Застосування диференціального числення функцій однієї змінної
Визначення розмірів поперечного перерізу балки при заданій її формі та розмірах. Розкладення функції за формулою Маклорена. Знаходження границі з використанням правила Лопіталя. Знаходження найменшого і найбільшого значення функції на заданому проміжку.
| Рубрика | Математика |
| Вид | творческая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 28.02.2017 |
| Размер файла | 363,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Міністерство освіти і науки України
Вінницький державний педагогічний університет
імені Михайла Коцюбинського
Інститут математики, фізики і технологічної освіти
Кафедра математики та інформатики
Творче завдання на тему:
«Застосування диференціального числення функцій однієї змінної»
Виконала студентка 1 АМ групи
Ігнатко Віта Василівна
Вінниця 2016
Завдання №1. Геометрична задача
З корабля, який стоїть на якорі в 9 км від берега, треба послати гінця в табір, розміщений в 15 км від найближчої до корабля точки берега. Швидкість посильного при русі пішки - 5 км/год, а на човні - 4 км/год. В якому місці він повинен пристати до берега, щоби попасти в табір у найкоротший час?
Розв'язання:
К - корабель,
Б - берег,
Т - табір,
Припустимо, що береговою лінією є пряма. Відстань від корабля до найближчої точки берега - це перпендикуляр, опущений на берегову лінію - КБ. Точка М - місце, в яке повинен пристати гінець, щоб попасти в табір у найкоротший час. БТ=15 км, КБ= 9 км, БМ= х, МТ= (15-х) км.
Весь час (від корабля до табору ) обчислюється за формулою:
Так як КМ - це гіпотенуза прямокутного трикутника КБМ, то КМ= , тоді
Час повинен бути найменшим, найменше значення цієї функції буде в точці, де її похідна рівна нулю. Знайдемо ).
;
5x=;
x=12.
На відрізку при x=12 функція набуває найменшого значення.
БМ=12 км, МТ=3км.
Отже, гінець повинен пристати до берега в 3 км від табора.
Відповідь: 3 км від табора.
Завдання №2. Фізична задача
Колода довжиною 10 м має форму зрізаного конуса, діаметри основ якого дорівнюють 50 і 30 см. Потрібно вирізати з колоди балку з прямокутним перерізом, вісь якої співпадала б з віссю колоди і об'єм якої був би найбільшим. Якими мають бути розміри поперечного перерізу балки?
Розв'язання:
Розглянемо переріз колоди.
Об'єм колоди
Розглянемо трикутник АВС, з якого знайдемо АВ
Із трикутника АМК
Із трикутника АВС
Знайдемо похідну об'єму
;
Знайдемо другу похідну
а це означає, що при об'єм буде максимальним. При цьому .
Отже, довжина колоди
Відповідь:
Завдання № 3. Розкласти за формулою Маклорена функцію f x
Розв'язання
Функція розкладається за формулою:
Отже,
Завдання №4. Знайти границю, використовуючи правила Лопіталя
Розв'язання:
Відповідь: 0
Завдання №5. Знайти найменше і найбільше значення функції на заданому проміжку
функція розмір маклорен лопіталь
, .
Розв'язання:
Або
Розглянемо перший випадок:
Знайдемо критичні точки.
;
;
;
;
Розглянувши другий випадок, коли , то одержимо ті ж самі критичні точки:
Обчислимо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка
y(-2)=-58;
Серед знайдених значень на відрізку
.
Відповідь:
Завдання №6. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік:
Розв'язання:
1) Знайдемо область визначення функції:
.
2) Дослідимо функцію на неперервність та парність та періодичність.
Дана функція неперервна на всій області визначення, ні парна, ні непарна, періодична
, для Т=2р
3) Знайдемо асимптоти кривої:
а)Похилі асимптоти
- дві горизонтальні асимптоти
б) Вертикальних асимптот немає, бо функція неперервна на всій числовій прямій.
4) Точки перетину кривої з осями координат.
Oy: y=.
Точка(0;)є точкою перетину з віссю Oy
Ox: y=0
Розв'язавши це рівняння отримаємо,що
x=,n.
5)Дослідимо функцію на монотонність та екстремуми.
Знайдемо похідну функції
Розв'язавши це рівнняння, знайдемо його корені
- екстремуми функції.
Знайдемо інтервали, де функція зростає і спадає, а також мінімуми і максимуми функції, для цього дивимось як веде себе функція в екстремумах при найменшому відхилені від екстремума:
Мінімуми функції в точках:
Максимуми функції в точках:
+ - +
x
Отже,
на - функція спадає
на( - функція зростає
6) Дослідимо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину
Знайдемо другу похідну
Розв'язавши це рівнняння, знайдемо його корені
- точки перегину.
- + -
x
- точки перегину.
Отже,
на - функція опукла вгору
на( - функція опукла вниз
7) Дослідивши функцію, побудуємо її графік.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015Коротка біографія видатного математика Б. Тейлора. Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано та у Лагранжовій формі. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора. Формула Тейлора для многочлена та для функції однієї змінної.
курсовая работа [547,0 K], добавлен 20.05.2015Похідна як основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції, границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Приклади знаходження похідної за визначенням. Похідні вищих порядків, геометричний зміст похідної.
презентация [49,6 K], добавлен 16.02.2011Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя. Правило Лопіталя. Наслідок. Приклад. Розкриття невизначеностей виду. Правило Лопіталя - правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0.
реферат [53,0 K], добавлен 11.04.2006Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.
реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Перетворення і передавання інформації. Булеві функції змінних, їх мінімізація. Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах. Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів.
курсовая работа [3,2 M], добавлен 02.09.2011Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування. Метод інтегрування частинами.
реферат [150,2 K], добавлен 29.06.2011Теоретичні відомості з курсу числення функцій однієї та багатьох змінних, наглядні приклади та вправи з розв’язанням. Тренувальні вправи для розв’язання на практичних заняттях і самостійної роботи. Зразки контрольних робіт з кожної розглянутої теми.
учебное пособие [487,6 K], добавлен 10.04.2009Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.
курсовая работа [515,3 K], добавлен 29.06.2011Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою. Оберненні матриці на основі яких складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої. Побудова матриць та їх характеристика. Приклади проведення розрахунків при обчисленні матриць.
курсовая работа [96,8 K], добавлен 06.12.2008Теоретичні матеріали щодо визначення методів дослідження лінійної залежності та незалежності функцій, проведення дослідження лінійної залежності систем функцій однієї змінної за визначенням і з використанням визначників матриць Вронського та Грама.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 15.06.2013Побудова сіткової функції при чисельному інтегруванні по заданій підінтегральній функції. Визначення формул прямокутників та трапецій; оцінка їх похибок. Використання методики інтегрування за методом трапецій для обчислення визначеного інтеграла.
презентация [617,4 K], добавлен 06.02.2014Визначення основних понять і вивчення методів аналізу безкінечно малих величин. Техніка диференціального і інтегрального числення і вирішення прикладних завдань. Визначення меж числової послідовності і функції аргументу. Обчислення інтегралів.
курс лекций [570,1 K], добавлен 14.03.2011Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є та поняття ортогональних систем функцій. Інтеграл Дирихле та принцип локалізації. Випадки неперіодичної, парної і непарної функції та довільного проміжку. Приклади розкладання рівняння в тригонометричний ряд.
курсовая работа [148,6 K], добавлен 17.01.2011Використання методів розв’язування одновимірних оптимізаційних задач (метод дихотомії, золотого перерізу, Фібоначі) для визначення найменшого значення функції на відрізку. Задача мінімізації за допомогою методу Ньютона і методу найшвидшого спуску.
курсовая работа [739,5 K], добавлен 05.05.2011Точне знаходження первісної й інтеграла для довільних функцій. Чисельне визначення однократного інтеграла. Покрокові пояснення алгоритму методу Чебишева, реалізованого засобами програмування СКМ Mathcad. Знаходження інтегралу за допомогою панелі Calculus.
курсовая работа [390,8 K], добавлен 19.05.2016Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011
