Совместимость системы линейных уравнений. Действия с векторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

матрица векторный алгебра уравнение

Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами:

а) методом Крамера;

б) средствами матричного исчисления.

Решение.

Исследуем систему на совместность:

Воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли, для этого найдем ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду методом элементарных преобразований, и определим количество ненулевых строк в матрице.



Приведем матрицу системы к ступенчатому виду методом элементарных преобразований, и определим количество ненулевых строк в матрице.

Так как ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то система совместна.

Найдем решение системы по формулам Крамера:

Выпишем основную матрицу системы и найдем ее определитель:

Поскольку определительный главной матрицы системы (главный определитель) не равен нулю, то система является совместной.

Подставим столбец решений в первый столбец главной матрицы и найдем ее определитель:

Подставим столбец решений во второй столбец главной матрицы и найдем ее определитель:

Подставим столбец решений в третий столбец главной матрицы и найдем ее определитель:

Найдем решение:

Найдем решение системы матричным способом:



Найдем обратную матрицу . Найдем алгебраические дополнения:



Задача 2

Даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) площадь грани ;

4) объем пирамиды ;

Решение.

Найдем длину ребра A₁A₂ по формуле

Угол б между ребрами A₁A₂ и A₁A₄ равен углу между векторами и . Найдем координаты этих векторов:

Тогда угол б определим из соотношения



3) Найдем векторное произведение

Векторы ,

Тогда площадь грани A₁A₂A₃ равна

4) Найдем смешанное произведение

Векторы ,

Тогда объем пирамиды:

Задача 3

Доказать, что векторы линейно независимы и найти разложение вектора в этом базисе по векторам .

Решение.

Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг. Для этого приведем ее к треугольному виду.

Ранг системы векторов равен 3. Векторы линейно независимы и поскольку их три и они трехмерные, то они образуют базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства можно разложить по векторам этой системы.

Найдем координаты разложения. Подставим координаты векторов в последнее равенство.

Так как векторы равны, то равны их координаты.

Получена система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим ее



Разложение вектора (6, 12, -1) в данном базисе имеет вид

Задача 4

Даны три вершины треугольника: .

Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) длину стороны ВС;

в) уравнение высоты, опущенной из вершины А;

г) систему неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

а) уравнение стороны АВ найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

б) Длину стороны ВС найдем как расстояние между токами В и С:



в) Высота - прямая, проходящая через точку A, перпендикулярно прямой ВС. Найдем уравнение прямой ВС и ее направляющий вектор:

Тогда уравнение высоты:

г) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник. Для определения знаков неравенств в левую часть каждого из уравнений сторон подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости.

Уравнения сторон:

Подставим точку С(0; 5) в уравнение стороны АВ:

Подставим точку B(18; 8) в уравнение стороны АC:

Подставим точку A(12; 0) в уравнение стороны BC:

Итак, запишем искомую систему неравенств:



Задача 5

Не применяя правило Лопиталя, найти пределы функций.

Задача 6

Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.



Решение.

Область определения.

Область определения кусочно-заданной функции - это объединение всех ее составляющих. Таким образом,

Точки разрыва.

Очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому будем проверять граничные точки.

Исследуем на непрерывность точку х = -2

- функция определена в данной точке

Найдем односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция f(х) терпит разрыв первого рода со скачком в точке х = -2.

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:

,

т.е. график поднялся на 5 единиц вверх.

Исследуем на непрерывность точку х = 2.

- функция определена в данной точке

Найдем односторонние пределы:



Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция f(х) терпит разрыв первого рода со скачком в точке х = 2.

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:

,

т.е. график опустился на 4 единицы вниз.

Асимптоты

Асимптот нет. Есть два разрыва первого рода в точке х = -2 со скачком равным 5 и в точке х = 2 со скачком равным -4.

График.

Задача 7

Найти производные данных функций.



Задача 8

Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

Решение.



На рисунке осевое сечение конуса.

АВС - равнобедренный треугольник AB=BC;

О - центр вписанной окружности;

М - точка касания стороны ВС с окружностью;

D - точка касания основания треугольника с окужностью.

Пусть высота конуса равна х, тогда из треугольника ОВМ (прямоугольный)

Треугольники ВСD и ВОМ подобны по двум углам, тогда справедливо равенство:

Найдем объем конуса:

Исследуем функцию V(x) на экстремум:



Получаем, что точка x=4R является точкой минимума. Следовательно, высота конуса наименьшего объема равна h=4R

Радиус конуса наименьшего объема:

Задача 9

Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить графики:

;

Решение.

1) Область определения

2) Четность, нечетность.

Проверим, выполняется ли какое-либо из равенств:

в данном случае функция будет четной

в данном случае функция будет нечетной

Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида.

Делаем вывод, что график функции не будет симметричен ни относительно оси Oy , ни относительно начала координат.

3) Периодичность

Данная функция не является периодической.

4) Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция является непрерывной как многочлен.

5) Точки пересечения с осями

Точки пересечения с осью Ох

Таким образом, график функции не пересекает ось Ох.

Точки пересечения с осью Оу

Таким образом, пересечение будет в точке (0;-1)

6) Поведение функции на концах области определения.

Концами области определения являются «-?» и «+». Найдем пределы функции при

Это свидетельствует о наличии горизонтальной асимптоты у=0.

5) Критические точки функции, интервалы монотонности

Для того, чтобы найти экстремумы функции, найдем производную и приравняем ее к нулю, корни этого уравнения будут критическими точками.

Нет точек экстремума.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости

Найдем точки перегибов. Для этого необходимо найти вторую производную функции и приравнять ее к нулю. Корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции.



Точек перегиба нет.

7) Эскиз графика

Размещено на Allbest.ru

...