Алгебраический метод построения геометрических задач на построение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Физико-математический факультет

44.03.05 Педагогическое образование профиль математика и информатика

Кафедра математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Бедарева Мария Николаевна

Научный руководитель доцент

Н.А.Пахаева

Горно-Алтайск 2016

Оглавление

Введение

1. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение

2. Задачи на построение и схема их решения

3. Построение отрезков заданных основными формулами

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

Одним из важных методов, применяемых в школьном курсе геометрии, является алгебраический метод решения задач на построение. Уже в 6-7 классах учащиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказательство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.

Алгебраический метод решения задач на построение - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

Целью данной курсовой работы является раскрытие темы алгебраический метод решения задач на построение, обзор задач на построение и схемы их решения, а так же построение отрезков, заданных основными формулами. алгебраический задача решение геометрия



1. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение

Сущность метода заключается в следующем. Решение задач на построение сводится к построению некоторого отрезка (или нескольких отрезков). Величину искомого отрезка выражают через величины известных отрезков с помощью формулы. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.

Пример 1. Провести окружность через две точки А и В так, чтобы длина касательной к ней, проведённой из точки С равнялась а.

Анализ. Пусть через точки А и В проведена окружность так, что касательная к ней из точки С равняется а. Так как через три точки можно провести окружность, то проведём СВ и определим положение точки К. Полагаем СК = х и СВ = с; тогда по свойству касательной сх = а².

Построение.

1. для построения х чертим полуокружность на ВС и дугу (С, а);

2. опустим LK BC;

3. с КС = а²; поэтому х = КС, и точка К будет искомая;

4. восстановив перпендикуляры из середин АВ и КВ до их пересечения найдём искомый центр О;

5. чертим окружность (О, ОА);

МС - искомая касательная.

Доказательство. МС² = СВКС = и МС = а, как и требовалось.

Исследование. Выражение a с - условие существования решения нашей задачи, так как только при этом условии дуга (С, а) пересечёт окружность СLB.

Пример 2. Из вершин данного треугольника как из центров опишите три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Анализ. Пусть АВС - данный треугольник, а, b, c - его стороны, х, у, z - радиусы искомых окружностей. Тогда x+y=c, y+z=a, z+x=b. Поэтому, откуда

Построение.

1. проводим окружность S1(A, x);

2. S2(B, c - x);

3. S3(C, b - x).

Доказательство. Найдём сумму радиусов окружностей S₁ и S₃:

(c-x)+(b-x)=(c+b)-2x=(c+b)-(c+b-a) = ВС.

Получили, что сумма радиусов равна расстоянию между их центрами, что и доказывает касание окружностей S₂ и S₃.

Исследование. Задача всегда однозначно разрешима, поскольку:

1. в треугольнике АВС сумма сторон b+c>a, и поэтому отрезок х может быть построен;

2. c>x, потому что (так как a+c>b);

3. b>x, так как .

2. Задачи на построение и схема их решения

Если условия задач могут быть выражены с помощью алгебраических соотношений или уравнений, то задача на построение получает аналитическое изображение. Аналитическое решение задачи позволяет найти и геометрическое решение, т.е. само построение.

Задачи 1-2 используют при решении признак разрешимости задач на построение.

Задача 1. Отсечь с помощью циркуля и линейки от угла в 7 угол в 3.

Решение. Достаточно отложить угол в 7 51 раз последовательно по часовой (против часовой) стрелки. В сумме получается угол в 751=357, тем самым получим угол в 3. Теперь достаточно от угла в 7 отсечь этот угол в 3 откладыванием соответствующей дуги.

Задача 2. Можно ли построить угол в 1, имея шаблон угла величиной:

а) 17; б) 19; в) 27.

Решение:

а) 1753 1805=1 да;

б) 1919 1802=1 да;

в) x, yZ число 27х+180у кратно 9 и поэтому не может равняться 1 нет.

Если а, b, c суть данные отрезки, то с помощью циркуля и линейки нетрудно построить a+b, a b, . Например, среднее геометрическое отрезков х=имеет следующее построение:

Рисунок 1 Схема построения к Задаче №2

На произвольной прямой отложим данные отрезки а и b так, чтобы конец одного совпадал с началом другого (и эта точка была единственной их общей точкой). Разделим АС пополам точкой О и радиусом равным половине отрезка АС, построим окружность с центром в точке О. Из точки восставляем перпендикуляр к отрезку АС. Точку пересечения перпендикуляра и окружности обозначим D. ВD=х=.

Доказательство. В прямоугольном АDC:



.

Задача 3. Построить отрезок х=.

Рисунок 2 Схема построения к Задаче №3

Построение:

1. На произвольной прямой АВ отметим точку М.

2. Проведем MNAB.

3. MC=b, CMN.

4. E=(C, a)АВ, ab

5. EM=

Задача 4. Построить х=

Указание. Строим и затем х=.

Задача 5. Построить корни квадратного уравнения .

Решение. Для того, чтобы корни уравнения выражали определенные отрезки, необходимо, чтобы все члены уравнения были второго измерения, т.е. свободный член выражался квадратом некоторой величины. Пусть дано уравнение х²+ax+b²=0. Решив это уравнение, находим:



Рисунок 3 Схема построения к Задаче №5

Используя решение задачи 3 строим ЕМ= Из центра Е радиусом ЕМ проводим окружность. Получим

Решение возможно, если .

Рисунок 4 Схема построения№2 к Задаче №5

Другое решение: корни уравнения можно построить пользуясь свойством перпендикуляра, проведенного из точки окружности на диаметр. Отложив АВ = а, опишем на АВ как на диаметре окружность и проведем MN||AB до пересечения с окружностью в точке L. Проводим LCAB; отрезки АС и СВ выражают корни уравнения, т.к. АС+СВ=а, АССВ=LC²=b²

Задача 6. В АВС провести МN||AC так, чтобы разность МВ и NC равнялась данному отрезку d.

Решение. Чтобы знать положение точки М, надо знать длину ВМ; обозначим эту длину через х. Из подобия BMN и ВАС имеем: ВМ:ВN=AB:BC или, т.к. ВN=BC CN=a (xd),

, xa=cacx+cd, .

Решая это уравнение. Находим .

Рисунок 5 Схема построения к Задаче №5

Построение. Отрезок х должен лежать на стороне с, а против х должна быть сторона а+d, против стороны с сторона а+с. Поэтому на продолжении ВС откладываем СК=d и CL=c, соединяем L c A и через К проводим КМ||LA, получим искомую точку М. Проводим MN||AC.

Доказательство. Из подобия ВМКВАL имеем: ВМ:АВ=ВК:ВL, или ВМ: с=(а+d):(a+c). Сравнивая эту пропорцию с пропорцией (*), видим, что ВМ=х.

Докажем, что ВМNC=d. Действительно, из пропорции NC:BC=AM:AB находим:

,

Откуда

.

Исследование. Задача разрешима, если d c.

3. Построение отрезков заданных основными формулами

Применение алгебраического метода к решению геометрических задач сводится к следующему алгоритму:

* составлению уравнения по условиям задачи;

* решению полученного уравнения относительно буквы, означающей искомый отрезок;

* исследованию полученной формулы;

* построению отрезка по полученной формуле.

Если решение задачи сводится к построению какого-либо отрезка, то можно принять этот отрезок за х и решить вначале задачу на вычисление, т.е. выразить х через известные отрезки x = f(a, b, c, …). Далее остается построить отрезок х по этой формуле.

Алгебраический метод универсален и применим к любой задаче на построение, но не всегда дает наиболее простое решение. Метод используется также для доказательства (не)разрешимости задачи на построение с помощью линейки и циркуля.

Пусть через a, b, c, … обозначены заданные отрезки, а через x, y, z, … - искомые.

Построение отрезков по формулам, представляющим собой сумму, разность (x = a ± b), а также умножение или деление на целое число (x = ka, x = a/k) сводится к сложению или вычитанию отрезков, увеличению отрезка в заданное число раз и делению отрезка на заданное число равных частей.

Построение отрезков по формулам

,

сводится к построению прямоугольного треугольника по его катетам, либо гипотенузе и катету. В первом случае х - гипотенуза, во втором - катет.

Построение отрезка по формуле сводится к нахождению четвертого пропорционального отрезка. Для этого используется теорема о пересечении сторон угла параллельными прямыми.

Рисунок 6 Теорема о пересечении сторон угла параллельными прямыми

Построение отрезка по формуле удобно выполнять, используя теорему о перпендикуляре, опущенном из произвольной точки окружности на ее диаметр.

Рисунок 7 Теорема о перпендикуляре, опущенном из произвольной точки окружности на ее диаметр

Построение отрезков по формулам, являющимся комбинациями приведенных выше формул, выполняется введением вспомогательных неизвестных отрезков и последовательным их построением. Формулы сложного вида представляются в виде суперпозиции (комбинации) перечисленных выше формул. Например:

Если не задан единичный отрезок, то по формулам x = a2, x = 1/a, построить отрезок х невозможно. Если единичный отрезок задан, то построение осуществляется просто:

Приведем примеры построения отрезков, выраженных формулами.

Пример 1.

где y = a + b, z = b - c, t = a + c.

Пример 2.

где y = a + b, z = a + c.



Заключение

В ходе работы над курсовой работой была рассмотрена тема алгебраический метод решения задач на построение.

Были разобраны задачи на построение и схемы их решения, а так же рассмотрена тема построение отрезков, заданных основными формулами.

Задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, и недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать многие разделы математики. Так же работая с литературой, я пришла к выводу, что:

1) необходимо уделять больше внимания изучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являются мощным средством развития логического мышления учащихся;

2) геометрические задачи на построение не нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курса геометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывно связаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо не только обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания, но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.

Из выше перечисленного следует, что данную тему можно рассматривать с учениками старших классов на спецкурсах.



Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.. Геометрия I часть. М.: Просвящение, 1986. 352 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.. Геометрия II часть. М.: Просвящение, 1987. 336 с.

3. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия, 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 388 с.

4. Лидский В., Овсянников Л., Тулайков А., Шабунин М. Задачи по элементарной математике, пятое издание, М.: Наука, 1968. 412 с.

Размещено на Allbest.ru

...