Основные методы, применяемые для решения задач математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Метод моделирования широко применяют в таких областях, как автоматизация проектирования и организации в автоматизированных системах научных исследований, в системах исследования и проектирования, в системах массового обслуживания, анализ различных сторон деятельности человека, автоматизированное управление производственными и другими процессами. Важно подчеркнуть, что моделирование используется при проектировании, создании, внедрении, эксплуатации систем, а также на различных уровнях их изучения, начиная от анализа работы элементов и кончая исследованием системы в целом при их взаимодействии с окружающей средой.

1. Задачи статистического моделирования

Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью ЭВМ функционирования вероятностной модели некоторого объекта.

Задачи статистического моделирования состоят в том, чтобы научиться воспроизводить с помощью ЭВМ поведение таких моделей, например:

1) с помощью специальных методов и средств вырабатывать программы реализации случайных чисел;

2) с помощью этих чисел получать реализацию случайных величин или случайных процессов с более сложными законами распределения;

3) с помощью полученных реализации вычислять значения величин, характеризующих модель, и производить обработку результатов экспериментов;

Устанавливать связь алгоритмов моделирования с алгоритмами решения задач вычислительной математики с помощью метода Монте-Карло и строить так называемые “фиктивные” модели, т.е. модели, не имеющие связи с объектом моделирования, но удобные в вычислительном отношении и позволяющие вычислять нужные нам характеристики объекта.

Моделирование случайных процессов строится на основе базовых распределений случайных величин.

2. Метод Монте-Карло. Оценка погрешности метода. Случайные числа

Основной идеей метода статистического моделирования является идея создания математической модели, имеющей те же вероятностные характеристики и подчиняющейся тем же вероятностным законам, что и изучаемое случайное явление (процесс).

Предметом метода статистического моделирования являются численные методы, основанные на моделировании случайных величин и получении статистических оценок для искомых величин.

Методы статистического моделирования основаны на моделировании случайных дискретных величин с заданными законами распределения.

Смоделировать случайную величину - значит получить последовательность её возможных значений (реализаций).

Смоделировать случайное событие - значит, ответить на вопрос произошло оно в результате опыта или нет.

Моделирование случайной величины связано с понятием случайного числа.

Определение 2.1.

Возможные значения (реализации) случайной величины равномерно распределенной на (0; 1) называются случайными числами.

Обозначение случайного числа:

.

Замечание: Так как возможные значения случайной величины R могут иметь бесконечное число десятичных знаков, то в действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, а квазиравномерной случайной величиной R*, её возможные значения имеют конечное число знаков.

Способы получения случайных чисел:

1) моделирование случайной величины R с помощью бросания монеты;

2) физические генераторы. Физическим генератором (датчиком случайного двоичного разряда) называется специальное приспособление, в котором результаты некоторого случайного физического процесса преобразуются в последовательность значений случайной величины X с распределением;

3) таблицы случайных чисел;

4) с помощью ЭВМ (существуют специальные программы).

Общая схема метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Как правило, предполагается, что моделирование осуществляется с помощью электронных вычислительных машин (ЭВМ), хотя в некоторых случаях можно добиться успеха, используя приспособления типа рулетки, карандаша и бумаги.

Предположим, что нам требуется вычислить некоторую неизвестную величину m, и мы хотим сделать это, рассматривая случайную величину такую, что ее математическое ожидание

Пусть при этом дисперсия данной случайной величины .

Рассмотрим случайных независимых величин распределения которых совпадают с распределением рассматриваемой случайной величины .

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, распределение суммы:

,

будет приблизительно нормальным со средним, равным:

,

и дисперсией:

Согласно «правилу трех сигма», каковы бы ни были m и

Последнее соотношение можно переписать в виде:

Полученная формула дает метод расчета математического ожидания и оценку погрешности этого метода.

Сущность применения метода Монте-Карло заключается в определении результатов на основании статистики, получаемой к моменту принятия некоторого решения. Поэтому достоверность результатов, получаемых при использовании метода Монте-Карло, решающим образом определяется качеством генератора случайных чисел.

3. Моделирование (разыгрывание) дискретной случайной величины

Чтобы разыграть случайную дискретную величину, заданную законом распределения

Таблица 3.1 - Закон распределения дискретной случайной величины

надо:

1) разбить интервал на частичных интервалов:

математический статистический дискретный

;

;

.

2) выбрать случайное число . Если попало в частичный интервал , то разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение .

4. Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие появляется с вероятностью и не появляется с вероятностью .

Введем в рассмотрение дискретную случайную величину с законом распределения.

Таблица 4.1 - Закон распределения дискретно случайной величины

Пусть, если случайная величина приняла значение 1, то событие наступило, если случайная величина приняла значение 0, то событие не наступило.

Таким образом, разыгрывание противоположных событий свелось к моделированию случайных величин.

Заметим, что разбивать интервал на частичные интервалы не требуется, можно сразу выбирать случайные числа.

5. Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы событий , вероятности которых известны, сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины с законом распределения.

Таблица 5.1 - Закон распределения дискретно случайной величины

Если в испытании случайная величина приняла значение , то наступило событие .

Если события и - зависимы и совместны, то задачу сводят к моделированию полной группы событий.

6. Моделирование непрерывных случайных величин. Метод обратных функций

Метод обратных функций.

Пусть требуется разыграть (смоделировать) непрерывную случайную величину Х. т. е. получить последовательность её возможных значений , зная функцию распределения F(x) (или плотность распределения f(x)).

Теорема 6.1

Если - случайное число, то возможное значение разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения , соответствующее , является корнем уравнения .

Доказательство.

1) Докажем, что уравнение:

(1)

имеет единственный корень.

Функция распределения случайной величины Х (непрерывной) - является непрерывной и монотонно возрастающей (неубывающей) со значениями от 0 до 1, то для . А тогда где - функция, обратная к .

2) Докажем, что (корень уравнения (1)) есть возможное значение непрерывной случайно величины Х. Пусть возможное значение некоторой случайно величины Y. Заметим, что если , то и обратно, если , то ( в силу (1)).

Таким образом, если , то случайная величина R и обратно.

Тогда . Так как случайная величина R распределена равномерно, то . Но тогда , следовательно, Y = X, значит, есть возможное значение случайной величины Х с функцией распределения .

Если случайная величина Х (непрерывная) задана плотностью распределения , то (известно) тогда а уравнение (1) соответствует уравнению:

.

Моделирование случайной величины с равномерным распределением на отрезке.

Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда для

.

Составим уравнение (1). Имеем:

.

Отсюда . Задавая случайные числа находим последовательность значений случайной величины Х, равномерно распределенной на .

Моделирование случайной величины с показательным распределением.

Пусть случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром . Тогда функция распределения для .

Составим уравнение (1): . Отсюда . Так как случайная величина R равномерно распределена на , то и случа1йная величина равномерно распределена на . Поэтому использую формулу: .

Задаем - последовательность случайных чисел. Находим значения случайной величины Х, распределенной по показательному значению с параметром .

Моделирование случайной величины с нормальным распределением.

Методом обратных функций.

Функция распределения - нормальная плотность распределения с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением .

Уравнение (1): , но:

,

.

Используют таблицу для функции Лапласа: по значению функции находят значение аргумента.

При использовании ЭВМ применяют метод, основанный на центральной предельной теореме: если случайные величины независимы, одинаково распределены и их математическое ожидание и дисперсия конечны, то при увеличении n закон распределения приближается к нормальному.

В качестве Хi рассматриваем Ri. Тогда:

при можно считать, что случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с .

Перейдем от случайной величины Y к стандартной нормально распределенной случайной величине .

.

От случайной величины Х с , перейдем к стандартному нормальному распределению случайной величины U:

,

при n = 12:

.

Возможные значения:

.

Размещено на Allbest.ru