Типичные задачи математического анализа (пределы, исследование графиков, интегралы, дифференциальные уравнения)
Решение задачи на нахождение предела с применением правила Лопиталя. Составление уравнения касательной к графику функции. Исследование функции и построение ее графика. Пример вычисления определенного интеграла, а также решения дифференциальных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.03.2017 |
| Размер файла | 108,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
20
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ
ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И СТАТИСТИКИ
Контрольная работа
по дисциплине: Математический анализ
вариант №7
Задание 1
Найти предел:
Решение:
Если подставить предельное значение х, то получим неопределенность следующего вида:
.
Для раскрытия данного вида неопределенности применим правило Лопиталя. В общем виде оно представляет собой следующее равенство:
.
Таким образом:
.
Ответ: .
Задание 2
Составить уравнение касательной к графику функции перпендикулярной прямой . Сделать чертеж.
Решение:
Уравнение касательной к графику функции имеет вид:
,
где - угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке х0.
Так как касательная должна быть перпендикулярна прямой , то можно найти ее угловой коэффициент:
;
;
;
.
Определим точку касания А с координатами x0 и y0:
;
; ; .
Найдем уравнение касательной:
;
;
.
Сделаем чертеж.
Ответ: уравнение касательной - .
Задание 3
Исследовать функцию и построить схематично ее график.
Решение:
1. Найдем область определения функции.
Функция определена на всем множестве действительных чисел, т.е. область определения .
2. Исследуем функцию на четность-нечетность.
Т.к. и , то функция общего вида (ни четная, ни нечетная). предел график интеграл дифференциальный
3. Найдем вертикальные асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных значениях х.
4. Исследуем поведение функции в бесконечности, найдем горизонтальные или наклонные асимптоты.
; .
Т.к. конечен только один из пределов, то функция имеет левостороннюю горизонтальную асимптоту .
5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.
при (критическая точка).
Знаки производной изображены на рисунке ниже.
Таким образом, - точка максимума. Обозначим ее через А и определим вторую координату: .
Функция возрастает на интервале и убывает на интервале .
6. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
при (точка перегиба).
Обозначим точку перегиба как В(3;5,44): и
.
Знаки второй производной изображены на рисунке ниже.
Функция выпукла вверх интервале и выпукла вниз на интервале .
7. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
при . Т.е. точка С(5;0) - точка пересечения графика функции с осью Оx.
При . Т.е. точка D(0;0,7) - точка пересечения графика функции с осью Оу.
Построим схематично график функции.
Задание 4
Вычислить определенный интеграл:
Решение:
Ответ: .
Задание 5
Решить дифференциальное уравнение:
.
Решение:
Данное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным. В общем виде его можно представить в следующем виде:
.
В данном примере
и .
Для решения такого вида уравнения используют замену . Где одна из функций (v или u) может быть выбрана произвольно, а другая определяется из уравнения.
Т.к. , то получим:
Примем и решим данное уравнение:
;
;
;
;
;
.
Подставим полученное решение в первоначальное уравнение:
Используем замену переменной: ; .
Отсюда .
Ответ: .
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение:
Изобразим схематично линии, ограничивающие искомую фигуру.
Будем искать площадь фигуры ABCD. Используем метод интегрирования по частям:
Ответ: площадь фигуры составит примерно 7,4 ед.2.
Задание 7
Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
||
|
5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
10 |
18 |
В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
Решение:
Использование метода наименьших квадратов предполагает решение следующей системы уравнений:
Для построения линейной модели заполним таблицу с промежуточными расчетами:
|
i |
xi |
yi |
x2i |
xiyi |
|
|
1 |
-3 |
5 |
9 |
-15 |
|
|
2 |
-2 |
2 |
4 |
-4 |
|
|
3 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
|
|
4 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
5 |
1 |
5 |
1 |
5 |
|
|
6 |
2 |
10 |
4 |
20 |
|
|
7 |
3 |
18 |
9 |
54 |
|
|
сумма |
0 |
43 |
28 |
59 |
Определим параметры линейного уравнения:
, откуда .
Линейная зависимость примет вид: .
Выясним, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Для этого рассчитаем квадраты отклонений полученных значений от экспериментальных (д2).
|
i |
xi |
yi |
y=(x+1)2 |
y=2,11х+6,14 |
д12 |
д22 |
|
|
1 |
-3 |
5 |
4 |
-0,19 |
1 |
26,49 |
|
|
2 |
-2 |
2 |
1 |
1,92 |
1 |
0,01 |
|
|
3 |
-1 |
1 |
0 |
4,03 |
1 |
9,18 |
|
|
4 |
0 |
2 |
1 |
6,14 |
1 |
17,14 |
|
|
5 |
1 |
5 |
4 |
8,25 |
1 |
10,56 |
|
|
6 |
2 |
10 |
9 |
10,36 |
1 |
0,13 |
|
|
7 |
3 |
18 |
16 |
12,47 |
4 |
30,58 |
|
|
сумма |
0 |
43 |
35 |
42,98 |
10 |
94,54 |
Для того, чтобы оценка модели была измерена в тех же единицах, что и фигурирующие в эксперименте величины, в качестве оценки рассматривается следующая величина:
.
Для функции среднее отклонение составит: .
Для линейной функции : .
Таким образом, нелинейная функция лучше выравнивает данные, т.к. среднее отклонение значительно меньше, чем при выравнивании линейной функцией.
Сделаем чертеж.
Список использованной литературы
1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
2. Высшая математика для экономистов: Практикум /под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. Части I, II. - М.: Высшее образование, 2010.
4. Математика. Методические указания по проведению и выполнению контрольных работ с использованием КОПР. - М.: ВЗФЭИ, 2009.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.
методичка [335,2 K], добавлен 18.05.2010Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Понятие и характеристика неопределенного интеграла, его свойства. Методы интегрирования функций: разложение, замена переменной, по частям. Задача Коши, ее содержание. Дисперсия случайной величины. Решения для дифференциальных уравнений n-порядка.
лекция [187,9 K], добавлен 17.12.2010Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Определение определенного интеграла, правила вычисления площадей поверхностей и объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов. Понятие и виды дифференциальных уравнений, способы их решения. Действия над комплексными числами, понятие и свойства рядов.
краткое изложение [145,1 K], добавлен 25.12.2010Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011
