланцюгові дроби

1.1 Представлення раціональних чисел ланцюговими дробами

Ціле число, що є дільником кожного із цілих чисел називається спільним дільником цих чисел. Спільний дільник Цих чисел називається їх найбільшим спільним дільником, якщо він ділиться на будь - який спільний дільник даних чисел.

Нехай - раціональне число, причому b>0. Застосовуючи до a і b алгоритму Евкліда для визначення їх найбільшого спільного дільника, отримуємо скінченну систему рівнянь:

(1)

де неповним частковим послідовним діленням відповідають залишки за умови, що , a відповідає залишок 0.

Системі рівностей (1) відповідає рівносильна система:

(2)

Із якої послідовною заміною кожного дробу , і т.д. її відповідним виразом із наступного рядка ми отримаємо представлення дробу у вигляді:

=

Такі вирази називаються правильним кінцевим ланцюговим дробом або правильним неперервним дробом, при цьому припускається, що - ціле число, а , …, - натуральні числа.

Існують різні форми запису ланцюгових дробів:

=

Згідно з останнім позначенням маємо:

Числа , , …, називаються елементами ланцюгового дробу.

Алгоритм Евкліда дає можливість знайти представлення (або розклад) будь-якого раціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. В якості елементів ланцюгового дробу виступають неповні частки послідовних поділів в системі рівностей ( 1 ), тому елементи ланцюгового дробу називаються також неповними частками. Крім того, рівності системи ( 2 ) показують, що процес розкладання в ланцюговий дріб полягає в послідовному виділенні цілої частини і перевертанні дробової частини.

Другий випадок є більш загальний в порівнянні з першим , так як він застосовується для розкладання в безперервний дріб не тільки раціонального, а й будь-якого дійсного числа.

Розкладання раціонального числа має, очевидно, кінцеве число елементів, так як алгоритм Евкліда послідовного розподілу a на b є кінцевим.

Зрозуміло, що кожний ланцюговий дріб представляє певне раціональне число, тобто дорівнює певному раціональному числу. Але виникає питання, чи можна представити одне і теж раціональне число різними ланцюговими дробами? Виявляється, що це зробити неможливо, якщо вимагати, що .

Теорема. Існує один і тільки один кінцевий ланцюговий дріб, що дорівнює данному раціональному числу, але за умови, що..

1) Зауважимо, що при відмові від заданої умови єдиність представлення відпадає. Справді, при :

так що представлення можна подовжити:

наприклад, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Нехай , можна стверджувати, що ціла частина ланцюгового дробу дорівнює першій неповній частці. Справді:

1) Якщо n=1, то рівність очевидна.

2) Якщо n=2, то ; тому

3) Якщо n>2, то

=, де >1, так як

Тому і тут . Доведемо те, що раціональне число однозначно представляється ланцюгової дробом , якщо .

Нехай з умовами , . Тоді , так що . Повторним порівнянням цілих частин отримуємо , а звідси слідує, що і т. д. Якщо ,якщо продовжимо наш процес то будемо мати також . Якщо ж , наприклад то отримаємо , що призводить до суперечності.

Теорема доведена.

Разом з тим ми встановили, що при дотриманні умови між раціональними числами і кінцевими ланцюговими дробами існує взаємно однозначна відповідність.

Зауваження:

1. У разі розкладу правильного невід'ємного дробу перший елемент , наприклад, .

2. При розкладі від'ємного дробу (від'ємний знак дробу завжди відноситься до чисельника), перший елемент буде від'ємний,решта додатніми, так як ціла частина від'ємного дробу є цілим від'ємним числом, а її дробова частина, як завжди, більша нуля.

Приклад: , а так, як , то .

3. Будь - яке ціле число можна подати у вигляді неперервного дробу, що складається з 1 елемента.

Наприклад: 5=(5); .

1.2 Підходящі дроби. Їх властивості

Задачі розкладу звичайного дроба в неперервний ставиться у відповідність обернена задача - перетворення або згортання ланцюгового дробу в звичайний дріб .

При цьому основну роль відіграють дроби, що мають наступний вигляд:

або

Які називаються підходящими дробами даного неперервного дробу або відповідного йому числа .

Зазначимо, що ==. І будемо вважжати,що підходящий дріб має порядок k.

Перед обчисленням підходящих дробів зазаначимо, що переходить в , якщо в першому замінимо виразом .

Отримаємо



,

,

, …,

При цьому маємо на увазі, що , , , , , і так далі.

Закономірність, яку ми помічаємо в побудові формули (її чисельника і знаменника ), зберігається при переході до і зберігається при переході від k до (k+1).

Використовуючи принцип математичної індукції для будь - якого k, де , будемо мати:

(1),

причому (2),

(3),

Далі, говорячи про підходящі дроби (в згорнутому вигляді), ми будемо мати на увазі їх форму .

Відношення (1) є рекурентною формулою для обчислення підходящих дробів, а також їх чисельників та знаменниіків. Із формул для чисельника і знаменника одразу видно, що при збільшенні k вони зростають. Послідовне обчислення чисельників і знаменників підходящих дробів по фурмулам (2) і (3) зручно подавати у схемі:

				…				…
				…				…
				…				…

Приклад: Знайти відповідний дріб до ланцюгового дробу(2,2,1,3,1,1,4,3)

	2	2	1	3	1	1	4	3
	2	5	7	26	33	59	269	866
	1	2	3	11	14	25	114	367

Підходящі дроби () рівні відповідно ; ; ; ; ; ; ;

На практиці знаходження неповних часток і підходящих дробів зручно об'єднати в одну коротку схему, яку продемонструємо для =(2, 3, 1, 4, 2)

.

А зараз розглянемо ряд властивостей для підходящих дробів.

1. Теорема. При k=1, 2, …, n виконується рівність

Доведення: Застосуємо індукцію по k:

При k = 1 рівність справедлива, так як ?

Нехай ця рівність справедлива для деякого k=n ().

Доведемо цю рівність для k=n+1.



Тобто рівність вірна для k=n+1.

Згідно принципу математичної індукції рівність вірна для будь - якого k ().

2. Теорема. чисельник і знаменник будь - якого відповідного дробу - взаємно прості числа, тобто будь - який k-відповідний дріб нескоротний.

Доведення. доведемо від супротивного. З попередньої властивості маємо .

Нехай , тобто , тоді із рівності слідує, шо ділиться на без залишку, що неможливо. Отже, наше припущення невірне, тому .

3. Теорема : При

()

()

Доведення. Перше відношення можна отримати із рівності

, доведеного вище, шляхом поділу обох частин на . Отримуємо

,

Що і треба було довести. Доведемо 2 відношення

. Теорема доведена повністю.

4. Теорема. Знаменники підходящих дробів до ланцюгового дробу, починаючи з першого, утворюють монотонно зростаючу послідовність, тобто 1=.

Доведення. , , так що і додатні.

Відношення () (*) показує, що і всі наступні знаменники , , …, додатні. При , так як , із (*) отримуємо , що і треба було довести.

5. Теорема. Непарні Підходящі дроби утворюють зростаючу, а парні Підходящі дроби - спадаючу послідовність:

; .

Два підходящих дроба і , у яких номер відрізняється на одиницю будемо називати сусідніми.

6. Теорема. Із двох сусідніх підходящих дробів парний дріб завжди більший від непарного.

Доведення. Використовуючи вищезазначені властивості будемо мати:

.

Якщо k - парне, то

Якщо k - непарне, то

Отже із двох сусідніх дробів і парна завжди більша непарної, що і треба було довести.

7. Теорема. Відстань між двома сусідніми відповідним дробами .

Доведення. Так як

, то

, шо і треба було довести.



2. Нескінченні ланцюгові дроби

2.1 Представлення дійсних ірраціональних чисел правильними нескінченними ланцюговими дробами

2.1.1 Розклад дійсного ірраціонального числа у правильний нескінченний дріб

В попередньому розділі ми розглянули, як в процесі послідовного виділення цілої частини і перевертанням дробової, раціональний дріб розкладається в кінцевий неперервний дріб.

=()(1)

і навпаки, згортання такого неперервного дробу приводить до раціонального дробу.

Процес виділення цілої частини і перевертання дробової можна застосувати до будь - якого дійсного числа.

Для ірраціонального числа вказаний процес повинен бути нескінченним, так як кінцевий ланцюговий дріб - раціональне число.

Вираз (де , ) (2),

шо утворився в такому процесі або заданий формально, ми будемо називати нескінченним ланцюговим дробом, або неперервним дробом, або дробом нескінченної довжини і позначати коротко через (), а числа - її елементами або неповними частками.

Відмітим, що розклад є однозначно визначений,так як процес виділення цілої частини - процес однозначний.

Розглянемо приклад розкладу ірраціонального числа .

Нехай . Виділимо із його цілу частину. =3, а дробову частину -3, яка менше 1, покладемо у вигляді , де .

Повторюючи операції виділення цілої частин і перевертання дробової ми отримаємо:

;

;

.

Якщо зупиниться на цьому кроці, то можна записати:

З іншого боку, із формули можна побачити, що =3+. Отже, , з цього випливає, що, починаючи з цього моменту, неповні частки стануть повторюватися.

Нескінченний неперервний дріб, в якому визначена послідовність неповних часток, починаючи з деякого місця, періодично повторюватися, називається періодичною, в іншому випадку - змішаною періодичною.

Чисто періодичний дріб записується у вигляді , а змішаний періодичний у вигляді .

Отже, розкладається в змішаний періодичний дріб (3, 3, 6, 3, 6, …) або (3, (3, 6)).

В загальному випадку розклад дійсного ірраціонального числа робимо такі ж дії як і в прикладі. Зупиняючись при цьому в процесі виділення цілої частини після k-го кроку будемо мати:

(4).

Числа називаються залишковими членами порядку k розкладу б. У формулі (4) маємо кусок розкладу до залишкового числа .

Для нескінченного ланцюгового дробу ( 2) можна побудувати нескінченну послідовність кінцевих неперервних дробів.

Ці дроби називають підходящими дробами. Закон утворення відповідних їм простих дробів буде такий же як і для підходящих дробів у випадку кінцевих неперервних дробів, так як цей закон залежить тільки від неповних часток і абсолютно не залежить від того,чи є останнім елементом чи за ним ще слідує елемент . Отже, для них зберігається також інші властивості, які виводяться із закону утворення чисельників і знаменників підходящих дробів.

В частинному випадку маємо:

, причому ;

, звідси слідує нескоротність підходящих дробів ;

.

Зрівняємо тепер підходящий дріб і кусок розкладу до залишкового числа . Маємо

Звідки ми можемо побачити, що обрахування по формально утворюється таким же чином, як і обрахування по з тією лиш відмінністю, що в першому випадку заміняється на , а в другому на заміняється на . Тому на підставі формули можемо зробити висновок про справедливість важливого співвідношення



. (5)

По цій причині ми пишемо так само , хоча не є тут цілим додатнім числом.

За допомогою формули (5) можна вивести наступну теорему і розташування підходящих дробів розкладу .

Теорема. Дійсне число завжди знаходиться між двома сусідніми підходящими дробами свого розкладу, причому воно ближче до наступного, чим до попереднього підходящого дробу.

Доведення. Із формули (5) випливає

але , , отже,

1) () і () мають однаковий знак, а це означає, що знаходиться між и ;

2) , тобто ближче до , ніж до .

Теорема доведена.

Так як , то , і так далі; звідси приходимо до наступного висновку про взаємне розташування підходящих дробів:

1) , більший за всіх із підходящих дробів непарного порядку і менший за всі підходящі дроби парного порядку;

2) Підходящі дроби непарного порядку утворюють зростаючу послідовність, а парного порядку - спадаючу (у випадку ірраціонального вказані послідовності є нескінченними), тобто

(у випадку раціонального ).

--------------------------------------

Враховуючи те, що при , з чого випливаю, що

, переходимо до подальшого висновку, шо у випадку з ірраціональним сегменти , , … утворюють стягуючу послідовність, яка, як відомо, повинна мать єдину спільну точку, що є спільною границею послідовностей , , … і , , …. Але так як належить всім сегментам послідовності, то і співпадає із вказаною точкою, тому.

Отже, ми маємо наступний важливий результат :

Нескінченна послідовність підходящих дробів , яка виникає при розкладі ірраціонального , збігається до , коливаючись біль нього. Або: ірраціональне дійсне число дорівнює границі послідовності підходящих дробів свого розкладу в нескінченний неперервний дріб (процесом виділення цілої частини).

2.1.1 Збіжність правильних нескінченних ланцюгових дробів

Тепер покажемо, що збіжною є послідовність підходящих дробів не тільки нескінченного неперервного дробу, які виникають при розкладі ірраціонального числа , але і будь -якого неперервного дробу , де , а - довільно вибрані цілі додатні числа.

Але для цього ми спочатку досліджуємо взаємне розташування підходящих дробів.

З цією метою розглянем формули:

(1) и (2),

які виконуються для будь - якого нескінченного неперервного дробу.

Формула (1) показує, що будь-який підходящий дріб парного порядку більше двох сусідніх підходящих дробів, у яких порядок на одиницю менший або більший ніж у нього, тобто і . Згідно до цього і розташовані зліва від , і - зліва від і так далі.

Формула (2) показує, що відстань між сусідніми підходящими дробами при збільшенні k спадає. Дійсно, так як , то

Згідно цієї властивості ближче до , ніж , а так як і знаходяться зліва від , то <.

----------------------------------

Із цього випливає, шо підходящий дріб , яка, як і , розташована справа від , ближче до , ніж до , тобто <.

Підходящі дроби подальших розташовуються таким же чином.

Отже, підходящі дроби непарного порядку збільшуються з ростом порядку, а підходящі дроби парного порядку спадають з ростом порядку; при цьому всі підходящі дроби непарного порядку менше всіх підходящих дробів парного порядку, тобто <<…<<…<<…<< при будь - яких k і .

Так як , то пари підходящих дробів , , … утворюють стягуючу послідовність відрізків, котра повинна мать єдину спільну точку, є спільною границею послідовностей , , … і , , …. Позначимо цю границю через , маємо , причому, очевидно, для будь - якого k, тобто знаходиться між будь - якими двома сусідніми підходящими дробами.

Звідси слідує, підходящі дроби будь - якого нескінченного неперервного дроба мають деяку границю . Ця границя приймаються як значення нескінченного неперервного дробу. Говорять, що нескінченний неперервний дріб збігається до або представляє число . Можна записати =, маючи на увазі при цьому, що =.

2.1.2 Єдиність представлення дійсного ірраціонального числа правильним нескінченним ланцюговим дробом

Виходячи із попередніх результатів, можна стверджувати, що для кожного дійсного ірраціонального існує представлення у вигляді нескінченного неперервного дроба. Таким представленням є розклад в нескінченний неперервний дріб, так як границя підходящих дробів останнього рівна саме .Виникає питання, скільки представлень дійсного ірраціонального числа у вигляді нескінченних неперервних дробів, і чи існує взагалі? Покажемо, що тільки один.

Іншими словами:представлення дійсного ірраціонального у вигляді нескінченного неперервного дробу завжди є розкладом за допомогою виділення цілої частини. Доведемо це важливе твердження.

Нехай дійсне ірраціональне представленно нескінченним неперервним дробом , тобто =. Назвемо Нескінченний неперервний дріб залишком даного дроба порядку k. Так як будь - який нескінченний неперервний дріб представляє собою деяке дійсне число, то це твердження відноситься також і до залишку . Позначимо його через , =, тобто =. Аналогічно =, тобто =.

Із відношення отримаємо наступну рівність , то есть = (1).

Так як при , то всі >1, а <1; звідси слідує,, тобто (2). Але так як , то і маючи на увазі рівність (1) дорівнює залишковому числу другого порядку для , тобто. Тоді далі , а і так далі. Взагалі із випливає , а .

Елементи даного нескінченного неперервного дробу отримується із значення послідовним виділенням цілої частини, що і треба було довести.

Разом з тим ми встановили, що залишок нескінченного неперервного дробу = порядку k+1 співпадає з її залишковим числом порядку k .

Дослідження цього параграфа приводить до наступного важливого результату: кожне ірраціональне дійсне число однозначно представляється нескінченним неперервним ланцюговим дробом вигляду і, навпаки, кожному нескінченному ланцюговому дробу відповідає єдине ірраціональне дійсне число, яке він представляє. Тому множина всіх дійсних чисел взаємно однозначно відображається на множині всіх неперервних дробів (якщо умова, що для кінцевих неперервних дробів береться останнє ). При цьому раціональним числа відповідають кінцеві неперервні дроби, а ірраціональним -нескінченні дроби.

2.1.2.1 Наближення дійсного числа раціональними дробами із заданими обмеженнями на знаменник

Раціональні числа утворюють зліченну множину, а множина ірраціональних чисел - незліченну. В цьому сенсі можна говорити, що основну масу всіх дійсних чисел складають ірраціональні числа. Застосування ірраціональних чисел на практиці зазвичай проводиться заміною ірраціонального числа деяким раціональним числом, мало чим відрізняючись в границях потрібної точності від ірраціонального числа. При цьому зазвичай намагаються вибрати раціональне число простим, тобто у вигляді десяткового дробу з невеликим числом знаків після коми або у вигляді звичайного дробу із невеликим знаменником.

Для великих раціональних чисел, тобто чисел з великими знаменниками, також інколи виникають задачі, пов'язані з необхідністю знаходження раціональних наближень, розуміючи під цим знаходження раціональних чисел із порівняно невеликим знаменником, мало чим відрізняючись від заданих чисел.

Ланцюгові дроби дають дуже зручний апарат для розв'язку задач такого роду. За допомогою ланцюгових дробів вдається замінить дійсні числа раціональними дробами так, шо помилка від такої заміни мала в порівнянні із знаменниками цих раціональних чисел.



2.1.3 Оцінка похибки при заміні дійсного числа його підходящим дробом

Теорема 1. Для будь - яких двох сусідніх підходящих дробів і до дійсного числа має місце нерівність , і якщо , то .

Доведення. Якщо , підходящі дроби і , із яких один парний, а другий - непарний, лежать по різні сторони від (так як точні значення неперервного дробу знаходяться між двома сусідніми підходящими дробами), і тому відстань від до будь - якого з них менше довжини інтервалу, утвореного цими двома підходящими дробами, тобто . Якщо =, то .

Теорема 2. Для будь - якого підходящого дробу до дійсного числа справедлива нерівність: .

Доведення. Якщо =, то отримуємо, що ліва частина нерівності рівна 0, в той же час як права частина завжди більше 0. Тому при = нерівність виконується. Нехай , тобто існує підходящий дріб .

При k>0 і згідно попередній теоремі маємо : .

Окремо розглянемо випадок k=0. Якщо , то

.

Теорема 3. Якщо , то .

Із теореми 1-3 отримаємо наступні оцінки похибки:

, ,

Із яких перва є найбільш точною, а остання - найбільш грубою.

2.1.4 Наближення дійсного числа підходящими дробами

Розв'язання поставленої задачі почнем з розглядання деяких прикладів.

Приклад 1. Розглянемо задачу, аналогічну тій, з якою зіштовхнувся голландський математик Хрістіан Гюйгенс (1629-1695) про побудові моделі сонячної системи за допомогою набора зубчастих коліщат і яка привела його до відкриття ряду важливих властивостей неперервних дробів.

Нехай потрібно, щоб відношення кутових швидкостей двох зубчастих коліщат II і I, що зачіпляються між собою була рівна . Якщо нескоротна дріб з великим чисельником і знаменником, наприклад, , то для точого розв'язку задачі виникає технічна трудність виготовлення коліщат з великою кількістю зубців.

Задачу можна технічно спростити за допомогою коліщат з меншою кількістю зубців. При цьому важливо, щоб відношення цих чисел було, по можливості, ближче до заданого відношення. Ці вимоги можна добре задовольнити, використавши ланцюгові дроби.

Нехай, наприклад, поставлена вимога замінити N і n меншими числами і так, щоб і щоб відношення було, по можливості, ближче до .

Застосовуємо апарат ланцюгових дробів, можемо дати наступний розв'язок задачі : розкладаєм в неперервний дріб і беремо його підходящий дріб з найбільшим знаменником, не перевищюючий 100.

Отримуємо, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Складаючи схему, знаходимо

	1	2	3	7	8	2
	1	3	10	73	594	1261
	1	2	7	51	415	881

Поставленій у мові задовольняє підходящий дріб . При цьому отримана похибка , тобто досить незначна.

Відповідь: .

Для ірраціонального по суті можливе лиш наближений розв'язок задачі.

Приклад 2. Як ми вже визначили раніше . Обрахуємо с точністю до 0,001.

Для розв'язку потрібно знайти такий підходязий дріб розкладу , щоб .

Зробим це використовуючи схему:

	3	3	6	3
	3	10	63	199
	1	3	19	60

Очевидно, нам достатньо взяти , так як 19·60>1000. Це значення буде рівне з точністю до 0,001, причому з недоліком, так як - підходящий дріб непарного порядку. Ми можемо представити у вигляді десяткового дробу, причому маємо право взяти 3 знаки після коми, так як є наближеним значенням для з точністю до 0,001. Отримаємо (ми округляємо по надлишку, так як є наближеним значенням з недоліком, однак, не можемо тепер говорити, чи буде 3,316 наближеним значенням з недоліком чи надлишком).

Розв'язок задачі в більш загальному вигляді формулюється так:

1) Знайти раціональне наближення до дійсного із знаменником у вигляді найбільш близького до підходящого дробу. Для цього потрібно взяти підходящий дріб для з найбільшим знаменником, що не перевищує n.

2) Знайти раціональне наближення до дійсного числа з можливо меншим знаменником так, зоб похибка не перебільшувала ( тобто з точністю до ). Для цього, користуючись апаратом ланцюгових дробів, знаходимо підходящий дріб з найменшим знаменником так, щоб .



2.1.5 Теорема Діріхле

Вище ми знайшли оцінку похибки, що виникла при заміні будь - якого дійсного числа раціональними дробами визначеного типу, а саме: підходящими дробами.

А зраз розглянемо деякі результати, що ілюструють результати з наближенням дійсних чисел до раціональних.

Нахай - довільне дійсне число. Із теорії десяткових дробів випливає існування раціонального числа такого, що . Поставимо питання про можливості таких наближень раціональними числами , при яких точність наближення буде оцінена не величиною , а величиною в меншою, тобто питання про знаходження раціональних чисел таких, що , де - будь - яке зарані додатнє число.

Наприклад, можна поставить задачу знаходження такого раціонального наближення до , щоб точність наближення була в 1000 або в 1000000 раз кращим, ніж величина, обернена до знаменника. Це відповідає вибору =1000 або =1000000. Отже, яким би великим не було , можна знайти раціональний дріб , що наближає з точністю до , причому і це є найцікавішим, дріб ми можемо вибирати так, що .

Теорема Діріхле. Нехай і -дійсні числа; існує нескоротний дріб , для якого , (або: існує така пара взаємно простих цілих чисел a та b, що , ).

Доведення. Теорему легко довести за допомогою апарата ланцюгових дробів.

Нехай - підходящий дріб числа ; виберемо найбільший із знаменників , що не перебільшує , тобто найбільше k, щоб і покладемо =. Розглянемо 2 випадки:

1) не є останнім знаменником, тобто існує таке, що <. Тоді при a= и b= маємо:

2) - знаменник останнього підходящого дробу розкладу , тобто =. Тоді при =, b=, маємо: .

Терема доведена.

Сам Діріхле дав інше доведення, використавши в ньому принцип, який зараз носить ім'я Діріхле: при розподілі N об'єктів між N-1 ящиками хоча б в одному ящику повинно знаходиться 2 об'єкта. Приведемо це доведення.

Нехай , розглянемо сукупність t+2 чисел, що складається із 1 і значень дробових частин для x=0, 1, …, t (причому =-, ). Очевидно, кожне із чисел цієї сукупності належить точно одному із t+1 проміжків , , …, , із яких перші t є напівсегментами, а останній сегментом.

--------------------------------------------

0 1

Так як чисел у нас t+2, то (згідно принципі Діріхле) обов'язково знайдеться проміжок, який містить 2 числа із сукупності і 1. Різниця цих двох чисел не перебільшує довжину проміжку, в якому вони містяться, тобто .

1. Якщо таким числами є і , то . Нехай і , . Так як , то , ).

2. Якщо і 1 належать одному проміжку, то

Нехай у такому випадку , . Очевидно, і тут , так що , ).

Теорема доведена.

Розглянемо приклад застосування теореми Діріхле.

Знайти раціональне наближення до з точністю до .

Розв'язок: розкладемо в ланцюговий дріб.

=2 -2<1.

=(2, 4, 4, 4, …)=(2,(4)).

Найбільший знаменник, менший ніж 1000, при =305. Дріб, що ми шукаємо дорівнює ; .

Знаходимо підходящі дроби

	2	4	4	4	4	4	…
	2	9	38	161	682	…	…
	1	4	17	72	305	1929	…

2.1.6 Підходящі дроби як найкраще наближення

Наближення підходящим дробом дає велику точність при значно меншому знаменнику, ніж наближення десятковим дробом. Покажемо це.

Округляючи десяткові вирази дійсного до n - го знаку після коми, ми тим самим представляєм наближено дробом із знаменником , причому похибка , якщо ж підходящий дріб до , то , так як при скільки - небудь значному q величина у багато раз більша, ніж .

Приклад: десятковий вираз числа у вигляді раціонального дробу із знаменником має вид . Якщо ж розкласти в ланцюговий дріб отримаємо =(3, 7, 15, …); .

Найбільшим підходящим дробом для із знаменником є число , відоме уже Архімеду, причому . Отже, ми отримали, що наближення підходящим дробом дає велику точність, ніж наближення десятковим дробом.

Це пояснюється тим, що знаменники підходящих дробів визначаються арифметичною природою, а знаменники наближаючих десяткових дробів не можуть буть іншими, як тільки .

Теорема. Якщо раціональне число ближче до дійсного числа , ніж його підходящий дріб , де k>1, то , тобто якщо , то .

Доведення. Розглянемо випадок, коли (інакше втрачає сенс). Тоді завжди лежить між будь - якими двома наступними підходящими дробами так, що для k>1 завжди лежить між і , причому ближче до , ніж до. Тому, якщо ближче до , ніж до , то воно знаходиться між і . У випадку парного можна записати <<(у випадку непарного k доведення кардинально не змінюється), звідки

, або, , звідки, домножаючи нерівність на , отримаємо .

Так як - число ціле і додатнє, то із попередньої рівності випливає

,, що і треба було довести.

Ми встановили, що будь - який раціональний дріб , що належить інтервалу , k>1, маємо знаменник . Для k=1 теорема невірна: може виявиться ближче до , ніж підходящий дріб , хоча . Доведена теорема приводить нас до наступного означення:

Раціональний дріб називають найкращим наближенням дійсного , якщо будь - який більш близький до раціональний дріб має більший знаменник, ніж , тобто якщо із випливає d>b.

Таким чином, підходящі дроби є найкращими наближеннями, наприклад Архімедове число для є найкращим наближенням.

Раніше ми довели, що оцінки похибки ,що утворились при заміні будь - якого дійсного його підходящим дробом , можливо застосовувати нерівність . Виразимо цей результат по відношенню до дійсного ірраціонального що має нескінченну кількість підходящих дробів, наступним чином: для будь - якого ірраціонального існує при c=1 нескінченну множину нескоротних дробів таких, що (1).

Такими дробами є, наприклад, всі підходящі дроби для .

Виникає питання: При яких менших значеннях c (ніж c=1) існує для будь - якого ірраціонального нескінченна множина (нескоротних дробів) раціональних наближень , похибка яких .

Теорема. Для будь - якого ірраціонального числа існує при нескінченних множин нескоротних раціональних дробів таких, що (). Таким раціональними дробам можуть бути тільки підходящі дроби до .

Доведення. Доведемо 1 частину теореми. Розглянемо два наступних підходящих дроба до і . Припустимо, шо ні один із цих дробів не задовольняють нерівність ().

Тоді маємо:

, . Звідси .

Але так як лежить між і , то

, звідси випливає , або , а це для k >1 неможливо. Ми прийшли до протиріччя, отже наше припущення невірне, а вірне те, що потрібно довести.

Для доведення другої частини теореми доведемо достатній признак підходящого дробу до дійсного числа : якщо , де Q>0, нескоротній дріб і для дійсного має місце нерівність (), то є підходящим дробом для

Доведення. Покажемо, що якщо =()= ( задовольняє умови теореми) підходящий дріб до , то відповідне залишкове число розклад даного розкладу даного в ланцюговий дріб виявиться > 1. Дійсно, , звідки слідує , так як . Теорема доведена повністю.

Достатня ознака підходящого дробу не є необхідною ознакою; можуть існувати підходящі дроби для , які йому не задовольняють.

Крайню можливість зменшення c в указаному раніше сенсі виражає теорема Гурвіца - Бореля.

Теорема. Для будь - якого дійсного ірраціонального числа існують при нескінченну множину нескоротних раціональних дробів ? таких, що виконується нерівність (1), тобто нерівність , () якщо ж , то існує такі дійсні ірраціональні , для яких нерівність (1) має не більше кінцевого числа раціональних розв'язків .

Доведення. Доведемо 1 частину. Розкладем в ланцюговий дріб. Ми доведемо, що із трьох будь - яких сусідніх підходящих дробів , i=k, k+1, k+2 хоча б один задовольняє умові . Доведення цього твердження будемо проводить методом від супротивного. Припустимо, що для будь - яких трьох сусідніх підходящих дробів виконуються нерівності:

, , (2)

і розташовані по різні сторони від і тому при непарному k із (2) випливає , а при парному:

, так що і в тому і в тому випадку маємо:

, або домножаючи на і переносячи всі члени в одну сторону , тобто , або, оскільки і цілі, . (3)

Так як і також розташовані по різні сторони від із (2) аналогічно отримуємо: . (4)

Користуючись тим, що із (3) і (4) маємо:

.

Припущення, що виконані всі три нерівності (2), привело нас до противоріччя, тому хоча б один із трьох підходящих дробів , , , взяті в якості , повинна виконуватися нерівність ().

Придяаючи k різні значення, отримаємо нескінченну множину дробів, що задовольняють нерівність ().

Доведемо другу частину.

Припустимо, що при , нерівність (1) задовольняється для нескінченної множини раціональних чисел . Тоді для кожного такого дробу нерівності , звідки, підставляючи значення , отримуємо , а підносячи до квадрату, отримуємо: . Так як , то при достатньо великому Q будемо мати: і, тому ціле число , =, шо при цілих P і Q неможливо. Отримане протиріччя показує, що нерівність (1) може мати місце для кінцевого числа раціональних чисел . Теорема доведена повністю.

Ця теорема була опублікована Гурвіцем у 1891 році. Той факт, шо із трьох сусідніх підходящих дробів хоча б 1 дасть наближення вигляду , був доведений Борелем в 1903 році.

Останнім теоремам можна дати і інше дуже важливе тлумачення.

Розглянемо для цього рівняння , де - будь-яке дійсне ірраціональне число. Виключаючи тривіальний розв'язок х=y=0, це рівняння не може мати розв'язок в цілих числах, тобто знаходження таких пар чисел x(x>0) і y, щоб: або .

Теорема Гурвіца-Бореля показує, що для завжди існує нескінченна множина таких пар; якщо ж , то існують такі дійсні числа, для яких таких пар є лише кінцева множина.

Нова точка зору отримує, разом з методом Діріхле, досить значне застосування в теорії діафантових наближень.



Висновок

Данна курсова робота покзує значення ланцюгових дробів в математиці.

Їх можна успішно застосовувать для розв'язку невизначених рівнянь вигляду ax+by=c. Основна трудність при розв'язку таких рівнянь полягає в тому, щоб знайти якісь-небудь його часткові розв'язки. Так от, за допомогою ланцюгових дробів можна вказати алгоритм для знаходження такго часткового розв'язку.

Ланцюгові дроби можна застосовувать і для розв'язання більш важких невизначних рівнянь, наприклад, так званого рівняння Пелля:

().

Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використанні для розв'язку алгебрагічних і трансцедентних рівнянь, для швидкого обчслення значень окремих функцій.

В даний час ланцюгові дроби знаходять все більше застосування у обчислювальній техніці, бо дозволяють будувать ефективні алгоритми розв'язку ряду задач в ЕОМ.



Список літератури

1. Бухштаб. А.А. Теория чисел. М.: Просвещение 1996.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука 1972.

3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., А.А. Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение 1993.

Размещено на Allbest.ru

...