Задача обтекания конуса
Характеристика метода параметрического дифференцирования для численного решения задачи об обтекании строгого конуса осевым сверхзвуковым потоком. Пример решения системы дифференциальных уравнений, описывающих сверхзвуковое обтекание конуса и клина.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.01.2017 |
| Размер файла | 186,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача обтекания конуса
Покажем возможности использования метода параметрического дифференцирования для численного решения задачи об обтекании строгого конуса осевым сверхзвуковым потоком идеального газа, исходя из известного решения плоской задачи обтекания конуса.
Хотя задача об обтекании конуса осевым сверхзвуковым потоком имеет самостоятельное, достаточно простое решение, здесь нам было интересно выяснить, что это решение является аналитическим продолжением по параметру решения задачи для плоского случая (рис.1).
Рис.1 Схема обтекания конуса осевым сверхзвуковым потоком газа
Системы дифференциальных уравнений, описывающее сверхзвуковое обтекание конуса и клина, могут быть сведены в одну систему введением параметра (плоскому течению соответствует , осесимметричному - ) следующим образом:
,
,
.
Граничные условия для решения системы (1) имеют вид:
- на теле
,
- на ударной волне
,
,
,
.
Здесь Р - давление; - плотность; и - составляющие скорости по соответствующим осям координат; , , - скорость, давление и плотность набегающего потока; - критическая скорость звука; - число Маха набегающего потока.
Вместо решения системы, описывающей движение конуса, рассмотрим зависимость решение системы (1) от параметра , непрерывно меняющегося от до . Рассматривая решение плоской и осесимметричной задачи, которые принадлежат множеству решений системы (1) и находятся на краях интервала (0,1) по , решение осесимметричной задачи ( будем искать, исходя из известного решения плоской задачи (, непрерывно двигаясь решением системы (1) с помощью метода параметрического дифференцирования, согласно которому
,
,
и аналогично для остальных неизвестных функций
,
,
.
Итак, для реализации итерационного процесса движения по параметру нужно получить систему дифференциальных уравнений и граничные условия для производных неизвестных функций по параметру .
Поскольку течение около конуса и около клина изэнтропическое, то для и существует связь между Р и , где энтропийная функция s, разная для и , не зависит от . При произвольном , не равном нулю или единице, связь между функциями и можно вместить любую, лишь бы на концах интервала (0,1) она удовлетворяла заданным условиям. Удобнее, однако, считать, что не зависит от при любом значении , т.е. параметрический дифференцирование конус обтекание
, (4)
где k - отношение теплоёмкости.
Обозначая
, , ,
и дифференцируя уравнение системы (1) по параметру, с учетом соотношения (4) получаем линейную систему трех дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных , , :
,
,
Дифференцируя соотношения (2) по параметру и учитывая, что угол зависит от , а значит,
,
получим граничные условия:
при
,
при
,
,
, (5)
причем
.
Итак, при каждом значении параметра имеет систему трех дифференциальных уравнений с четырьмя граничными условиями. Избыточность граничных условий компенсируется наличием в системе уравнений (5) неизвестного параметра .
Для решения системы уравнений на ЭВМ использовался метод Рунге -Кутта с начальными данными на границе . Параметр S для каждого значения численно определялся методом пристрелки по выполнению условия на теле Исходя из плоской задачи - обтекания клина, а также использую решения для каждого значения (с выбранным шагом ) линейной системы (5) и соотношения (3), получим параметры обтекания конуса.
В качестве примера рассчитывались следующие варианты:
а) , , k=1,4;
б) , , k=1,4;
в) , , k=1,4.
Удовлетворительное (погрешность составляет менее 2%) совпадение результатов расчета с данными, полученным непосредственным решением уравнения для конических течений, говорит о работоспособности метода получения пространственного течения из плоского (течений, существенно отличных друг от друга) и дает основание предполагать, что метод параметрического дифференцирования может оказать эффективным и для расчета малоотличающихся течений.
В заключение отметим, что увеличение точности полученных результатов, очевидно, связано с улучшением точности метода пристрелки и уменьшением шага по параметру .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.
презентация [499,0 K], добавлен 08.04.2012Основные виды сечения конуса. Сечение, образованное плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое) и через его вершину (треугольник). Образование сечения плоскостью, параллельной (парабола), перпендикулярной (круг) и не перпендикулярной (эллипс) оси.
презентация [137,9 K], добавлен 12.12.2013Поняття правильної піраміди, її висоти і радіусу описаного навколо неї прямого конуса. Особливості комбінацій геометричних тіл: твірної конуса, розміщення центра його основи та висоти. Властивості правильного трикутника і розрахунок об'єму тіла обертання.
контрольная работа [454,7 K], добавлен 07.07.2011Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Основа физики – геометрия. Она определяет способы задания координат. Преобразования их единственны и это преобразования Лоренца внутри изотропного конуса. На поверхности изотропного конуса эти преобразования не обладают единственностью. Расстояние света.
статья [6,1 K], добавлен 22.06.2008Разработка программного обеспечения для решения нелинейных систем алгебраических уравнений методом дифференцирования по параметру и исследование влияние метода интегрирования на точность получаемого решения. Построение графиков переходных процессов.
курсовая работа [619,3 K], добавлен 26.04.2011Расчет внешнего осесимметричного обтекания тел вращения. Поперечное обтекание тел вращения с сохранением системы координат. Расчет обтекания тел вращения большого удлинения приближенным методом. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения.
курсовая работа [94,5 K], добавлен 12.10.2009Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
курсовая работа [165,8 K], добавлен 12.10.2009Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Особенности решения линейных и нелинейных уравнений. Характеристика и практическое применение и различных методов при решении уравнений. Сущность многочлена Лагранжа и обратного интерполирования. Сравнение численного дифференцирования и интегрирования.
курсовая работа [799,6 K], добавлен 20.01.2010Обоснование алгоритма уточнения решения. Свойства последовательности стохастических матриц, которые гарантируют существование предельного конуса. Условия, при которых уточнённое по последовательности конусов оптимальное решение является единственным.
дипломная работа [117,9 K], добавлен 14.01.2011Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Параллельные методы решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Метод "встречной прогонки". Реализация метода циклической редукции. Применение метода Гаусса к системам с пятидиагональной матрицей. Результаты численного эксперимента.
курсовая работа [661,7 K], добавлен 21.10.2013Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Суть модифицированного метода Эйлера. Определение интерполяционного многочлена. Выведение формулы трапеций из геометрических соображений. Применение для расчетов интерполированного полинома Ньютона. Составление блок-схемы алгоритма решения уравнений.
курсовая работа [252,7 K], добавлен 14.02.2016
