Простые числа. Интервалы числовой оси, не содержащие простых чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Простые числа. Интервалы числовой оси, не содержащие простых чисел

Данная статья инициирована книжицей (128 стр.) «Живые числа», - авторы В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Х. Крафт, Е. Янцен, в частности работой Дона Цагира «Первые 50 миллионов простых чисел».

«……. вероятность того, что число порядка х является простым, приблизительно равна ; это означает, что количество простых в интервале длины а поблизости от х должно быть примерно равно , во всяком случае, если длина интервала достаточно велика, чтобы имело смысл заниматься статистикой, но достаточно мала по сравнению с величиной х.

Например, в интервале между ста миллионами и ста миллионами плюс 150000, следует ожидать появление 8182 простых, так как

».

Почему было обращено внимание на этот абзац? Дело в том, что при эмпирических соотношениях, которыми описываются простые числа, закономерности начала числовой оси натуральных чисел экстраполируются на результаты предполагаемые той же оси для больших чисел. Обычная история при экстраполяции. Но при работе с большими числами могут и «изюминки» появиться. Например, если брать интервал 150000 из вышеуказанного примера, то при больших числах в нем может на практике не оказаться ни одного простого числа, тогда как формула их наличие покажет.

Какое мнение о простых числах? Что они достаточно своенравны, как и промежутки между ними. Что с возрастанием номеров простых чисел они встречаются с меньшей частотой. Тем не менее флуктуации ожидаются в разумных, с человеческой точки зрения, пределах.

В статье Д. Цагира упоминается интервал 113 и 127, не содержащий простых чисел, и он называется большим интервалом.

Этой работой предпринята попытка показать наличие сколь угодно больших интервалов числовой оси не содержащих простых чисел.

Знание работы «Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел (ЗРПЧ)», - обязательно.

ПЧ - простые числа.

СЧ - составные числа.

Из работы ЗРПЧ воспользуемся представлением ПЧ в виде системы из восьми рядов арифметических прогрессий с разностью 30. Первая любовь - ибо наработки, в своё время, и были сделаны исходя из данного представления.

Выпишем из работы ЗРПЧ систему уравнений, таб. 1.

Из ЗРПЧ следует, что ПЧ могут находиться в ряду натуральных чисел с интервалами между ПЧ равными 6-4-2-4-2-4-6-2. Не обязательно здесь будут находиться одни ПЧ, здесь будут и СЧ, к тому же СЧ будут встречаться чаще ПЧ.

Будем искать интервалы числовой оси в которых в последовательности …-6-4-2-4-2-4-6-2-… будут встречаться гарантированно одни СЧ.

Из таб.1, из верхней строчки, выпишем ряд чисел - 91=7х13, 301=7х43, 511=7х73, 721=7х103, 931=7х133 …

После сокращения на 7 получим, - 13, 43, 73, 103, 133, …

А это уже ряд R13.

Из второй строчки выпишем ряд чисел - 7=7х1, 217=7х31, 427=7х61, 637=7х91, 847=7х121…

После сокращения на 7 получим, - 1, 31, 61, 91, 121, …

Получен ряд R1 и т.д.

То, что мы делаем, изобразим графически.

Таблица 2.

Эти преобразования сделаны для числа 7, являющемуся ПЧ. Введём обозначение - ?₇=7⁴.

Число - 30?₇+7 - будет СЧ, и будет находиться во второй строчке системы таб.1, т.е. в ряде R7.

Для числа 11 тензор примет вид, -

Таблица 3.

Для этого преобразования введём обозначение - ?₁₁=11².

Число - 30?₁₁+11 - СЧ, и будет расположено в R11.

Числа- 30?₇?₁₁+7, 30?₇?₁₁+11 будут расположены соответственно в рядах R7 и R11, и будут следовать друг за другом.

Рассмотрим преобразования для чисел 13, 17, 19, 23, 29.

Рассматривая таблицы 4, 5, 6, 7, 8, имеем ?13=13⁴, ?17=17⁴, ?19=19², ?23=23⁴, ?29=29².

Введём обозначение ?₀=30?₇?₁₁?₁₃?₁₇?₁₉?₂₃?₂₉.

Числа ?₀+7, ?₀+11, ?₀+13, ?₀+17, ?₀+19, ?₀+23, ?₀+29 - СЧ и следуют подряд, заполняя собой числовую ось с интервалами между ними 6-4-2-4-2-4-6-2. интервал простой число ось

На этом примере показано, что интервал числовой оси не содержащей ПЧ, может быть сколь угодно большим.

Число ?₀ можно уменьшить, для этого рассмотрим систему уравнений арифметических прогрессий содержащую ПЧ с разностью 6.

Имеем ?₅=5², ?₇=7, ?₁₁=11², ?₁₃=13, ?₁₇=17², ?₁₉=19, ?₂₃=23², ?₂₅=25², ?₂₉=29².

Введём обозначения ?₀=6?₅?₇?₁₁?₁₃?₁₇?₁₉?₂₃?₂₅?₂₉.

Тогда числа ?₀+5, ?₀+7, ?₀+11, ?₀+13, ?₀+17, ?₀+19, ?₀+23, ?₀+25, ?₀+29 - являются СЧ и следуют подряд.

Представим картину. При очень больших числах ПЧ будут встречаться с какой-то частотой, и вдруг появляется провал, ну скажем 1000 чисел.

Не зная ЗРПЧ, это может быть названо загадкой ПЧ.

Далее рассмотрим ряд нечётных чисел. По аналогии с выше написанным получим следующий ряд чисел 2х(3х5х7х9х11….)+3;+5;+7;+9;+11;….

Аналогично и для ряда натуральных чисел.

(2х3х4х5х6х7х8х9х10х11….)+2;+3;+4;+5;+6;+7;+8;+9;+10;+11;….

Такой ряд можно продолжить до ?.

Досада берёт только вот из-за чего. Стоило огород городить - соотношение очевидное получилось. Но именно такой путь и пришлось пройти, чтобы получить очевидное соотношение. От сложного к простому.

Теперь сформулируем следующие очевидные соотношения:

N!чN!+N - в этом диапазоне все числа составные, кроме N!+1, - здесь может находиться либо СЧ, либо ПЧ.

N!чN!-N, - здесь по аналогии, - (N!-1) - либо СЧ, либо ПЧ, остальные СЧ.

Также, если брать любой произвольный набор сомножителей, и к полученному произведению ?, прибавлять, соответственно, все числа являющиеся сомножителями, получим ряд СЧ. Как и при вычитании из ? чисел являющихся сомножителями. И также числа ?±1 могут быть СЧ или ПЧ. Наличие в ? хотя бы одного чётного числа обязательно.

Всё вышеизложенное верно и для к?, где к - любое натуральное число. Из ? можно выделять НОК.

Все эти правила просты до смешного, но вот информацию при помощи этих правил можно добыть серьёзную.

В начале, - почему единица на особом положении. Т.к. любое представление ПЧ с единицы начинается.

Составим ряд, - 1+?, 1+2?, 1+3?, …. Получили арифметическую прогрессию, в которой будут ПЧ и СЧ.

А теперь разделаемся с большим интервалом 113ч127.

5!=5х4х3х2; 120±2,±3,±4,±5.

Числа 114, 124 - чётные, хотя и их можно убрать подобным образом.

Числа 120±1 уберём следующими произведениями.

8х7х2=112, 112+7=119, 11х5х2=110, 110+11=121.

Рассмотрим ещё один пример.

4!= 4х3х2=24, 24-1=23, 24+1=25.

Допустим, мы не знаем, что из себя представляет число 25 - то ли ПЧ, то ли СЧ.

Допустим, мы научились оперировать произведениями, сумели не подбором, а нашли алгоритм поиска произведений, в нашем случае 5х3х2=30, тогда 30-5=25, т.е. 25-СЧ. Попробуйте нечто подобное подобрать для числа 23. Не пример демонстрирую, а возможный алгоритм идентификации ПЧ и СЧ. Попотеть придётся, но схема понятная.

Пусть требуется определить на принадлежность к ПЧ, СЧ большого числа N. Бросим в бой факториал F!, с целью захватить в область F!±F данного числа N. С первого раза навряд ли мы захватим в данную область число N. Почему и пишу, что требуется метод.

Захватили в F!±1, требуется составить ещё произведения чисел на проверку уже ПЧ, СЧ в данных точках. Для поиска можно правила, сформулированные выше, усилить. Можно брать произведение ПЧ и СЧ с последовательностью 6-4-2-4-2-4-6-2.

Например

2(7х11х13х17х19х23х29х31х37х41х43х47х49х53х…)±7,±11,±13,±17,±19,±23,±29,±31,±37,±41,±43,±47,±49,±53,±…

Используя произведения из 15 сомножителей, проконтролирована область в 106 чисел.

Итак, мы обсудили вопрос о наличии больших интервалов числовой оси не содержащих ПЧ. Не будем останавливаться на достигнутом и поговорим уже о бесконечности ряда ПЧ, а есть ли она бесконечность ПЧ.

Приведу доказательство великого Эвклида о бесконечности множества ПЧ, из статьи Д. Цагира. «Если бы имелось лишь конечное число простых, то можно было бы их перемножить и прибавив единицу, получить число, которое не делится ни на одно простое, что невозможно». Придраться не к чему. Разве что немного побурчать. В некоторых представлениях ПЧ в виде арифметических прогрессий двойка отсутствует. Тогда если к произведению ПЧ прибавить единицу, получиться число чётное, т.е. полученное число всегда делится на два, независимо конечным или бесконечным является ряд ПЧ. А делить системы представлений ПЧ на полные и не полные, на правильные и менее правильные, тоже нельзя.

Эйлер доказал расходимость ряда составленного из величин, обратных простым. Ряд может и расходиться до бесконечности, если число членов бесконечно, в обратном случае неверно. Т.е берётся бесконечный ряд и доказывается, что он бесконечный. Сам подход к решению задачи сомнителен.

Выражение N!+N, при N > ?, ставит по сомнение бесконечность ПЧ. Слабая, но атака, на бесконечность ПЧ. Нужны другие доказательства, и за и против бесконечности ПЧ.

Заключение

Вернёмся к большому интервалу 113ч127, - 5!±2,±3,±4,±5.

Можно перебрать и комбинации сомножителей ±2х3, ±2х4, ±2х5, ±3х4, ±3х5, ±4х5.

В статье рассматривается только ядро, без дополнительных СЧ. Также не упоминаются СЧ вида ?+ка.

Чутьё подсказывает, что используя подход к ПЧ, опубликованный в этой статье, информацию можно добыть хорошую.

С уважением к Вам.

Белотелов В.А.

Размещено на Allbest.ru