Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоторые «доказательства»: Великая теорема Ферма и прочее

Рудыкин А.Ф.

НЕФТЕЮГАНСК 2009

Введение

Предлагаемая статья послужит исключению распространенных ошибок при доказательстве Великой теоремы Ферма и других математических задач.

В начале 17 века математика была профессией (ремеслом): за решение различных задач ( в основном связанных с вычислениями ) математики получали установленную плату. Каждый профессиональный математик имел свои методы в решении определенного рода задач.

Для решения алгебраических задач применялось почти современное буквенное обозначение известных и неизвестных величин, но постановка задач (решение) оформлялось в виде словесного описания.

П.Ферма не был профессиональным математиком (его доходы складывались на ниве юриспруденции), но и он следовал правилам игры: большая часть теорем (задач) представлена им без доказательств.

В настоящее время в Интернете опубликованы на первый взгляд различные методы доказательства Великой теоремы Ферма(1637г).

Рассмотрим некоторые из них.

теорема ферма алгебра уравнение

1. Завершение проблемы великой теоремы ферма

© Бледнов В. А., 2004

Санкт-Петербургский Филиал Института земного магнетизма,

ионосферы и распространения радиоволн РАН (СПбФ ИЗМИРАН);

Мучной пер., дом 2, а/я 188, г. Санкт-Петербург, 191023, Россия.

Автор записал уравнение в виде ,

где числа заданы на натуральном множестве.

Далее согласно с выражениями для вычисления пифагоровых троек

«значения чисел … будут: ,, ». Эти соотношения для целых чисел справедливы только для четных показателей степени исходного уравнения (2р = 2k, где k = 2, 3,…);

для нечетного натурального числа 2р величины могут быть

иррациональными числами, то есть возможные решения исходного уравнения будут потеряны.

2. Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n

А. Ф. Горбатов

«Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов…

Другие формулы: x = + b, y = + a, z = + a + b ». (1)

В формулах (1) сделаем подстановку: a = 2k, = m - k.Получим: x = m- k, y = 2 m k, z = m+ k, то есть

«древним индусам» была известна форма записи решений в виде (1) .

«Предположим, что уравнение Ферма x+ y= z имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:

(x)+ (y)= (z) » . (2)

Далее автор вводит обозначения:

x= X; y= Y; z= Z , где « X,Y,Z - взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора» заменяются соответствующими выражениями для целых чисел. Так как показатель степени n нечетное число, то величины x; y; z могут быть иррациональными числами, то есть возможные решения уравнения (2) будут потеряны.

3. Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Бобров А.В.

г. Москва

Контактный телефон - 8 (495)193-42-34

bobrov-baltika@mail.ru

«В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных и может иметь место только для целых .

Рассмотрим равенство

,(1)

где и - натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть - нечетное число, и - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:

,(2)

где и - действительные положительные множители числа В соответствии со свойствами показательной функции, для любого

из действительных положительных чисел и существуют единственные значения чисел , удовлетворяющие равенствам

,(3)

Из равенств (2) и (3) следует:

, .(4)

Поскольку p>q, всегда имеет место p-q=k, или а^p= а^k• а^q, то есть числа и содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при , то есть при ».

Автор проводит доказательство молчаливо предполагая, что показатели степени p, q всегда целые положительные числа. Это не верно (p, q- действительные положительные числа) и величины могут быть иррациональными числами, что не противоречит взаимной простоте чисел и .

4. Великая теорема Ферма - два коротких доказательства

Бобров А.В.

123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15

Контактный телефон - 193-42-34

« Последняя теорема Ферма…

формулируется следующим образом:

В равенстве числа и не могут быть одновременно целыми положительными, если …

Существуют числа и …

Вариант№1

Равенство (1)

путем последовательного деления на числа и всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

(2)

(3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае - над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … , (4)

Из (1) и (4) следует , то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , , и ».

Равенства (2) и (3), полученные путем тождественных преобразований соотношения (1), это многочлены -ой степени относительно

так как содержат члены , соответственно.

Поэтому равенства (4) не верны.

Вариант№2

Автор представляет доказательство аналогичное рассмотренному в пункте 3.

5. Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков

© А.В. Тарасов

07. 01. 2008 г.

Автор показал, что если существует решение уравнения

aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах а' , b', c' ,

то существует и решение уравнения a² + b² = c²

в действительных числах a1 = k_a·a', b1 = k_b· b', c1 = k_c· c' .

То есть a1² + b1² = c1² , где k_a, k_b, k_c действительные числа.

Далее автор предполагает, что полученные решения это целые числа (величины сторон прямоугольного треугольника).

Затем, применив свой метод подобных прямоугольных треугольников (это не метод бесконечного спуска П.Ферма ), автор устанавливает зависимость между решениями а' , b', c' и a1, b1, c1 такую, что

a1 = K · a' , b1 = K · b' , c1 = K · c' , где K целое число.

Это не верно, так как решение можно записать в виде:

a1 = а'· a' = k_a · a'; b1 = b' · b' = k_b · b';

c1 = c'· c' = k_c · c' ;

где коэффициенты k_a , k_b , k_c для нечетных показателей n могут быть иррациональными числами и совместно не равны некоторому действительному числу K.

Таким образом, решение уравнения

aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах а' , b', c'

исключает решение уравнения a² + b² = c² в целых числах а' , b', c'.

И, наоборот, решение уравнения

a² + b² = c² в целых числах а' , b', c'

исключает решение уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ в целых числах а' , b', c'

(метод подобных прямоугольных треугольников применить нельзя).

6. Алгоритм решения Диофантовых уравнений

(X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике). Санкт - Петербург, 19 мая 2009 г.

В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом:

- великая теорема Ферма;

- уравнение Пелля;

- уравнения эллиптических кривых У²=X³+K,

(У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В);

- иррациональные корни уравнения Х²-У²=1;

- поиск Пифагоровых троек;

- уравнение Каталана;

- уравнение гипотезы Билля;

- подход к решению уравнений

(,).

Нижегородская область

Г.Заволжье

Белотелов В.А.(vbelotelov@mail.ru)

2009 г.

Великая теорема Ферма.Решение.

« - не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2».

Автор составил таблицу натуральных чисел на основании которой пришел к выводу, что начиная с числа 4 можно записать:

« - 2(_i + 1) - это ряд чётных чисел », а « нечётные числа

будут - 2(_i + 1) - 1 », где _i = 1, 2,…

Для четных чисел X, У, Z составлено уравнение (аналогичное исходному для всех натуральных чисел X, У, Z ):

(₁ + 1)ⁿ = (₂ + 1)ⁿ + (₃ + 1)ⁿ , где ₁ > ₂ > ₃ .

Далее записывается бесконечная система подобных «функциональных» уравнений (не несущих никакой информации), которые можно выразить одним уравнением:

₁ ⁿ = ₂ ⁿ + ₃ ⁿ , где _i = 1, 2,… (1)

Затем автор неожиданно переходит к уравнению вида:

₁ ⁿ = ₂ ⁿ + 1ⁿ (2)

(по тексту ).

Так как последнее уравнение не имеет решений в натуральных числах, то делается вывод о полученном доказательстве Великой теоремы Ферма.

Для решения остальных задач заявленных в начале статьи автор пользуется выводами о том, что « - 2(_i + 1) - это ряд чётных чисел »,

а « нечётные числа будут - 2(_i + 1) - 1 » ( _i = 1, 2,…).

Подобные нелогичные переходы (как, например, от уравнения (1) к уравнению (2) на основании «функциональных уравнений») присутствуют и далее при решении рассматриваемых уравнений.

Видно тяготение автора к масштабным цифровым записям (бесконечные однотипные системы уравнений) разобраться в которых он до конца не смог и торжественно поручает это сделать читателю.

7. Файл: MENTOR

© Н.М. Козий, 2007

Авторские права защищены

свидетельствами Украины

№ 23145 и № 27312

ОБЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ, ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

«Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение

Аx + Вy = Сz /1/

не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2».

Далее Аx = Сz - Вy ; /2/

Аx = (С0,5z) 2 -(В0,5y) 2 . /3/

«Обозначим: В0,5y =V /4/

С0,5z =U /5/ »

В последующих преобразованиях числа V, U предполагаются целыми, что справедливо только для четных показателей степени ( y, z ) уравнения /1/.

Получено:

B = /26/ С = /27/ С = /29/

« Из анализа уравнений /26/ и /29/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь:

Q - P = P + 1 - P = 1, /30/

то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом».

Проведем обратные преобразования от выражений /26/, /29/ к исходному уравнению.

Получим: /2/

С возрастанием числа при некоторых постоянных значениях

чисел z , , y разность () бесконечно возрастает, следовательно, бесконечно возрастает число (), то есть «целые положительные числа А, В, С, x, y и z» могут быть решениями уравнения /1/.

Значит выражения /26/, /29/ можно записать произвольным образом.

Например, для натуральных чисел m, n (m > n) и соответствующем выборе натуральных чисел , имеем:

(m + n) ² = (+ 1000)² = (+ 2000)²;

(m - n) ² = (- 1000)² = ;

или (m + n) ² = (+ 0,01)² = ( + 0,02)²;

(m - n) ² = (- 0,01)² = .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

«Если в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой, т.е. x = y = z = n, то оно преобразуется в уравнение великой теоремы Ферма:

Аn +Вn= Сn /31/»

Далее автор проводит аналогичное «доказательство».

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

«Если в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой и равны: x = y = z = 2, то оно преобразуется в уравнение теоремы Пифагора:

А2 +В2= С2 /54/

B = V = /62/ C = U = /63/

По уравнениям /62/ и /63/ и заданному значению числа A определяются пары чисел B и С, которые с числом A образуют тройки пифагоровых чисел».

При поиске решений по формулам /62/, /63/ приходится подбирать все три числа А, B, C так же как в уравнении /54/.

Удобнее пользоваться известными формулами вычисления пифагоровых троек по двум независимым параметрам.

8. Файл FERMA-4 © Н. М. Козий, 2008. Авторские права защищены свидетельствами Украины

№ 22108 и № 25256 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

(Четвертый способ)

«Великая теорема Ферма...:

Аⁿ+ Вⁿ = Сⁿ/1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

… уравнение /1/ запишем следующим образом:

Аⁿ = Сⁿ -Вⁿ /2/

… числа B и C -целые положительные числа.

Уравнение /2/ имеет следующее разложение на множители:

Аⁿ = Сⁿ -Вⁿ =( С -В)·[C^n-1+C^n-2·B +…+C·B^n-2+B^n-1]» /3/

На основании «теоремы о единственности разложения на простые множители целых составных чисел»... «уравнение /3/ должно иметь вид:

Аⁿ = Сⁿ -Вⁿ =( С -В)ⁿ·Zⁿ, /8/

где Z -должно быть целым числом .

При этом:

/9/

… Zⁿ всегда дробное число, следовательно, и число Z и число A являются также дробными ».

Соотношение /3/ это тождество справедливое для всех чисел В, С и не является разложением на простые множители, то есть для некоторых целых положительных чисел B и C может иметь вид:

Сⁿ - Вⁿ = • = Аⁿ.

Здесь целые положительные числа и заменяют соответственно числовые величины в круглых и квадратных скобках соотношения /3/.

9. Г.А. Фомюк, Е.А. Кудина. Закономерность распределения простых чисел в натуральном числовом ряду

Доказательство гипотезы Римана

Издательство «ДИЯ»

КИЕВ 2006

Доказательство гипотезы Римана

«…распределение простых чисел в натуральном числовом ряду не является случайным…

… нам в результате наших исследований… удалось… доказать упомянутую гипотезу.

…Итак, закономерность распределения простых чисел в натуральном числовом ряду, мы можем выразить следующей формулой:

Q = A + 18x;

где Q - простое число, A - базовое простое число (1, 5, 7, 11, 13 или 17), x - любое натуральное число (1, 2, 3, 4, …).

Однако при этом возникает вопрос: почему в одних случаях интервал между двумя последовательными простыми числами в каждом из шести рядов равен 18, а в других случаях равен числу, кратному 18 (например, 36, 54, 72 или даже 108)? ». Ответ ниже.

Потому что по представленной выше формуле при выбранных базовых числах последовательно получаются все нечетные числа за исключением чисел кратных числу 3.

Можно записать бесконечное число подобных эквивалентных формул.

Например:

1) Q = A + 6x; A - базовое число (1, 5);

2) Q = A + 6x; A - базовое число (1, -1);

3) Q = A + 18x; A - базовое число (±1, ±5, ±7).

Так как все простые числа большие числа 2 нечетные, то по этим формулам можно получить любое простое число, но никакой закономерности при этом, конечно, не существует.

10. Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. (IX математический симпозиум, г. Волжский, 05-11 октября 2008 года.)

2008г.

г. Заволжье

Белотелов В.А.

«…Если в арифметической прогрессии, какой - либо член a_n можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии a_n+mf являются произведением fx(p+md), а члены a_n+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные числа, а d - разность этой прогрессии…

Обобщающий вывод:

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающей ряды ПЧ+СЧ».

Автор на основе членов арифметических прогрессий ищет закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. Но по результатам предыдущего пункта видно, что такой закономерности не существует.

Велико тяготение автора к масштабным цифровым выкладкам (громоздкие таблицы чисел, бесконечные однотипные системы уравнений) разобраться в которых предстоит читателю.

Литература

1. http://revolution.allbest.ru/mathematics/0000003646.html

Размещено на Allbest.ru

...