Тригонометрия вокруг нас
История происхождения тригонометрии как научного раздела астрономии, вклад ученых древности в ее развитие. Особенности применения математических знаний к решению задач повседневной практики, их использование в дальнейшей профессиональной деятельности.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.01.2017 |
| Размер файла | 1,7 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждении средняя общеобразовательная школа №14 города Кузнецка
Реферат
Тригонометрия вокруг нас
Исполнители: Ученики 11 а класса
Шерстнев Андрей, Фабричнов Вадим
Гордеев Илья.
Руководитель: Леушина Г.В.
Кузнецк 2011
Содержание
- Введение
- История тригонометрии
- Решение задач
- Задача № 1
- Задача № 2
- Задача №3
- Задача № 4
- Задача № 5
- Задача № 6
- Построение графиков в полярной системе координат
- Заключение
- Список литературы
Введение
Многие математические понятия при формальном изучении кажутся искусственными, оторванными от жизни, а иногда просто непонятными.
При изучении тригонометрии нам пришла идея изучить историю происхождения тригонометрии и показать применение математических знаний к решению задач повседневной практики, а, может быть, в дальнейшей профессиональной деятельности.
Мы изучили соответствующую литературу, нашли интересные задачи, рассмотрели полярную систему координат и построение графиков в ней.
Цели и задачи.
1. Изучить историю происхождения тригонометрии.
2. Показать применение тригонометрии для решения геометрических, физических, тригонометрических задач.
3. Познакомить сверстников с новыми знаниям по этой теме.
История тригонометрии
Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как её вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла гораздо раньше плоской.
Некоторые тригонометрические сведения были известными древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией, однако они рассматривали не линии синусов и косинусов, а лишь их хорды. Роль синуса угла альфа у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную двум альфа.
Греческий астроном Гиппарх во II веке до нашей эры составил таблицу значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг.
Названия линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учеными (Муххамадом ат-Туси, Мусой ал-Хорезми, Ахмедом ибн Абдаллах ал-Марвази и другими). Они же и составили впервые таблицы синусов, менее точные, чем птолемеевы.
В Европе XII - XV веков, после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие геометрии продолжалось. При решении плоских треугольников широко применялась теорема синусов, вновь открытая ученым, жившим в Южной Франции, Львом Герсонидом, тригонометрия которого была в 1342 году переведена на латинский язык.
Самым видимым европейским представителем в этой эпохе тригонометрии был Региомонтан. Его мастерски изложенный тригонометрический труд "Пять книг о треугольниках всех видов" имела большое значение для дальнейшего развития тригонометрии.
Важный вклад в развитие тригонометрии внесли такие ученые, как Беруни, Леонард Эйлер, Бернулли и многие ученые Европы и Азии.
Решение задач
Мы знаем, что тригонометрию применяют к решению теоретических задач, то есть тех, которые мы решаем на уроках, но существуют и прикладные задачи по тригонометрии.
Рассмотрим решение нескольких таких задач.
Задача № 1
На какой высоте следует повесить фонарь, имеющий J свечей, над центром площади, представляющей собой квадрат со стороной a (м), чтобы в средних точках каждой из сторон этого квадрата освещенность достигала, наибольшей величины?
Решение: Пусть О - центр квадрата ABCD, OF - перпендикуляр, восстановленный из точки О к плоскости этого квадрата, К - середина стороны CD. Соединим F с K и обозначим угол FKO через х.
тригонометрия математический астрономия ученый
Согласно закону освещенности имеем, что освещенность E в точке K от фонаря в J свечей, помещенного в точке F, составляет
Функция принимает положительные значения, так как по смыслу задачи и функция достигает наибольшего значения одновременно с функцией , которую можно преобразовать к виду
Но при этом
Согласно теореме "Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшего значения тогда и только тогда, когда эти множители равны" имеем, что произведение достигает наибольшего значения тогда и только тогда, когда т.е. .
Освещенность E в точке К достигает наибольшей величины, когда , т.е. .
Из прямоугольника OKF найдем, что соответствующая этой величине угла х длина катета OF равна .
Освещенность, сообщаемая средним точкам сторон квадрата фонарем, находящимся точно над центром этого квадрата, достигает наибольшего значения, возможного в этих точках при данной длине a (м) стороны квадрата и данной силе света J фонаря, когда высота составляет .
Задача № 2
Под каким углом к горизонту должен падать луч на поверхность воды, чтобы этот угол был равен углу преломления?
Решение
При падении светового луча на границу двух сред угол б называется углом падения, в - углом преломления. Показатель n преломления двух сред равен для воды
n= 1.33
по условию sin б = sin (900 - в)= 1.33sin в
Задача №3
Кастрюля высотой 15 см наполнена водой. Под каким минимальным углом к горизонту на посмотреть, чтобы увидеть центр ее дна, если его диаметр 26см? Какова при этом "кажущаяся глубина" кастрюли? Больше или меньше она реальной глубины?
Задача № 4
На уроке математики, чтобы скоротать время, десятиклассник чертил прямоугольники с вершинами на краях прямоугольного листа и вскоре заметил, что их можно сделать как угодно малыми. Сама собой появилась обратная задача: через все вершины данного прямоугольника со сторонами a, b проведены стороны нового прямоугольника. Какова его площадь?
Решение:
Обозначим через x угол между сторонами первого и второго прямоугольника. Выразим через a, b, x стороны нового прямоугольника:
a*cos (x) +b*sin (x), a*sin (x) +b*cos (x).
Значит площадь нового прямоугольника равна
S= (a*cos (x) +b*sin (x)) * (a*sin (x) +b*cos (x)) =
(aІ+bІ) *sin (x) *cos (x) +a*b* (cosІ (x) +sinІ (x)) =
(aІ+bІ) /2*sin (2*x) +a*b,
откуда
Sin (2*x) =2* (s-a*b) / (aІ+bІ).
А так как 0?sin (2*x) ?1, то a*b ?S ? (a+b) І /2.
Ответ: a*b ?S ? (a+b) І /2
Задача № 5
Задача № 6
Поле имеет четырехугольную форму. Известно, что три его стороны a,b,c и образованные ими углы углы б,в. Необходимо вывести формулу для вычисления площади.
Решение:
Вывод
Итак, мы рассмотрели некоторые задачи, где показали значимость математических знаний, ближнюю и дальнюю перспективы их использования.
Полярная система координат.
Кроме известной нам прямоугольной системы координат, или декартовой, существуют еще и другие.
Полярная система координат - система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (с; ц).
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).
Координата с определяет расстояние от точки до полюса, координата ц - угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку.
Координата ц берётся со знаком "+", если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком "-" в противоположном случае.
Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (с; ц+2рn), которым соответствует одна и та же точка при любых целых n.
Для полюса с=0, угол ц произвольный.
Иногда допускаются отрицательные значения с, в этом случае координаты (с; ц) и (-с; ц+р) определяют одну и ту же точку плоскости.
Построение графиков в полярной системе координат
Пример №1: Кардиоида с=a (1+cos ц)
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пример №2: Трёхлепестковая роза с=cos (3*ц)
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
12
Размещено на http://www.allbest.ru/
Заключение
Интерес к математике подтолкнул нас изучить более глубоко тригонометрию, доказать её значимость не только в математике, но и в её практическом применении, да и просто с пользой для себя и для сверстников провести время.
Список литературы
1. Александров А.Д. и др. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. 2-е изд. - М., Просвещение, 1995.
2. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник. 9-11 кл. - М., Дрофа, 1997.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М., Просвещение, 1983.
4. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики. - М., Высшая школа, 1978.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие тригонометрии, ее сущность и особенности, история возникновения и развития. Структура тригонометрии, ее элементы и характеристика. Создание и развитие аналитической теории тригонометрических функций, роль в нем академика Леонарда Эйлера.
творческая работа [69,7 K], добавлен 15.02.2009Развитие аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формирование их математической зоркости. Изучение тригонометрии в курсе геометрии основной школы, методы решения нестандартных задач из курса 8 класса и из альтернативных учебников.
курсовая работа [396,0 K], добавлен 01.03.2014История появления тригонометрии, роль Л. Эйлера в ее развитии. Тригонометрические функции плоского угла. Применение гармонических колебаний и волновых процессов. Преобразование Фурье и Хартли. Общее понятие про тригонометрическое нивелирование.
презентация [12,2 M], добавлен 29.03.2012Граф как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами, способы и сфера их применения. Специфика теории графов как раздела дискретной математики. Основные способы преобразования графов, их особенности и использование для решения математических задач.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 18.01.2013Знакомство с особенностями возникновения тригонометрии, рассмотрение этапов развития. Анализ способов решения треугольников, основанных на зависимостях между сторонами и углами треугольника. Характеристика аналитической теории тригонометрических функций.
презентация [654,4 K], добавлен 24.06.2014Исторический обзор формирования тригонометрии как науки от древности до наших дней. Введение понятия тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебникам А.Г. Мордковича, М.И. Башмакова. Решения линейных дифференциальных уравнений.
дипломная работа [2,6 M], добавлен 02.07.2011Жерар Дезарг как известный французский математик, краткий очерк его жизни и деятельности. Сущность и содержание теоремы данного ученого, исторические основы ее создания и развития, особенности применения к решению задач, на евклидовой плоскости.
курсовая работа [151,3 K], добавлен 28.04.2011Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси.
методичка [195,5 K], добавлен 15.06.2015История развития тригонометрии, характеристика ее основных понятий и формул. Общие вопросы, цели изучения и способы определения тригонометрических функций числового аргумента в школьном курсе. Рекомендации и методы решения тригонометрических уравнений.
курсовая работа [257,7 K], добавлен 19.10.2011История возникновения, основные понятия графа и их пояснение на примере. Графический или геометрический способ задания графов, понятие смежности и инцидентности. Элементы графа: висячая и изолированная вершины. Применение графов в повседневной жизни.
курсовая работа [636,2 K], добавлен 20.12.2015Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.
реферат [35,0 K], добавлен 15.05.2007Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.
реферат [27,6 K], добавлен 11.09.2010История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.
реферат [323,3 K], добавлен 07.09.2009Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия. Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка.
презентация [379,7 K], добавлен 19.06.2015Биография Л. Эйлера - выдающегося математика, внесшего значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Полжизни провёл он в России, где внёс существенный вклад в становление отечественной науки.
презентация [3,2 M], добавлен 07.06.2009Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.
дипломная работа [593,1 K], добавлен 22.12.2012Анализ особенностей методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью. Роль задач в формировании учебной деятельности младших школьников. Виды задач в начальном курсе математики.
курсовая работа [36,0 K], добавлен 07.01.2015Исторический обзор формирование тригонометрии как науки. Различные способы введения понятия тригонометрических функций. Анализ школьных учебников М.И. Башмакова и А.Г. Мордковича по данной тематике. Перспективы использования материала для преподавания.
дипломная работа [2,7 M], добавлен 02.07.2011Открытия О. Хайяма в области астрономии, математики и физики. Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы. Комментарии к трудностям во введениях Евклида. Закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению (Э. Галуа).
реферат [22,5 K], добавлен 14.12.2009Понятия сферической геометрии, соответствие между сферической геометрией и планиметрией. Применение сферической тригонометрии в навигации. Углы сферического многоугольника, анализ планиметрических аксиом. Теорема косинусов для сферических треугольников.
курсовая работа [761,7 K], добавлен 06.12.2011
