Основные свойства числовых рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Понятие бесконечных сумм фактически было известно ученым Древней Греции (Евдокс, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4.

Ряд, как самостоятельное понятие, математики стали использовать в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Теория рядов в XVIII-XIX вв. развивалась в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Б. Римана и др.

В школьном курсе алгебры и начала анализа обычно рассматривают суммы состоящие из конечного числа слагаемых. Исключением является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Само по себе суммирование рядов, последовательностей, интегралов - это вычисление соответственно сумм рядов, пределов последовательностей, значений интегралов. Термин «суммирование обозначает» n само определение суммы ряда (предела последовательности, значения интеграла), когда в обычном определении эти значения не существуют т.е. ряд (последовательность, интеграл ) расходится.

Расходящиеся ряды часто встречаются на практике, они могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функции в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т.д. Расходящиеся ряды и интегралы встречаются например в теории электро-магнитного поля и других разделах соверменной физики. Во многих случаях для расходящихся рядов можно найти сумму в обобщенном смысле, обладающие некоторыми свойствами обычной суммы сходящегося ряда.

Цель данной работы: дать понятие бесконечных сумм, история их исследования с древних времен до сегодня. рассмотреть определение числового ряда и сходимости. Основные свойства числовых рядов. Достаточные условия сходимости числового ряда: признак сравнения, Даламбера, интегральный Коши.

Актуальность данной работы: обусловлена тем, что раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас. Таким образом, представляется актуальным изучить числовые ряды, их основные понятия и особенности сходимости ряда.

Задачи:

1. проанализировать научную литературу по теме «Суммирование и ряды»;

2. познакомиться с теорией рядов и применением их для решения различного типа задач;

3. подобрать теоретический материал, который может быть использован при изучении темы

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

1. Числовые ряды

1.1 Основные определения

Рассмотрим числовую последовательность {un}.

Это означает, что задана формула un = f(n), nN, по которой можно найти числовое значение любого члена последовательности.

Например,

,

т.е. последовательность имеет вид

{}.

Числовым рядом называют выражение вида

где u1, u2, u3, …, un, … - члены числовой последовательности {un}.

un - называют общим членом ряда.

Пример 1.1. Записать пять первых членов числового ряда:

а)

б)

Р е ш е н и е.

а) Общий член ряда

При n=1 получим

при n=2

,

при n=3

при n=4

при n=5

следовательно,

б)

Пример 1.2. Записать формулу общего члена ряда:

а)

б)

в) .

Р е ш е н и е.

а)

При n=1

при n=2

при n=3 следовательно

б)

общий член ряда

в) ,

общий член ряда

n-й частичной суммой ряда называют сумму n первых членов ряда. Обозначают Sn.

Так, S1 = u1,

S2 = u1 + u2,

S3 = u1 + u2 + u3,

S4 = u1 + u2 + u3 + u4,

Sn-1 = u1 + u2 + u3 + u4 +…+ un-1,

Sn = u1 + u2 + u3 + u4 +…+ un-1 + un,

Частичные суммы ряда, в свою очередь, составляют числовую последовательность {Sn}: S1; S2; S3; S4; …; Sn-1; Sn; ...

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм Sn числового ряда (1.1) при неограниченном возрастании номера n,

т.е. lim Sn = S,

n

то числовой ряд

u1 + u2 + u3 + u4 +…+ un-1 + un + …

называется сходящимся, а число S - суммой ряда.

Если предела последовательности частичных сумм ряда не существует или предел равен , то ряд называют расходящимся.

Пример 1.3. Установить сходимость или расходимость ряда:

а)

б)

в) .

Р е ш е н и е.

а)

Составим последовательность частичных сумм ряда:

и т.д.

Очевидно,

Тогда ,

следовательно, ряд сходится и его сумма S=1.

б)

Элементы ряда образуют арифметическую прогрессию, тогда

и ряд расходится.

в)

Последовательность частичных сумм ряда имеет вид:

т.е. а

Таким образом, предела последовательности частичных сумм ряда не существует, следовательно, ряд расходится.

Пример 1.4. Найти сумму ряда:

а)

б)

а)

Общий член ряда

Составим последовательность частичных сумм:

…,

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

Приведем дроби к общему знаменателю

и приравняем числители:

при n = -1 1 = A A = 1,

при n = -2 1 = -B B = -1,

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим

ряд сходится и сумма S = 1.

б)

Разложим общий член ряда

на сумму простейших дробей:



n =

1=5А

n =

1=-5В

следовательно, n-ая частичная сумма ряда равна

После приведения подобных членов, получим

Тогда

ряд сходится и

сумма ряда



Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии (n-ая частичная сумма построенного ряда) вычисляется по формуле

1) Если |q| < 1, то qn 0 при n .

Тогда

Следовательно, ряд при |q| < 1 сходится и его сумма равна

.

2) Если |q| > 1, то qn при n .

Тогда



следовательно, ряд расходится.

3) Если q = 1, то ряд принимает вид a + a + a + a + … + a + …

При a ? 0 и т.е. ряд расходится.

4) Если q = -1, то ряд принимает вид

Так как при a ? 0 а то не существует и ряд расходится.

Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии,

Например,

Ряд

полученный из ряда (1.1) отбрасыванием первых n членов, называется n-ым остатком ряда или n-ым остаточным членом ряда.

Если сумму остаточного члена сходящегося ряда обозначить Rn, то, очевидно,

Sn + Rn = S.

Вычисление суммы ряда, если оно возможно, связано с громоздкими вычислениями. Поэтому чаще всего ограничиваются приближенным вычислением частичной суммы ряда, полагая S = Sn и допуская при этом ошибку, равную

Но для этого надо быть уверенным, что данный ряд сходится.

Поэтому особое значение приобретают приемы и методы, позволяющие определить сходимость ряда без нахождения его суммы.

1.2 Необходимый признак сходимости ряда

Пусть - сходится и его сумма равна S, т.е. , но тогда и

.

Так как , то

#

Сформулированный признак является необходимым, но не достаточным, т.е.

из того, что не следует, что -- сходится.

Следствие (достаточный признак расходимости)

Пример 1.5. Проверить выполнение необходимого признака сходимости:

а) ;

б) .

а)

Вычислим

,

т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется.

С другой стороны, оценим его n-ую частичную сумму

Таким образом, . Но при n , а, следовательно, и , т.е. ряд расходится (несмотря на то, что предел общего члена ряда равен нулю).

б)

Так как

ряд расходится.

1.3 Свойства сходящихся рядов

Теорема 1.2. Пусть ряды и - сходятся и имеют соответственно суммы S и у, тогда ряд - тоже сходится и его сумма равна S у.

Так как ряд - сходится, то существует ,

где .

Так как ряд - сходится, то существует ,

где .

Обозначим через n n-ую частичную сумму ряда :

Тогда

Следовательно, ряд - сходится и его сумма равна . #

Теорема 1.3. Пусть ряд - сходится и имеет сумму S, тогда ряд , где - число, тоже сходится и его сумма равна S.

Так как ряд - сходится, то существует ,

где .

Обозначим через n n-ую частичную сумму ряда :

.

Тогда ,

следовательно, ряд - сходится и его сумма равна S . #

Теорема 1.4. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых членов ряда, то полученный ряд также будет сходиться.

Обозначим через

сумму n первых членов ряда

,

-- сумму m отброшенных членов (m < n),

-- сумму n--m первых членов полученного остатка ряда после m-го члена:

.

.

Если ряд сходится, то существует .

,

т.е. последовательность частичных сумм уn-m ряда имеет конечный предел.

Следовательно, ряд сходится. #

1.4 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Рассмотрим ряд

, где .

Такие ряды называют знакоположительными.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда можно установить с помощью достаточных признаков сходимости.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Теорема 1.5.

Пусть дан знакоположительный ряд (un ? 0)

Пусть функция f(x): а) положительная, непрерывная и монотонно убывающая на [1;+), б) f(1) = u1, f(2) = u2, …, f(n) = un, …

Тогда интеграл и ряд

одновременно сходятся или расходятся.

Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 1), ограниченную сверху графиком функции y = f(x), с основанием от x =1 до x = n. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки

Высотами прямоугольников первой из фигур служат значения функции f(2), f(3), f(4), …, f(n), а высотами прямоугольников второй - значения f(1), f(2), f(3), …, f(n-1). Площадь криволинейной трапеции, выражаемая интегралом , закючается между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур.

Так как площадь вписанной фигуры выражается суммой

,

а описанной - суммой

,

то получаем неравенство

,

или короче,

.

Отсюда получаем:

;

.

Рассмотрим теперь следующие случаи:

1. Пусть несобственный интеграл сходится, это значит, что существует

.

Так как f(x) > 0, то с возрастанием n интеграл возрастает и не превосходит своего предела:

Из неравенства (1.3) следует, что .

Таким образом, в этом случае последовательность частичных сумм ограничена и, следовательно, существует конечный , т.е. ряд сходится.

Пусть несобственный интеграл расходится, это значит, что

.

Из неравенства (1.4) следует, что последовательность частичных сумм {Sn} неограничена, следовательно, ряд расходится. #

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд

, (p > 0).

Члены ряда являются значениями функции , удовлетворяющей всем условиям интегрального признака при .

Рассмотрим несобственный интеграл .

Сначала вычислим интеграл

.

а) Пусть 0 < p < 1, тогда n1-p при n и

- интеграл расходится. Следовательно, и ряд расходится.

б) Пусть p > 1, тогда при n и

,

т.е. несобственный интеграл сходится.

Следовательно, и ряд сходится.

в) Пусть p = 1, тогда

.

Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.

Замечание. При p 0 для ряда не выполняется необходимый признак сходимости, так как при n , следовательно, ряд расходится.

Ряд называют гармоническим рядом,

а ряд , (p > 0) - обобщенным гармоническим рядом.

Например, ряды

,

,

- сходятся,

, , - расходятся.

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

а)

Члены данного ряда являются значениями функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака при x[1;+).

Вычислим интеграл

,

т.е. несобственный интеграл

сходится и вместе с ним сходится ряд

.

б)

Общий член ряда

.

Вычислим соответствующий несобственный интеграл:

,

несобственный интеграл расходится, следовательно, и ряд

расходится.

в)

Члены ряда являются значениями функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака при x[1;+).

Несобственный интеграл

 - расходится,

следовательно, и ряд

расходится.

г)

Члены ряда являются значениями функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака при x[2;+).

Несобственный интеграл

- сходится,

следовательно, и ряд сходится.

ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Пусть даны два ряда и , причем 0 un vn.

1) если ряд - сходится, то и ряд - тоже сходится;

2) если ряд - расходится, то и ряд - расходится.

Обозначим через Sn и уn n-ые частичные суммы рядов

и соответственно. Из неравенства un vn следует, что Sn уn .

1) Так как ряд - сходится, то существует , при этом, очевидно, уn < у , а следовательно, и Sn уn < у.

Таким образом, частичные суммы Sn ряда ограничены и, следовательно, ряд сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда .

2) Если ряд - расходится, то последовательность его частичных сумм возрастает, то есть

.

А так как Sn уn , то и . Следовательно, ряд - расходится. #

Замечание. Обычно, выбирая ряд для сравнения, рассматривают либо обобщенный гармонический ряд , либо ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

.

а) ,

;

б) ;

в) .

а) ,

.

Воспользуемся признаком сравнения.

Для сравнения возьмем ряд , о котором известно, что он сходится

(ряд геометрической прогрессии со знаменателем ), а т.к.

,

то исходный ряд сходится.

б)

Оценим общий член данного ряда

.

Ряд

- сходится (составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем ).

А в силу неравенства

,

по признаку сравнения, из сходимости большего ряда следует, что ряд тоже сходится.

в)

Воспользуемся признаком сравнения.

Так как при t 0, а при , можно записать цепочку неравенств

,

Ряд

- сходится как обобщенный гармонический ряд

с .

Тогда, по признаку сравнения, сходится и ряд

.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ

Замечание. При выборе ряда для сравнения можно воспользоваться следующими правилами.

Пусть Pm(n) и Qr(n) - многочлены относительно переменной n.

I. Ряды вида сравнивают с рядом , где p = r--m.

II. Ряды вида

,

,

,

сравнивают с рядом

III. Ряды вида

сравнивают с рядом

.

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;

в) .

а) .

Ряды такого вида лучше исследовать по предельному признаку сравнения. Чтобы подобрать второй ряд, оставим в числителе и знаменателе общего члена ряда только старшие члены многочленов, получим - гармонический ряд, расходящийся, а далее применим предельный признак сравнения.

Имеем: , ,

тогда ,

следовательно, по предельному признаку сравнения, ряд - расходится, т.к. выбранный для сравнения ряд - расходится.

б)

Для сравнения возьмем ряд - сходящийся

(обобщенный гармонический ряд при p = 3).

Имеем:

, .

Вычислим

.

Условие теоремы выполняется, а так как ряд сходится, то и ряд тоже сходится.

в)

Рассмотрим сначала ряд

.

По интегральному признаку этот ряд сходится, т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится:

.

Для рядов и применим предельный признак сравнения.

Вычислим

,

т.е. ряды ведут себя одинаково относительно сходимости, следовательно, ряд сходится.

ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

а) Пусть d < 1. Так как , то на основании определения предела числовой последовательности для любого > 0 можно подобрать такое натуральное число N, зависящее от , что для всех членов ряда, номер которых n ? N, выполняется неравенство

.

Откуда следует, что

,

.

Пусть , тогда имеем .

Так как d < 1 по предположению, а произвольно мало, то можно выбрать настолько малым, чтобы .

Таким образом, для n ? N имеем:

,

,

,

,

,

, …

Рассмотрим два ряда:

,

Ряд (1.6) сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем |q| <1. так как члены ряда (1.5) меньше соответствующих членов ряда (1.6), то по признаку сравнения ряд (1.5) тоже сходится.

Но ряд (1.5) получается из данного ряда отбрасыванием конечного числа первых членов ; следовательно, по теореме 1.4. ряд (1.4) также сходится.

б) Пусть теперь d > 1. Тогда , т.е. начиная с достаточно больших значений n ? N , выполняется неравенство , или . Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена n. Поэтому , т.е. выполняется достаточный признак расходимости ряда и, следовательно, ряд расходится. #

Замечание. При d = 1 признак Даламбера не вопрос о том, сходится или расходится ряд, ответа не дает. В этом случае может иметь место как сходимость, так и расходимость, что устанавливается с помощью других признаков.

Пример 1.10. Исследовать на сходимость ряд:

а) ;

б) ;

в) .

а)

В формуле содержится множитель n! (n факториал), поэтому воспользуемся признаком Даламбера.

Найдем

.

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд схоится.

б)

Так как ,

то , тогда

,

следовательно, ряд расходится.

в)

Воспользуемся признаком Даламбера.

Так как ,

.

Вычислим

,

следовательно, ряд расходится.

РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ

Доказательство радикального признака аналогично доказательству признака Даламбера и основано на сравнении с рядом (1.6).

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

а)

Общий член ряда

.

Воспользуемся радикальным признаком Коши.

Вычислим

.

Так как , то ряд расходится.

б)

Общий член ряда

.

Вычислим

.

Так как , следовательно, ряд сходится.

в)

Общий член ряда

.

Исследуем по радикальному признаку Коши:

.

Следовательно, ряд сходится.

г)

Общий член ряда . Вычислим предел:

.

Так как , то ряд сходится.

д)

,

следовательно, ряд расходится.

е)

Воспользуемся радикальным признаком:

,

,

следовательно, ряд сходится.

1.5 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

До сих пор мы рассматривали только ряды, все члены которых были неотрицательными числами. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.

Рассмотрим вопрос о сходимости знакопеременных рядов.

Пусть дан знакопеременный ряд

,

Ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда

,

Является знакоположительным и сходимость его можно исследовать с помощью достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов (Даламбера, Коши и т.д.).

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема 1.10. (признак сходимости знакопеременных рядов)

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то данный знакопеременный ряд также сходится, причем абсолютно.

Пример 1.12. Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

Ряд (*) является сходящимся (обобщенный гармонический ряд при p = 2).

Следовательно, исходный знакопеременный ряд тоже сходится, причем абсолютно.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеет свойство переместительности, которым обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

10. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме данного ряда.

Наоборот, в случае перестановки членов условно сходящегося ряда может измениться его сумма, и даже может получиться расходящийся ряд.

Говоря о перестановке членов ряда, подразумевается, что меняют местами бесконечное множество членов, так как, при перестановке двух, трех или любого конечного числа членов, сумма ряда, очевидно, не изменится.

20. Если знакопеременные ряды и сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны S и у, то сумма (разность) этих рядов есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S + у (или соответственно S - у).

30. Если знакопеременные ряды и сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны S и у, то произведение этих рядов есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S у.

Под произведением двух сходящихся рядов

,

понимают ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов данных рядов, расположенных в таком порядке:

В каждой группе членов ряда (1.11), объединенных скобками, сумма индексов сомножителей (т.е. номеров мест, на которых они находятся в своих рядах) постоянна: в 1-ой скобке она равна 2, во 2-й равна 3, в 3-1 равна 4, …, в n-ой равна n+1, и т.д.

1.6 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.

Знакочередующимся рядом называют ряд вида

,

где un > 0 для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого чередуются).

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используют достаточный признак сходимости Лейбница.

Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

.

Сгруппируем члены попарно:

.

Так как по условию абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма S2m положительна (S2m > 0) и возрастает при увеличении номера m.

Запишем теперь S2m, группируя члены иным образом:

.

Сумма в квадратных скобках будет также положительной.

Поэтому для любого значения m: . Таким образом, последовательность четных сумм {S2m} возрастает с увеличением m, оставаясь ограниченной. Следовательно, S2m имеет предел

.

Так как , то .

Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:

.

При m имеем

,

Так как по условию , следовательно, и .

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т.е. ряд сходится.

Замечание. Из доказательства теоремы следует, что сумма знакочередующегося ряда S удовлетворяет неравенствам 0 < S < u1.

Так как знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременных рядов, то для него справедливы все определения и теоремы предыдущего пункта 1.5, в том числе понятие и свойства абсолютной и условной сходимости ряда.

- сходится,

- сходится абсолютно.

 - сходится, а

- расходится,

- сходится условно.

Пример 1.13. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость:

а) ;

б) ;

в) .

а) - это знакочередующийся ряд.

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ;

2) ,

оба условия теоремы выполнены, следовательно, ряд сходится.

Исследуем характер сходимости, для чего составим ряд из абсолютных величин

.

Получили знакоположительный ряд, гармонический, расходящийся.

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов - расходится, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится условно.

б)

Ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ;

2) .

Оба условия признака Лейбница не выполняются, следовательно, знакочередующийся ряд

- расходится.

в)

Ряд знакочередующийся.

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ;

2) .

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, знакочередующийся ряд

- сходится.

Определим характер сходимости:

Составим ряд из абсолютных величин

.

Полученный ряд - знакоположительный, следовательно для определения его сходимости нужно воспользоваться одним из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов.

Воспользуемся признаком сравнения.

Сравним ряд с рядом , который сходится.

,

то из сходимости второго ряда следует сходимость первого (см. Признак сравнения).

Таким образом, ряд - сходится, а следовательно, знакочередующийся ряд - сходится абсолютно.

1.7 Вычисление суммы знакочередующегося ряда

Пусть знакочередующийся ряд сходится и его сумма равна S, тогда

.

Разность - остаток ряда, в свою очередь, является суммой знакочередующегося ряда и, следовательно, удовлетворяет условию . Таким образом, заменяя сумму ряда его частичной суммой, получаем ошибку, абсолютная величина которой меньше абсолютной величины первого отброшенного члена ряда.

Пример 1.14. Вычислить сумму ряда

- сходится абсолютно (проверить самостоятельно).

,

а ,

то для нахождения суммы S ряда с точностью достаточно три первых члена ряда:

.

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член ряда (т.е. меньше, чем 0,009).

2. Функциональные ряды

2.1 Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда

,

членами которого являются функции от x, определенные на множестве D, называется функциональным рядом.

Функция fn(x) называется общим членом ряда.

Например,

- функциональный ряд, где общий член ряда ;

- функциональный ряд,

где

.

При определенном значении аргумента x = x0 D получим числовой ряд .

Если числовой ряд сходится, где x0 D, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда (2.1).

Множество всех точек сходимости функционального ряда (2.1) называется областью сходимости ряда (2.1).

Например, рассмотрим функциональный ряд

Взяв x = 0, получим расходящийся числовой ряд

1 + 1 + … + 1 + …,

а при x = 1 получим ряд

,

который сходится (ряд геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, при одних значениях аргумента функциональный ряд может сходиться, при других - расходится.

называются частичными суммами функционального ряда.

Если существует , где , то говорят, что ряд (2.1) сходится на множестве D к функции S(x).

Функция S(x) называется суммой функционального ряда (2.1).

Для нахождения области сходимости функционального ряда можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Пример 2.1. Найти область сходимости функционального ряда:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а)

Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при x > 1 и расходится при x 1. Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (1;+).

б)

Члены данного ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд будет сходиться при

.

.

Область сходимости ряда - интервал .

в)

Для нахождения области сходимости данного ряда можно воспользоваться признаком Даламбера (теорема 1.8), который применим лишь к рядам с положительными членами.

Так как ряд является знакопеременным, то составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

и к нему применим признак Даламбера:

, ,

.

Знакоположительный ряд (*) будет сходиться, если

, т.е.

Тогда и исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (-4;0).

При ряд расходится, как не удовлетворяющий необходимому признаку сходимости (, т.е., начиная с достаточно больших значений , выполняется неравенство , или . Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена n. Поэтому , следовательно, ряд расходится).

Если d = 1, то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает, и при x = -4 и x = 0 ряд нужно исследовать особо.

При из ряда получим числовой ряд

,

который сходится (см. пример 1.12, а).

При из ряда получим

- гармонический ряд, который расходится.

Таким образом, областью сходимости ряда будет промежуток [-4;0).

г)

Ряд является знакоположительным, т.к. для любого .

Для определения области сходимости воспользуемся признаком Даламбера:

, ,

,

следовательно, ряд сходится на .

2.2 Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции.

Более общий вид степенного ряда:

Замечание. Так как , то ряды

и

являются степенными, а ряды

и

функциональные, но не являются степенными.

Теорема 2.1 (Абеля).

Если степенной ряд

сходится в некоторой точке , то он сходится (причем абсолютно) при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Так как точка сходимости ряда (2.2), то числовой ряд

сходится. Тогда . Следовательно, можно найти такое положительное число M, чтобы для любого номера n выполнялось условие

.

Ряд (2.2) является в общем случае знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, возьмем ряд из абсолютных величин его членов

,

который перепишем в виде

Возьмем для сравнения ряд

,

являющийся при абсолютно сходящимся (ряд геометрической прогрессии со знаменателем ). Используя неравенство (2.5), будем иметь. последовательность дифференциальный уравнение радиус

.

По признаку сравнения ряд (2.7) сходится, тогда и ряд (2.6) сходится при .

Следовательно, при указанных значениях аргумента ряд (2.2) сходится абсолютно. #

Следствие. Если степенной ряд

расходится в точке x1, то он расходится и при всех x, для которых .

Действительно, если бы ряд сходился в точке , для которой , то по теореме Абеля он сходился бы при всех x, для которых , следовательно, и в точке x1, что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует:

Существует такое неотрицательное число R, что при всех ряд (2.2) расходится, а при - сходится абсолютно.

Множество значений переменной x, удовлетворяющих соотношению , называется интервалом сходимости степенного ряда.

Число (2.2) называется радиусом сходимости степенного ряда.

Возможны случаи:

10. Если R = 0, то ряд (2.4) сходится только в точке x = 0.

20. Если R = , то ряд (2.4) сходится на всей числовой оси.

30. Если 0 < R < , то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0, т.е. (-R;R).

Замечание. Сходимость степенного ряда (2.2) на концах интервала сходимости, т.е. в точках и исследуется отдельно непосредственной подстановкой значений в степенной ряд.

Областью сходимости степенного ряда (2.2) называют промежуток

, или , или .

Теорема Абеля была доказана для ряда, записанного по степеням x.

Степенной ряд общего вида (2.3):

может быть приведен к виду ряда (2.2), если принять .

Геометрически это соответствует перенесению начала координат на числовой оси из точки x = 0 в точку . Соответственно, интервал сходимости ряда (2.3) будет иметь вид

.

Интервал сходимости ряда (2.3) симметричен относительно точки .

Определение радиуса сходимости степенного ряда

Рассмотрим степенной ряд (2.2)



и воспользуемся приведенными в п. 2.1 рассуждениями.

Ряд (2.2) является знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, составим ряд из абсолютных величин его членов (2.6)

Обозначим .

10. По признаку Даламбера, для сходимости ряда должно выполняться условие

,

,

откуда получим

.

Обозначим

,

где R - радиус сходимости степенного ряда (2.6), тогда - интервал сходимости степенного ряда (2.2).

20. По радикальному признаку Коши, для сходимости ряда должно выполняться условие

,

,

откуда получим

.

Таким образом

является радиусом сходимости степенного ряда (2.2).

Радиус сходимости степенного ряда

Пример 2.2. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ;

б) .

а)

Определим радиус сходимости ряда, используя формулу

; ,

.

Следовательно, интервал сходимости ряда .

Исследуем ряд в граничных точках интервала сходимости.

1. При исходный степенной ряд примет вид:

,

Полученный знакоположительный ряд исследуем по предельному признаку сравнения. Сравним его с расходящимся гармоническим рядом .

Вычислим

,

тогда, согласно предельному признаку сравнения, и ряд

- расходится. Следовательно, при степенной ряд

расходится.

2. При получим числовой ряд

.

Это знакочередующийся ряд, для исследования сходимости применим признак Лейбница:

1) ;

2) ,

оба условия теоремы выполнены, следовательно, ряд сходится.

Исследуем характер сходимости, для чего составим ряд из абсолютных величин

.

Ряд расходится (показано выше).

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, а ряд из абсолютных величин его членов - расходится, следовательно, знакочередующийся ряд - сходится условно, а - точка условной сходимости степенного ряда

.

б)

Определим радиус сходимости степенного ряда, используя формулу (2.10).

,

.

Так как , , то интервал сходимости будет иметь вид

.

Рассмотрим сходимость степенного ряда в граничных точках интервала сходимости ряда.

При , получается расходящийся числовой ряд

.

При также получается расходящийся числовой ряд:

.

Окончательно, область сходимости исходного степенного ряда - , совпадает с интервалом сходимости ряда.

Пример 2.3. Найти область сходимости степенного ряда

.

Данный ряд является неполным степенным рядом, так как отсутствуют слагаемые с нечетными степенями, поэтому интервал сходимости находят, непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши), для ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:

.

По признаку Даламбера:

, ,

.

Знакоположительный ряд будет сходиться, если

,

т.е. ,

.

Тогда и исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (3;5).

Исследуем сходимость степенного ряда в граничных точках.

1. При получим числовой ряд

,

который сходится - обобщенный гармонический ряд, . Следовательно, - точка сходимости степенного ряда.

2. При из ряда получим

,

т.е. - точка сходимости степенного ряда.

Таким образом, областью сходимости ряда будет отрезок [3;5].

Основные свойства степенных рядов

10. Степенной ряд сходится в точке . (Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в ряд ).

20. Сумма степенного ряда

есть функция, непрерывная в интервале сходимости этого ряда.

30. Степенные ряды и, имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости суммы, разности и произведения рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

40. Ряд (2.2) можно почленно дифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.



50. Степенной ряд (2.4) можно почленно интегрировать на любом отрезке .

.

Пример 2.4. Найти сумму ряда

Обозначим сумму этого ряда через S(x):

Интервал сходимости этого ряда (-1;1). На основании свойства 40 его можно почленно дифференцировать в каждой точке данного интервала:

Справа в этом равенстве - сумма геометрической прогрессии.

Если , то ,

откуда при .

Зная, что , имеем

С = 0.

.

2.3 Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь заданную функцию f(x) представлять в виде разложения в степенной ряд.

Ряд Тейлора и Маклорена

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x0 и некоторой ее окрестности производные любого порядка.

называется рядом Тейлора для функции f(x).

Если же для всех значений x из некоторой окрестности точки x0 ряд сходится и имеет суммой f(x), то есть

,

то f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x0 (или по степеням ).

Если , то ряд Тейлора имеет вид



и называется рядом Маклорена.

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x0, необходимо и достаточно, чтобы

.

Rn(x) - остаточный член ряда Тейлора.

Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид

, , .

Теорема 2.3. Если имеет в некотором промежутке, содержащем точку x0, производные всех порядков, для которых , то при и, значит, функция разложима в этом промежутке в ряд Тейлора.

Теорема 2.4. Если функция может быть разложена в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

При разложении функции в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

I. Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора, которое состоит из трех этапов:

a) формально составляют ряд Тейлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (2.11);

b) находят область сходимости ряда (2.11);

c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е., для каких x имеет место равенство

.

II. Использование готовых разложений.

Найдем разложение в степенной ряд некоторых функций.

1. .

Последовательно дифференцируя функцию , получим:

, , …, , …

Вычислим значение функции и ее производных при :

, , …, , …,

Подставив значения производных в ряд (2.12), получим

Найдем радиус сходимости полученного степенного ряда:

.

Следовательно, ряд сходится при всех значениях

Рассмотрим остаточный член ряда в форме Лагранжа:

.

Так как есть величина ограниченная, а второй сомножитель стремится к нулю при , то

,

а, следовательно, ряд сходится к функции для любого x.

Итак, при

2. .

Заменив в формуле (2.13) x на (-x), получим ряд

также сходящийся на .

3. , .

Вычислим значения функции и ее производных при :

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Подставляя найденные значения в (2.12), получим степенной ряд

Так как при всех , то остаточный член будет стремиться к нулю для любого :

.

Определим интервал сходимости ряда.

,

.

Вычислим

 .

Таким образом, при

(2.15)

4. , .

Ряд для функции можно получить почленным дифференцированием ряда Маклорена для функции :

.

Область сходимости полученного ряда .

5. Рассмотрим ряд

,

который при представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем

q = x, сумма .

Тогда, при



Заменив в формуле (2.17) x на (-x), получим ряд

Область сходимости полученных рядов (-1;1).

6. , .

Рассмотрим следующее тождество:

.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по формуле:

,

который сходится для значений t, удовлетворяющих неравенству .

Так как в интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать, то для имеем



При получим условно сходящийся знакочередующийся числовой ряд .

Таким образом, если , то

7. ,

Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию , для чего в разложении (2.18) заменим x на (-x2):

, .

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2.4 Приложения степенных рядов

Приближенное вычисление интегралов

Степенные ряды применяются для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в тех случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции или нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (-R;R) включает в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. При нахождении определенного интеграла сумма ряда заменяется его частичной суммой с последующей оценкой ошибки.

Пример 2.5. Вычислить интеграл с точностью .

Это - известный «интеграл вероятности».

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:



Заменяя x на (-x2), получим

, .

Проинтегрируем обе части равенства на отрезке [-1;1], лежащем внутри интервала сходимости ряда:

Получили знакочередующийся ряд. Так как 1/216 < 0,005 (заданной точности вычислений), достаточно взять три слагаемых в последнем равенстве, чтобы получить результат с заданной точностью .

.

Пример 2.6. Вычислить интегральный синус .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

Поделим все выражение почленно на x. Тогда разложение в ряд функции будет иметь вид:

Интегрируем последнее равенство:

Пример 2.7. Вычислить .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

.

Заменим в данном равенстве x на и проинтегрируем на отрезке [0;0,1], лежащем внутри области сходимости ряда:

Так как ряд знакочередующийся и , то достаточно ограничиться двумя первыми слагаемыми.

Получим

.

Интегрирование дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции или способ его решения слишком сложен, то для решения дифференциальных уравнений используются степенные ряды.

Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения

,

при заданных начальных условиях

Способ последовательного дифференцирования

Поясним на конкретном примере.

Пример 2.8. Найти три первых члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям .

Так как , то решение уравнения будем искать в виде разложения в ряд Маклорена:

Подставив начальные условия y(0)=0, y'(0)=1 в исходное дифференциальное уравнение, найдем

, т.е. y''(0)=0.

Продифференцируем исходное уравнение , получим

,

используя начальные условия, вычислим

, .

Продолжая процесс дифференцирования, получим:

, .

, .

Тогда решение уравнения будет иметь вид

Способ неопределенных коэффициентов

Для иллюстрации данного метода возьмем то же самое дифференциальное уравнение

, y(0)=0, y'(0)=1.

Так как , решение уравнения будем искать в виде ряда с неопределенными коэффициентами следующего вида:



Продифференцируем равенство

Используя начальные условия, получим:

, т.е. .

, т.е. .

Для определения остальных коэффициентов дифференцируем ряд (2.25) дважды (так как уравнение второго порядка):

Полученные выражения для подставим в исходное уравнение:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства, имеем:

, , ,

, , ,

, , ,

, , .

Тогда решение уравнения будет иметь вид:

3. Ряды Фурье

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойствой повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называют периодическими. Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями.

Функция , определенная в области D, называется периодической, если существует такое число , что при любом значении выполняется равенство

.

Число T называют периодом функции.

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и с периодом .

Простейший периодический процесс - гармоническое колебание - описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными из конечного или бесконечного числа слагаемых вида и .

3.1 Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2р

Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом.

Числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Ряд (3.1) часто записывается также следующим образом:

.

Каждое слагаемое (n=1,2,…) тригонометрического ряда - периодическая функция периода 2р. Если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода 2р, то он сходится на всей числовой оси, и его сумма также является периодической функцией с периодом . Если функция является суммой тригонометрического ряда, т.е.

,

то говорят, что функция разлагается в тригонометрический ряд.

Пусть - периодическая функция периода 2р, непрерывная на отрезке [-р;+ р] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода.

Рядом Фурье функции называется тригонометрический ряд

,

коэффициенты которого определяются по формулам:

,

,

.

Коэффициенты тригонометрического ряда, определенные по формулам (3.3), (3.4) и (3.5), называются коэффициентами Фурье функции .

Если ряд Фурье функции сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция разлагается в ряд Фурье.

Сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Однако нельзя утверждать, что ряд Фурье функции сходится к этой функции. Этот ряд может для некоторых значений x оказаться расходящимся, но если даже он и сходится, то это еще не означает, что его сумма равна .

Достаточные условия сходимости ряда Фурье и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке [a;b], если этот отрезок можно разделить на конечное число интервалов, внутри каждого из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Функция называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке [a;b], если:

1) непрерывна на отрезке [a;b] или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода;

2) кусочно-монотонна на отрезке [a;b].

Теорема Дирихле (достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье).

Теорема 3.1.

Пусть периодическая функция с периодом 2р удовлетворяет на отрезке [-р;+ р] условиям Дирихле.

Тогда ряд Фурье, составленный для этой функции, сходится во всех точках числовой оси.

При этом:

1) в каждой точке непрерывности функции сумма ряда S(x)

равна значению функции в этой точке:

;

2) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому значению пределов функции

при слева и справа, т.е.

;

3) в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна

.

Пример 3.1. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале (-р;р) формулой

График функции имеет вид



Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (3.3), (3.4), (3.5), вычислим коэффициенты Фурье:

,

.

Для вычисления последнего интеграла применим метод интегрирования по частям

.

.



(т.к. , , ).

Вычислим

.

Таким образом, ряд Фурье имеет вид

или

Функция непрерывна во всех внутренних точках интервала (-р;р), поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек сумма полученного ряда .

В точках разрыва сумма ряда S(x) равна

.

3.2 Ряды Фурье для четных и нечетных функций

В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций.

Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию .

Так как - функция четная, а - функция нечетная, то произведение будет функцией четной, а - функцией нечетной.

На основании свойств определенного интеграла от четных и нечетных функций на симметричном отрезке [-р;+р] получим:

,

,

.

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции - косинусы и имеет вид

.

Если требуется разложит в ряд Фурье нечетную функцию, то произведение будет функцией нечетной, а - функцией четной.

Поэтому

, .

Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид

.

Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция - только по синусам.

- четная функция

где ,

,

- нечетная функция

где .

Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2р, заданную в интервале (-р;р) формулой .

Рис. 6

Функция - четная, поэтому коэффициенты ряда определяются по формулам (3.6):

,

.

Таким образом,

Разложение в ряд Фурье функции имеет вид

.

Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси и имеет своей суммой данную функцию, причем

.

3.3 Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l

Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, задана на промежутке [-l;l] и имеет период 2l :

.

Тогда тригонометрический ряд Фурье для имеет вид

,

,

,

.

Пример 3.3. Разложить в ряд Фурье функция , заданную на отрезке [-1;1].

График функции имеет вид

Рис. 7

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (3.11) - (3.13), вычислим коэффициенты Фурье при :

...