Первичная обработка выборочных данных
Теоретическая функция распределения, критерий Колмогорова. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение, сущность асимметрии и эксцесса. Распределение Пирсона, теоретический полигон относительных частот. Эмпирический полигон относительных частот.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.04.2017 |
| Размер файла | 112,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт кадастра, экономики и инженерных систем в строительстве
Кафедра геодезии
Реферат
по предмету «Обработка экспериментальных данных»
Первичная обработка выборочных данных
Лазарев В.М.
1. Выборка, ее графическое представление
В результате измерений было получено 280 значений (n = 280) (Приложение 1). Нужно выполнить статистический анализ этих измерений, выяснить, какому закону распределения подчиняется данная выборка.
Интервалы и значения хц, nэ, Wэ, Hэ, F(x)э, nт, Wт ,Hт ,F(x)т, о которых идет речь в данном разделе, представлены в Таблице 1.
1.1 Гистограмма относительных частот. Эмпирический полигон относительных частот
Разобьем выборку на 10 равных интервалов (k = 10): хmin = -3,386; хmax = 3,786;
размах выборки: Д = хmax - хmin = 7,172; длина интервала: h = Д / k = 0,7172.
Посчитаем число результатов измерений, попадающих в каждый интервал (nэ) - абсолютные частоты (Уnэ = n); найдем центры интервалов (хц).
Относительная частота: Wэ = nэ / n; УWэ = 1;
плотность относительных частот: Hэ = Wэ / h;
Представим выборку графически: по горизонтали отметим центры интервалов, по вертикали - плотности относительных частот; построим гистограмму (рис.1) и эмпирический полигон относительных частот (рис.2). По виду полученных графиков можно предположить, что выборка подчиняется нормальному закону распределения.
1.2 Теоретический полигон относительных частот
Найдем теоретические частоты (nт) для нормального закона распределения, воспользовавшись Таблицей значений нормированной функции Лапласа:
Значения функции Лапласа: Ф(x*), где x* - край интервала;
теоретическая вероятность попадания значений в каждый интервал: P = Ф(х*i+1) - Ф(х*i);
теоретическая частота: nт = n • P.
По формулам, аналогичным приведенным в пункте 1.1, вычислим Wт и Hэ и построим теоретический полигон относительных частот (рис.2).
Эмпирический и теоретический графики подобны, что подтверждает теорию о нормальном распределении.
Рис.1
Рис.2
1.3 Эмпирическая функция распределения
распределение пирсон выборочный частота
Запишем выборочную функцию распределения F(x)э. Каждый последующий член функции равен сумме предыдущего и относительной частоты (например, F(x)э 8 = F(x)э 7 +Wэ 8), причем F(x)э 0 = 0, а значения, которые больше хmax, равны 1. Построим график (рис.3), отметив по горизонтали центры интервалов, а по вертикали - относительные частоты.
1.4 Теоретическая функция распределения. Критерий Колмогорова
Аналогично построим график теоретической функции распределения F(x)т (рис.3). Видно, что наибольшее отклонение эмпирического графика от теоретического происходит в границах интервала №3 (xц = -1,051).
Оценим характеристики рассеяния выборки с помощью Критерия Колмогорова: лэ = D* • vn, где D* = max (F(x)э - F(x)т); D* = 0,257-0,208 = 0,049; лэ = 0,820.
По таблице Критических чисел Колмогорова лт = 0,886.
При нормальном распределении лэ ? лт, что справедливо в нашем случае. Таким образом, вновь подтверждается теория о нормальном распределении.
Таблица 1
|
№ |
Интервалы |
хц |
nэ |
Wэ |
Hэ |
F(x)э |
nт |
Wт |
Hт |
F(x)т |
|
|
1 |
[-3,386;-2,669) |
-3,027 |
2,000 |
0,007 |
0,0098 |
0,007 |
0,822 |
0,003 |
0,004 |
0,003 |
|
|
2 |
[-2,669;-1,952) |
-2,310 |
5,000 |
0,018 |
0,025 |
0,025 |
6,028 |
0,022 |
0,031 |
0,025 |
|
|
3 |
[-1,952;-1,234) |
-1,593 |
6,000 |
0,022 |
0,031 |
0,047 |
22,742 |
0,083 |
0,116 |
0,108 |
|
|
4 |
[-1,234;-0,517) |
-0,875 |
25,000 |
0,091 |
0,127 |
0,138 |
53,704 |
0,196 |
0,273 |
0,304 |
|
|
5 |
[-0,517;0,2) |
-0,158 |
45,000 |
0,164 |
0,229 |
0,302 |
75,076 |
0,274 |
0,382 |
0,578 |
|
|
6 |
[0,2;0,917) |
0,558 |
55,000 |
0,201 |
0,280 |
0,503 |
66,308 |
0,242 |
0,337 |
0,820 |
|
|
7 |
[0,917;1,634) |
1,275 |
54,000 |
0,197 |
0,275 |
0,700 |
34,798 |
0,127 |
0,177 |
0,947 |
|
|
8 |
[1,634;2,352) |
1,993 |
38,000 |
0,139 |
0,194 |
0,839 |
11,782 |
0,043 |
0,060 |
0,990 |
|
|
9 |
[2,352;3,069) |
2,710 |
29,000 |
0,106 |
0,148 |
0,945 |
1,918 |
0,007 |
0,010 |
0,997 |
|
|
10 |
[3,069;3,786] |
3,427 |
15,000 |
0,055 |
0,077 |
1 |
0,274 |
0,001 |
0,001 |
0,998 |
|
|
274,0 |
1,000 |
273,45 |
0,998 |
2. Характеристики выборки
Выборка, отсортированная в порядке возрастания, значения V, VІ, Vі, V?, t, V?І, используемые в данном разделе, представлены в Приложении 2.
2.1 Выборочное среднее. Допустимый интервал
Начальный момент: бк = У(x??) / n; б1 = (Уx?) / n; выборочное среднее: x? = б1;
x? = 0,921;
математическое ожидание: , где V = x? - x?; [VІ] = 491,710; m = 1,342.
Допустимый интервал для V: (-4,026; 4,026), т.к. 3M = 4,026.
В данной выборке нет значений, выходящих за границы допустимого интервала.
2.2 Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Асимметрия и эксцесс
Дисперсия генеральной совокупности: Dг = [VІ] / (n -- 1);
491,710/273=1,801
выборочная дисперсия: Dв = [VІ] / n; среднее квадратичное отклонение: у = vD;
491,710/274=1,795
для больших по объему выборок считают, что дисперсия D = Dг = Dв, следовательно, m = у.
Центральный момент: мк = [V?] / n.
Из формулы следует, что м2 = у = m; м3 = [Vі] / n; м4 = [V?] / n;
м1=0; м2=1,801; м3=-0,620; м4=9,326
Асимметрия: A = м3 / уі; A = -0,256;
асимметрии нет, если |A| ? 3 • vDA, где ;
DA = 0,022; выражение -0,256 ?0,445 верно, а значит асимметрии нет.
Эксцесс: E = (м4 / у?) - 3; E = -0,125;
эксцесса нет, если |E| ? 3 • vDE, где ;
DE = 0,083; выражение -0,125 ? 0,864 верно, а значит эксцесса нет.
2.3 Исправленное среднее квадратичное отклонение
Составим теоретическую выборку, используя вместо значений x значения t, вычисляемые по формуле: t = V / m. Уt = 0, значит t? = 0. В нашем случае V? = t - t? = t - 0 = t;
исправленное среднее квадратичное отклонение: ; [V?І] = 273; уt = 1.
Расчеты были выполнены верно, т.к. для теоретической выборки t? = 0, уt = 1.
3. Проверка выдвинутой гипотезы о законе распределения
Интервалы и значения nэ, nт, г, чІ, о которых идет речь в данном разделе, представлены в Таблице 2.
3.1 Распределение Пирсона
Объединим интервалы, значений в которых меньше 5.
После объединения интервалов №9 и №10 остается 9 интервалов (k*=9).
Число степеней свободы: f = k* - 3 = 6; по таблице распределения Пирсона находим критическую точку для данной выборки: чІ? = 12,6.
Мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями по критерию Пирсона: чІ = Уч?; где ч? = гІ / nт; г = nэ - nт; чІ = 10,705.
Для нормального распределения: чІ < чІ?, такое неравенство справедливо для данной выборки, что окончательно подтверждает выдвинутую ранее гипотезу:
выборка подчиняется нормальному закону распределения.
Таблица 2
|
№ |
nэ |
nт |
г |
ч? |
||
|
1 |
9 |
6,916 |
2,084 |
0,628 |
||
|
2 |
17 |
16,996 |
0,004 |
0,000 |
||
|
3 |
46 |
33,516 |
12,484 |
4,650 |
||
|
4 |
37 |
48,972 |
-11,972 |
2,927 |
||
|
5 |
59 |
57,428 |
1,572 |
0,043 |
||
|
6 |
54 |
50,008 |
3,992 |
0,319 |
||
|
7 |
27 |
34,888 |
-7,888 |
1,783 |
||
|
8 |
20 |
18,060 |
1,940 |
0,208 |
||
|
9 |
9 |
11 |
9,800 |
1,200 |
0,147 |
|
|
10 |
2 |
|||||
|
10,705 |
Вывод
Все 280 значений, входящие в полученную в результате измерений выборку, являются величинами случайными, а сама выборка подчиняется нормальному закону распределения.
Приложение 1
ВЫБОРКА ИЗ НЕПРЕРЫВНОЙ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ:
|
1,519 |
3,383 |
1,178 |
0,179 |
1,021 |
0,274 |
-0,179 |
1,978 |
0,281 |
-0,099 |
-1,909 |
2,137 |
|
|
0,188 |
0,516 |
1,152 |
2,430 |
-0,858 |
2,148 |
-0,024 |
-0,645 |
0,100 |
1,304 |
-0,730 |
-0,887 |
|
|
1,825 |
0,150 |
2,209 |
4,540 |
0,318 |
-1,058 |
-0,708 |
1,607 |
0,411 |
-1,576 |
0,405 |
1,350 |
|
|
-0,412 |
1,238 |
3,017 |
-0,493 |
0,876 |
0,372 |
-0,812 |
-0,386 |
1,942 |
1,537 |
-2,476 |
0,527 |
|
|
2,353 |
2,020 |
-0,277 |
2,051 |
-0,143 |
3,252 |
0,196 |
2,684 |
0,401 |
1,628 |
-2,288 |
0,274 |
|
|
0,639 |
1,054 |
-0,242 |
-1,117 |
1,606 |
-0,225 |
2,781 |
0,597 |
-0,066 |
-0,550 |
0,945 |
3,479 |
|
|
1,421 |
2,058 |
1,414 |
-0,802 |
0,550 |
0,885 |
1,680 |
2,604 |
0,968 |
0,900 |
0,199 |
-0,692 |
|
|
4,531 |
0,289 |
0,873 |
2,550 |
0,416 |
1,413 |
2,448 |
-0,926 |
3,148 |
4,425 |
0,010 |
2,610 |
|
|
-2,672 |
3,120 |
-0,112 |
-1,687 |
2,516 |
-0,330 |
1,907 |
0,469 |
-0,470 |
3,134 |
1,185 |
0,417 |
|
|
-0,680 |
-0,491 |
3,786 |
0,546 |
2,719 |
3,495 |
1,559 |
-0,105 |
-0,948 |
-0,790 |
1,483 |
1,900 |
|
|
0,471 |
-0,208 |
0,784 |
2,030 |
0,605 |
1,531 |
-1,085 |
1,698 |
-0,041 |
0,198 |
0,056 |
0,889 |
|
|
2,501 |
-0,386 |
1,567 |
1,310 |
2,103 |
1,890 |
0,534 |
0,849 |
1,376 |
-0,168 |
0,668 |
0,689 |
|
|
1,279 |
4,184 |
-1,975 |
0,954 |
1,217 |
2,875 |
3,071 |
0,785 |
0,526 |
2,870 |
2,309 |
2,342 |
|
|
-0,124 |
-0,256 |
1,280 |
1,749 |
2,434 |
-0,353 |
1,963 |
1,145 |
1,169 |
2,810 |
1,710 |
0,876 |
|
|
4,295 |
2,050 |
0,545 |
-0,434 |
0,182 |
0,466 |
2,649 |
4,136 |
0,323 |
1,649 |
1,329 |
2,693 |
|
|
1,749 |
2,622 |
-0,978 |
0,114 |
2,620 |
1,208 |
1,487 |
0,563 |
2,075 |
3,662 |
-0,215 |
0,862 |
|
|
0,704 |
3,195 |
0,961 |
2,273 |
0,948 |
-0,670 |
1,075 |
1,675 |
1,417 |
2,617 |
1,189 |
-2,838 |
|
|
-1,757 |
0,301 |
2,837 |
0,699 |
1,503 |
-0,560 |
1,563 |
2,499 |
1,531 |
1,475 |
2,295 |
1,653 |
|
|
0,944 |
1,481 |
-0,028 |
2,377 |
0,573 |
2,538 |
1,203 |
2,921 |
2,489 |
0,152 |
1,538 |
1,455 |
|
|
-0,166 |
2,314 |
1,000 |
1,385 |
0,052 |
3,263 |
0,908 |
0,264 |
0,483 |
1,760 |
0,617 |
2,231 |
|
|
-0,424 |
0,392 |
0,660 |
2,219 |
2,125 |
3,585 |
0,443 |
0,661 |
1,218 |
-0,625 |
0,744 |
1,089 |
|
|
-0,472 |
-1,254 |
2,463 |
0,744 |
3,138 |
-0,600 |
0,451 |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятность совместного появления двух белых шаров. Расчет числа исходов, благоприятствующих интересующему событию. Функция распределения случайной величины. Построение полигона частот, расчет относительных частот и эмпирической функции распределения.
задача [38,9 K], добавлен 14.11.2010Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013Случайная выборка объема как совокупность независимых случайных величин. Математическая модель в одинаковых условиях независимых измерений. Определение длины интервала по формуле Стерджесса. Плотность относительных частот, критерий согласия Пирсона.
контрольная работа [90,4 K], добавлен 17.10.2009Порядок и принципы построения вариационного ряда. Расчет числовых характеристик статистического ряда. Построение полигона и гистограммы относительных частот, функции распределения. Вычисление асимметрии и эксцесса. Построение доверительных интервалов.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 03.10.2010Таблица значений выборки дискретных случайных величин в упорядоченном виде. Таблица интервального статистического ряда относительных частот. Задание эмпирической функции распределений и построение ее графика. Полигон и распределение случайной величины.
практическая работа [109,3 K], добавлен 26.07.2012Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Интервальный вариационный ряд. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х. Функция плотности рассматриваемого закона распределения "Построение ее на гистограмме".
курсовая работа [104,4 K], добавлен 20.03.2011Измерение прочности металла контрольных образцов, снятых с дисков турбин авиадвигателя. Основные статистические характеристики распределения данных. Значимость отклонения от нуля коэффициентов асимметрии и эксцесса с заданным уровнем значимости.
контрольная работа [219,0 K], добавлен 17.12.2012Критерий Пирсона, формулировка альтернативной гипотезы о распределении случайной величины. Нахождение теоретических частот и критического значения. Отбрасывание аномальных результатов измерений при помощи распределения. Односторонний критерий Фишера.
лекция [290,6 K], добавлен 30.07.2013Длина интервала группирования. Графическое описание выборки. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Границы доверительного интервала математического ожидания. Вычисление коэффициента корреляции. Эмпирическая функция распределения.
практическая работа [737,5 K], добавлен 14.02.2009Согласование выборочных распределений. Отбор статистических данных с помощью таблицы случайных чисел. Расчет числовых характеристик распределения выборочных частот. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным.
курсовая работа [276,6 K], добавлен 19.01.2016Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения генеральной совокупности. Критерий Колмогорова-Смирнова и его практическое применение. Критические значения статистик Стефенса. Критерии Пирсона и Смирнова-Крамера.
курсовая работа [629,9 K], добавлен 26.08.2012Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Поиск вариационного ряда по выборке. Функция распределения, полигон частот. Ранжированный и дискретный вариационный ряды. Вычисление числа групп в вариационном ряду по формуле Стерджесса. Гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения.
контрольная работа [57,6 K], добавлен 12.04.2010Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Решение задач линейного программирования, построение графиков линий по точкам. Среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Корреляционный анализ связи между числом посетителей и выручкой магазина.
контрольная работа [609,0 K], добавлен 13.11.2011
