Преобразование выражений, содержащих дифференциалы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразование выражений, содержащих дифференциалы



Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы преобразование выражений с помощью дифференциалов

1.1 Понятие производной, понятие частной производной

1.2 Определение дифференциала. Связь между производной и дифференциалом. Вид полного дифференциала

1.3 Таблица производных основных элементарных функций. Правила дифференцирования функций

1.4 Свойства дифференциала

Глава 2. Решение задач

Заключение

Литература



Введение

Много тысячелетий тому назад в связи с практическими потребностями счета предметов, измерения расстояний, площадей фигур и объемов тел возникли понятия числа, длины, площади, объема. На основе этих понятий развивалась элементарная математика. Но уже в элементарной математике возникли задачи, решение которых средствами этой науки оказалось невозможным. Но не только эти задачи привели к созданию новых методов в математике. Развитие мореплавания и техники, потребовало более тщательного изучения астрономии и механики. Все эти практические проблемы привели к созданию новой области в математике - математического анализа.

Тема моей работы "Преобразование выражений, содержащих дифференциалы".

Рассматриваемая тема является одним из разделов курса математического анализа. Широко применяется в таких науках как алгебра, физика, геометрия, механика.

Цель работы: изучить теоретические основы производной и дифференциала, научиться решать задачи на дифференцирование функции.

Задачи:

1. Подобрать материал по теме "Дифференциал", раскрыть понятия производная и дифференциал.

2. Подобрать и решить задачи, в которых нужно преобразовывать выражения с дифференциалами.

3. Оформить курсовую работу.

Работа состоит из введения, теоритической части, состоящей из четырех пунктов, практической части, заключения и списка используемой литературы.



Глава 1. Теоретические основы преобразование выражений с помощью дифференциалов

1.1 Понятие производной, понятие частной производной

Пусть мы имеем функцию

y=f(x),

определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Пусть аргумент x получил некоторое (положительное или отрицательное- безразлично) приращение Дx. Тогда функция y получит некоторое приращение Дy. Таким образом:

при значении аргумента x будем иметь y=f(x),

при значении аргумента x+ Дx будем иметь y+Дy=f(x+Дx).

Найдем приращение функции Дy:

Дy=f(x+Дx)- f(x)

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при .

Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) и обозначают . Таким образом, по определению,

Или

.

Определение 1.

Производной данной функции y=f(x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции Дy к приращению аргумента Дx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что в общем случае для каждого значения x производная имеет определенное значение, т.е. производная является также функцией от x.

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например:

, .

Конкретное значение производной при обозначается или . Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Пример 1. Дана функция

найти ее производную :

1) в произвольной точке x,

2) при .

Решение. 1) При значении аргумента, равном x, имеем

.

При значении аргумента равном x+ Дx, имеем

y+Дy=.

Находим приращение функции :

.

Составляем отношение :

.

Переходя к пределу, найдем производную от данной функции:

.

Итак, производная от функции в произвольной точке равна

.

3) При получим:

.

Частная производная

Пусть

=f(х, у)

- функция двух независимых переменных х и у. Будем считать сейчас аргумент у постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной х. Допустим, что эта функция f (х, у) при данном значении х дифференцируема, т.е. имеет производную, равную

.

Этот предел обозначим через ' (х, у), указывая нижним индексом х, что производная берется по переменной х при фиксированном у.

Частной производной по х от функции

=f (х, у)

называется функция переменных х и у, получающаяся при дифференцировании f (х, у) по х в предложении, что у считается постоянным.



1.2 Определение дифференциала. Связь между производной и дифференциалом. Вид полного дифференциала

Пусть y=f(x) - функция, непрерывная при рассматриваемых значениях х и имеющая производную

=f '(x)

Из этого равенства следует, что

f ' (x) + ,

где - бесконечно малая величина при Отсюда находим что

Где

б=.

Итак, бесконечно малое приращение дифференцируемой функции у=f(х) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: 1) величины, пропорциональной бесконечно малому приращению независимой переменной , и 2) бесконечно малой величины более высокого порядка, чем .

Действительно, первое слагаемое

f '(х) при данном значении х пропорционально ?х, а второе слагаемое б таково, что



при ?х0.

Только в одном случае, когда функция y=f(x) линейная, у=ах+b, приращение функции в точности пропорционально приращению аргумента ?х:

,

Причем коэффициент пропорциональности а постоянен. Но теперь оказывается, что если функция f(x) и не является линейной, то при условии, что она имеет производную, все же существует такой коэффициент пропорциональности f '(x), что величина f '(х) хотя и не равна точно приращению , но отличается от него на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ; при этом коэффициент пропорциональности равен f '(x), значит, он зависит от значения х.

Справедливо и обратное предложение: если для данного значения х приращение ,

где - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем , то функция y=f(x) имеет производную и .

Мы имеем

,

И так как 0 при , то предел существует и равен б, что и требовалось доказать.

Введем следующее определение.

Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем .

Дифференциал функции у обозначается через dу или df(х).

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции y=f(x) служит существование производной, и тогда

.

Приращение независимой переменной х называют дифференциалом dх, т.е.

.

Это согласуется с тем, что дифференциал функции у=х равен

, т.е. dх=?x.

Таким образом, Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.

dу=f '(х)dх.

Вид полного дифференциала

Пусть функция дифференцируема по х и по у; тогда с помощью частных дифференциалов можем находить как угодно точные выражения для приращений функции при достаточно малых изменениях х и у в отдельности.

Естественно постараться найти выражение для приращения функции при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов. В этом случае приращение функции

называют полным приращением.

Полное приращение функции весьма сложно выражается через приращение независимых переменных; только в одном случае эта зависимость проста, именно в случае, когда функция линейная:

;

тогда, как легко видеть,

.

Но оказывается, что для данных значений х и у обычно можно подобрать такие коэффициенты a и b, что выражение хотя и не будет в точности равно , но будет отличаться от ?z на величину бесконечно малую более высокого порядка.

Сумма a?x+b?y называется полным дифференциалом функции z=f(x,у); она обозначется через или :

dz= a dx+b dy (*)

Таким образом, разность между полным приращением функции и её полным дифференциалом dz есть величина бесконечно малая более высокого порядка.

Полным дифференциалом функции двух независимых переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.



1.3 Таблица производных основных элементарных функций. Правила дифференцирования функций

Таблица производных основных элементарных функций

() ' = ·

() ' =

() ' = -

() ' = · lna

() ' =

() ' =

(lnx) ' =

() ' =

() ' = -

(tgx) ' =

(ctgx) ' = -

(arcsinx) ' =

(arccosx) ' = -

(arctyx) ' =

(аrcctgx) ' = -

Правила дифференцирования функции

1) C=0, Если c=const.

2) (u + v) ' = u' + v'

3) (u - v) ' = u' - v'

4) (u · v) = u' · v + u · v'

5) (c ·v) ' = c · v'

6)

7) (f [?(x)]) ' = f ' [?(x)] ·?'(x)

Доказательство четвертого правила:

Пусть f(x) = u(x)·v(x), тогда

f'(x) = lim = =

=

=

· v(x+h) + u(x) = u'(x) ·v(x) + u(x) ·v(x) '

1.4 Свойства дифференциала

1. Дифференциалы основных элементов функций. Так как дифференциал получается из производной умножением ее на дифференциал не зависимой переменной, то, зная производные основных элементов функций, можем составить без всяких затруднений таблицу дифференциалов этих функций. Так,

d ()=ndx, d ) = ln a dx.

2. Дифференциалы результатов арифметических действий. В соответствии с правилами отыскания производным, придем к аналогичным правилам для дифференциалов.

а) так как



(u +v + … + w) ' = u' + v ' + … + w',

то, обе части равенства на dx получим

d (u + v +… + w) = du + dv + … + dw.

б) так как

(uv) ' = u'v + uv ',

то, умножая обе части равенства на dx, получим

d(uv) = v du + u dv,

в частности

d(Cu) = C du.

в) так как

( ) ' = ,

то, умножая обе части равенства на dx, получим

d () = .

3. Дифференциал сложной функции, свойство инвариантности. Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающие из правила дифференцирования сложной функции.

Пусть y = f (u) и u = непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам f'(u) и '(x). Если обозначить F(x)= f [то,

y' = F' (x) = f' (u) (x)(*)

Умножая обе части равенства на dx, получим

dy= f' (u) (x) dx;

но (x) dx = du, и значит,

dy = f' (u) du,

т. е. дифференциал dy имеет такой же вид, как если бы величина u была независимой переменной.

Итак,

Дифференциал функции y = f (u) сохраняет одно и то же выражение не зависимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной временной или функцией от независимой переменной.

Это свойство называется инвариантностью (т. е. неизменностью) формы дифференциала. Всегда можно, не интересуясь природой аргумента функции, записать ее дифференциал в одном и том же виде.

Из равенства dy = f' (u) du следует:

f' (u) = ;

значит, во всех случаях

Скорость изменения функции относительно своего аргумента равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Равенство (*) теперь можно переписать так:

= .

Правая часть равенства (**) получается из левой просто умножением и делением на du (конечно, если du ). Таким образом, оказывается возможным производить арифметические действия над дифференциалами, как над обыкновенными числами. Это и делает очень часто выгодной запись производной в виде отношения дифференциалов.

Вот, например, как просто при помощи такой записи выводится правило дифференцирования обратной функции:

= = = .

4. Дифференциал как главная часть приращения. Пусть в точке x производная функция y = f (x) отлична от нуля: f' (x) 0. Тогда

y = f' (x) dx + = dy + ,

где - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем dx. При указанном условии она будет бесконечно малой величиной более высокого порядка и чем dy и y. Действительно, при dx 0

имеем

= 0,

Ибо 0, а f' (x) 0. Значит, и dy отличаются друг от друга на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем они сами, и следовательно, они эквивалентны: dy.

В дальнейшем приращение функции y будет очень часто заменяться ее дифференциалом dy. В связи с этим коснемся общего вопроса о приближенном выражение одной переменной величины через другую при условии, что обе они стремятся к одному и тому же пределу.

Пусть функции u (x) и v (v) при x стремятся к одному и тому же пределу А, т. е. lim u = lim v = A. Тогда предел их разности равен нулю: lim(u-v)=0 и, следовательно, сама эта разность

u (x) - v (x) =

Есть бесконечно малая величина при x. Если теперь в окрестности точки заменять значения функции u (x) значения функции v (x), абсолютная ошибка

будет бесконечно малой.

Если предел А , то и относительная ошибка, по которой и оценивается точность приближения, также является бесконечно малой:

= =

Но при А = 0, т. е. когда обе функции u (x) и v (x) сами являются бесконечно малыми при x, относительная ошибка может и не быть бесконечно малой. Она будет бесконечно малой только тогда, когда u (x) и v(x)- эквивалентные бесконечно малые. В самом деле, из того, что

следует, что разность u - v есть бесконечно малая более высокого порядка, чем v. Согласно теореме это и означает, что u и v эквивалентны. Итак, если две бесконечно малые величины эквивалентны, то значения одной из них являются приближенными значениями другой с бесконечно малой относительной ошибкой. Коротко говорят, что каждая из двух бесконечно малых есть главная часть другой.

Вернемся теперь к вопросу о замене приращения функции ее дифференциалом. При фиксированном значение x и приращение

и дифференциал

dy = f' (x)

зависят только от стремятся к нулю. Так как выше уже было доказано, что эквивалентны, то замена приводит к бесконечно малой относительной ошибке. По этому можно сказать, что

Дифференциал функции есть главная часть приращения функции, пропорциональная дифференциалу (приращению) независимой переменной.

Заметим только, что если в данной точке f' (x) = 0, то дифференциал dy = 0, и он не сравнивается ни с какой другой бесконечно малой величиной, в том числе и с приращением функции



Глава 2. Решение задач

Задача 1.

f(х,у,t) оператор дифференциала по

х (xy + y + yt)= (' ·dx + ' ·dу + ' dt = ( (y + 2xy) dx + (x + + t) dy + ydt) = (y + 2xy) + (x + + t) + y

Задача 2. Прямолинейное движение происходит в соответствии с формулой

S=t2 - 4t+1.

Найти скорость и ускорение движения.

V(t)=(S) ' = 2t-4 -

Скорость

a(t)=v(t)=(S) '' = 2 -

ускорение. производный элементарный аргумент дифференциал

Задача 3. Вычислить дифференциал от функции y = x3-x4

найдём производную от функции:

y?= (x3-x4)? = (x3)?-(x4)? = 3x2-4x3

теперь получим дифференциал

df = (3x2-4x3)·dx.

Задача 4. Найти дифференциал второго порядка функции

y(x) = x2 + arccos x

По определению второй дифференциал равен

d2y = y''(x) dх2

Найдем вторую производную заданной функции. Для этого вначале продифференцируем ее по переменной x:

y'(x) = ( x2 + arccos x)' = (x2)' + (arccos x)' = 2x -

Вторая производная заданной функции:

y''(x) = (y'(x))' = (2x -)' = (2x)' -((1-х2)-1/2)' = 2 + = 2-

Тогда искомый дифференциал второго порядка заданной функции

Задача 5. Найти дифференциал функции

y = arctg x .

dy = (arctg x)? · dx =



Заключение

Изучив материал в количестве десяти источников были поставлены и решены задачи исследования и достигнута цель работы. В первой главе представлен материал, раскрывающий понятия производной, дифференциала.

Во второй главе преобразование выражений, содержащих дифференциалы. В первой задаче мы продифференцировали заданную функцию. Во второй задаче нашли скорость и ускорение, применяя производные. В третьей задаче вычислили дифференциал от искомой функции. В четвертой задаче нашли дифференциал второго порядка. В пятой задаче нашли дифференциал от функции.

Чтобы достигнуть цели, мне пришлось решить следующие задачи.

1. Подобрать и изучить материал по этой теме.

2. Из изученного материала выбрать главное.

3. Систематизировать основной материал в форме реферата.

4. Научиться решать задачи по теме.



Литература

1) Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа: 18-е изд./ Издательство "Просвещение", 2012. - 464 с.

2) Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. 14-е изд./ Издательство "Лань", 2008. - 736 с.

3) Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: 16-е изд./ Издательство "Наука", 1969. - 440 с.

4) Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С. Математический анализ. Дифференциальное исчисление: Издательство "Просвещение", 1978. - 161 с.

5) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: 6-е изд./ Издательство "Наука", 1966. - 544 с.

6) Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: 17-е изд./ Издательство "Просвещение", 2008. - 384 с.

7) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: том 2. / Издательство "Физматлит", 1985. - 560 с.

8) Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Издательство "Физматлит", Лаборатория Знаний, 2003. - 680 с.

9) Фихтенгольц Г.М.. Основы математического анализа: Часть 1. 7-е изд./ Издательство "Лань", 2005. - 448 с.

10) Шефель В.Г. Высшая математика: Учебное пособие для студентов-заочников./ Новосибирск, 2001. - 253 с.

Размещено на Allbest.ru

...