Об элементарном доказательстве Великой теоремы Ферма
Современная формулировка великой теоремы Ферма. Доказательство: для всех троек (z,x,y) пифагоровых чисел; для всех членов семейства любой тройки пифагоровых чисел; для всех троек чисел, не больших числа z; для всех троек чисел натурального ряда чисел.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.03.2017 |
| Размер файла | 78,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Об элементарном доказательстве ВТФ
Известна формулировка ВТФ:
уравнение
xn + yn = zn, (*)
теорема ферма доказательство число
где числа n > 2 и 0 < x < y < z - все натуральные, (x; y) = 1, (y; z) = 1, (z; x) = 1 - взаимно простые,
не имеет решения.
Расширим условие: n > 1.
Известно, что x + y > z и из x и y одно является четным, другое - нечетным.
Справедливо
xn + yn =
= xn-1x + yn-1y =
= xn-1x + yn-1y - kn-1(x + y - k) + kn-1(x + y - k) =
= (xn-1 - kn-1)x + (yn-1 - kn-1)y + kn + kn-1(x + y - k) =
= (xn-1 - kn-1)(x - z) + (yn-1 - kn-1)(y - z) + kn + kn-1z + xn-1z - kn-1z + yn-1z - kn-1z = - (xn-1 - kn-1)(z - x) - (yn-1 - kn-1)(z - y) + kn + z(xn-1 + yn-1 - kn-1)
при всяком натуральном k.
В силу произвольности k примем k = x + y - z, что допустимо, поскольку x + y > z.
Из k = x + y - z видно, что
2|k и 1 < k < x.
Допустим, имеется решение (*) при n > 1.
Тогда, так как xn-1 + yn-1 > zn-1, существует такое число ?, что
xn-1 + yn-1 - ? = zn-1
z(xn-1 + yn-1 - ?) = zzn-1 = zn.
Число ? = kn-1, что проверяется непосредственно1. Так, если
z(xn-1 + yn-1 - ?) = zn,
0 = z(xn-1 + yn-1 - kn-1) - zn =
= xn-1z + yn-1z - kn-1z - zn =
= xn-1z + yn-1z - kn-1z - zn + kn-1k - kn-1k =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1k - zn - kn =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1k - xn - yn - kn =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1(x + y - z) - xn - yn - kn =
= xn-1z - kn-1z + yn-1z + kn-1x + kn-1y - kn-1z - xn - yn - kn =
= (xn-1z - xn) - (kn-1z + kn-1x) + (yn-1z - yn) - (kn-1z + kn-1y) - kn =
= xn-1(z - x) - kn-1(z - x) + yn-1(z - y) - kn-1(z - y) - kn =
= (xn-1 - kn-1)(z - x) + (yn-1 - kn-1)(z - y) - kn,
или
0 = - (xn-1 - kn-1)(z - x) - (yn-1 - kn-1)(z - y) + kn (**)
в предположении о решении (*) при n > 1.
Тогда и ранее полученное соотношение
xn + yn = - (xn-1 - kn-1)(z - x) - (yn-1 - kn-1)(z - y) + kn + z(xn-1 + yn-1 - kn-1)
приводится к соотношениям
xn + yn = 0 + z(xn-1 + yn-1 - kn-1),
zzn-1 = z(xn-1 + yn-1 - kn-1),
zn-1 = xn-1 + yn-1 - kn-1,
определяющим выполнимость (*) при n > 1, если ? = kn-1 или, равно, справедливо (**).
Откуда видно, что
xn-1 + yn-1 - zn-1 = kn-1
и, соответственно,
xn-1 + yn-1 - zn-1 = (x + y - z)n-1.
Таким образом, предположение о решении (*) с n > 1 влечет выполнимость соотношения
xn-1 + yn-1 - zn-1 = (x + y - z)n-1,
которое, в свою очередь, определяет существование решения (*) в форме
(xn-1 - kn-1)z + (yn-1 - kn-1)z + kn-1z =
= xn-1z + yn-1z - kn-1z = zzn-1,
где k = x + y - z, 2|k и 1 < k < x.
Иные варианты исключаются произвольностью выбора k, чем допускается k = x + y - z без дополнительных условий или какого-либо расширения вариантов решения задачи. Так, при
(xn-1 - kn-1)z + (yn-1 - kn-1)z + kn-1z + дz = zzn-1,
где, возможно, д - целое, величина д = 0, поскольку (xn-1 - kn-1)z + (yn-1 - kn-1)z + kn-1z в точности равно xn + yn и, по допущению, zn.
Из соотношения
kn-1(x + y) = xy( xn-2 + yn-2) - kzn-1,
полученного преобразованием (**), следует условие делимости k|xy.
Таким образом, утверждение ВТФ (с её условиями для x, y и z при n > 1) необходимо и достаточно эквивалентно утверждению о выполнимости соотношения
xn-1 + yn-1 - zn-1 = (x + y - z)n-1 (***)
при x + y - z = k, 1 < k ? x, где для k с необходимостью устанавливается делимость:
2|k, k|xy, (k; z) = 1.
Следствие (Ферма).
Утверждение ВТФ справедливо, поскольку любое допущение о решении (*) при условиях ВТФ сразу же влечет противоречие с известным утверждением о единственности решения (*) в силу того, что при тех же условиях и x, y, z решение (*) определено, очевидно, выполнимостью соотношения (***) при n = 2.
1 - Справедливость соотношения (**) можно показать на примере представления чисел xn, yn, zn графами древесной структуры:
На рисунке показано совмещение деревьев, представляющих числа 33 (красный и черный цвета) и 43 (зеленый и черный цвета). Деревья совмещены на первом (здесь верхнем) уровне по k = 2 ребрам (или ветвям, черного цвета) в каждом дереве. На последующих уровнях совмещение осуществляется автоматически по k2 = 4 ребрам на втором уровне, по k3 = 8 ребрам на третьем уровне (и так далее, если бы рассматривалось совмещение деревьев, соответствующих числам 3n и 4n в степени, большей 3). Очевидно, что ребра (ветви) дерева, представляющего kn (черный цвет), являются двукратными. Отсюда ясно, если на некотором n-м уровне совмещенных таким образом деревьев 3n и 4n имеется всего 3n + 4n ребер (ветвей), то kn из этих 3n + 4n ребер является двукратными. Тогда, если оказывается, что 3n + 4n = zn, то число kn должно быть равно (3n-1 - kn-1)(z - 3) + (4n-1 - kn-1)(z - 4). Так, на рисунке показано, что второй уровень соответствует известному соотношению: 32 + 42 = 52. Для этого соотношения имеем k2 = (32-1 - 22-1)(5 - 3) + (42-1 - 22-1)(5 - 4) = (3 - 2)2 + (4 - 2)1 = 4 и k = 2, то есть k = 3 + 4 - 5 = 2. Стрелки указывают, какие группы (или кусты) ребер второго уровня дополняются простыми ветвями из числа двукратных ветвей для того, чтобы второй уровень имел в точности z = 5 кустов по z = 5 ветвей, то есть - соответствовал решению 32 + 42 = 52 уравнения 3n + 4n = 5n (или 32 + 42 = z2, или 3n + 4n = zn). Отметим, что представление числовых соотношений графами (здесь в форме деревьев) - математически определенное представление, которое исследуется в комбинаторной топологии.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
статья [12,9 K], добавлен 07.07.2005Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
творческая работа [17,4 K], добавлен 25.06.2009Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009Алгоритма решения диофантовых уравнений. Системный анализ свойств пифагоровых троек. Разработка способов и алгоритмов вычисления пифагоровых троек вида х2=у2+z2. Графические модели, отображающие каждый член пифагоровой тройки в виде составных квадратов.
статья [793,0 K], добавлен 31.12.2015Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.
курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015Попытка доказательства частного случая великой теоремы Ферма. Преобразования уравнения xn+yn=zn, позволяющие получить квадратное уравнение. Показано, что вышеназванное равенство для трех действительных разных целых положительных чисел не выполняется.
монография [59,3 K], добавлен 27.12.2012Краткая биографическая справка из жизни Пифагора. Сущность понятия "пифагоровы тройки", простые способы их формирования. Свойства троек, главные их следствия. Решение задачи на нахождение тангенса острого угла. Подсказки для выбора правильной "тройки".
презентация [498,2 K], добавлен 01.12.2012Метод исследования Диофантовых уравнений и решенные этим методом: теорема Ферма, уравнение Пелля, эллиптических кривых, иррациональные корни уравнения, поиск Пифагоровых троек, уравнение Каталана, гипотезы Билля. Закон распределения простых чисел.
доклад [323,1 K], добавлен 01.05.2009Изучение основных подгрупп алгоритмов проверки простоты больших чисел: детерминированные и вероятностные проверки. Исследование методов генерации и проверки на простоту больших чисел с помощью метода Ферма (малая теорема Ферма), составление программы.
лабораторная работа [11,7 K], добавлен 27.12.2010Система параметров, итерационные формулы, используемые для расчета и анализа пифагоровых троек. Дерево основных пифагоровых треугольников, виды, алгоритм определения. Абиссальные системы диофантовых уравнений; комментарии к десятой проблеме Гильберта.
контрольная работа [116,3 K], добавлен 07.02.2012Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
курсовая работа [220,5 K], добавлен 25.05.2010Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009Знакомство с Пьером де Ферма - французским математиком, одним из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Разработка способов систематического нахождения всех делителей числа. Великая теорема Ферма.
презентация [389,1 K], добавлен 16.12.2011
