Нелинейная детерминированная модель формирования речного стока, основанная на законах природы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нелинейная детерминированная модель формирования речного стока, основанная на законах природы

Существует очень много явлений и процессов, которые могут проявляться в нескольких режимах при одинаковых внешних воздействиях. Например, в теплофизике - это фазовые переходы первого рода (кристаллизация, плавление, кипение, конденсация и т.д.), в экологии - бистабильность экологических систем. В гидрологии и климатологии также широко распространены нелинейные явления, которые с течением времени меняют характер своих колебаний. Нелинейность говорит о том, что между определенными факторами системы могут осуществляться положительные обратные связи, которые приводят к бифуркации, неустойчивости и фазовым переходам. Механизм положительных и отрицательных обратных связей в процессе формирования речного стока подробно рассмотрен в работе [1]. Многим гидрологическим процессам присущи также и хаотические колебания, например, стоку рек снегового питания [2] и такой важной характеристике теплообмена в почве как ее влагозапасам [3]. Обнаружены хаотические колебания тропического климата на примере динамической системы для явления Эль-Ниньо [4], показана хаотическая динамика рядов по наводнению рек в бассейне р. Хуанхэ [5]. Проведенные ранее нами исследования показали, что колебания стока некоторых рек являются хаотическими [6]. В частности были рассчитаны диагностические характеристики хаоса рек Унжа, Ока, Лена и суммарного стока рек, впадающих в Каспийское море. В диссертации О.А. Юшкиной [7] получены результаты исследований, опирающиеся на методы нелинейной динамики, которые свидетельствуют о присутствии детерминированного хаоса в многолетних рядах стока. В этой работе показано, что для исследованных временных рядов стока рек Днепр, Томь и Бия, находящихся в существенно различных географических условиях формирования стока и гидрологического режима, четко обнаруживаются признаки детерминированного хаоса. Об этом свидетельствуют формы автокорреляционных функций, спектры мощности Фурье, формы аттракторов на фазовой диаграмме, дробные значения корреляционной размерности и значение энтропии Колмогорова.

Таким образом, считая, что сток рек может иметь хаотические режимы, мы предлагаем простую нелинейную детерминированную модель речного стока, решения которой в зависимости от управляющих параметров системы могут иметь автоколебательный или хаотический характер.

Нелинейная детерминированная модель колебаний речного стока.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

дифференциальный уравнение нелинейный

где Р - осадки, Е (W, T) - испарение. Первое уравнение является уравнением водного баланса и представляет собой частный случай закона сохранения вещества. Во втором уравнении G - силы тяжести, действующие на массы воды в бассейне, - коэффициент сопротивления бассейна движению воды в замыкающий створ бассейна. Этот коэффициент тесно связан с гидрогеологическими особенностями строения бассейна. Коэффициент - возрастающая функция , т.к. рост влагозапасов приводит к увеличению речного стока. Многочисленными статистическими исследованиями показано, что водопроницаемость ненасыщенных грунтов экспоненциально увеличивается с ростом влажности. Второе уравнение системы выведено на основании закона изменения кинетической энергии воды, причем, если - мощность, развиваемая силой тяжести при перемещении вод в замыкающий створ, - мощность диссипативных сил (сил трения и других сил сопротивления), то их разность даст скорость изменения кинетической энергии стока, равной . В третьем уравнении T - приповерхностная температура воздуха, c - теплоемкость системы «атмосфера - деятельный слой подстилающей поверхности», - альбедо, I(T) - излучение, - солнечная постоянная, - теплота испарения, - испарение. Альбедо зависит от увлажнения подстилающей поверхности, от вида и густоты растительности, от степени покрытия земли снегом. Третье уравнение описывает потоки тепла, в основном приход солнечной энергии и расход в виде отражения и излучения земной поверхностью, а также потери тепла на испарение. Уравнение баланса тепла предложено В.И. Найденовым и использовано для описания хаотической динамики гидросферы [1].

Стационарная точка системы, определяется из условий:

.

В окрестности этой точки разложим правые части уравнений системы в ряд Тейлора, причем для простоты ограничимся только вторыми степенями разложения, из которых в уравнениях оставим смешанные произведения: и . Учтем, что

Аналогично для второго уравнения, учитывая, что

И введем обозначения для коэффициентов третьего уравнения:

Получим разложение для изменения температуры, влагозапасов и стока, если введем обозначения: , исходная система принимает вид:

В первом уравнении первый коэффициент содержит производную испарения по влажности. Считаем, что этот коэффициент может быть как положительным (при росте влагозапасов испарение возрастает), так и отрицательным, т.к. при некотором критическом значении влагозапасов испарение будет существенно уменьшаться с ростом влагозапасов. При значительных влагозапасах солнечное тепло будет расходоваться на нагрев и испарение увеличивающегося объема воды. Этот тезис подтверждается и результатами наблюдений, показывающие, что испарение с поверхности увлажненной суши на 50% больше испарения с поверхности рядом расположенного мелководного водоема. Коэффициент , куда входит производная испарения по температуре, всегда положителен. Коэффициент постоянен и равен -1. Коэффициенты в третьем уравнении и , куда входит солнечная постоянная , достаточно фиксированы, т.к. любая из вариация влечет уход решения в бесконечность. Остальные коэффициенты могут изменяться в довольно широких пределах. Наиболее важными коэффициентами, сильно влияющими на решение системы, на наш взгляд, являются коэффициенты и - производная испарения по влагозапасам почвы и коэффициент сопротивления бассейна движению воды в замыкающий створ. Кроме этого, физическое обоснование интервалов изменения коэффициентов уравнений подробно рассмотрено в работах [1,8]. Будем использовать следующие величины коэффициентов:

(1)

Проанализируем решение этой системы, чтобы проверить возможность возникновения в ней хаотического режима. Для этого рассмотрим неподвижные точки системы (1).

Анализ неподвижных точек. Решение системы может иметь хаотический характер, если хотя бы одна из неподвижных точек является неустойчивой. Именно в таком случае в системе могут возникать хаотические решения. Например, в классической системе Лоренца имеются три неподвижные точки: (0; 0; 0), (8,485; 8,485; 27), (-8,485; -8,485; 27). Первая является седло-узлом, две другие являются слабыми неустойчивыми фокусами.

Неподвижные точки автономной системы (1) являются решением следующей алгебраической системы уравнений:

(2)

Система (1) имеет одну действительную неподвижную точку . Для определения типа неподвижной точки линеаризуем систему (2) в её окрестности и найдем корни характеристического уравнения. Локальное движение, описываемое линеаризованной системой, подобно движению исходной нелинейной системы. Линеаризация системы осуществляется разложением в ряд Тейлора с точностью до 1-го слагаемого каждой из 3-х функций левой части системы (2).

Таким образом, получаем матрицу производных левой части системы (2)

(3)

Подставим координаты рассматриваемой неподвижной точки в матрицу (3) и, вычислив определитель следующей матрицы, получим характеристическое уравнение:

.

Его корни: . Тип неподвижной точки: устойчивый узел (отрицательный действительный корень) - неустойчивый фокус (действительная часть комплексных корней положительна) [9].

Поскольку в окрестности неподвижной точки имеем линейную систему, воспользуемся критерием Рауса-Гурвица [10]. Из этого критерия следует, что если все корни характеристического уравнения, построенного для линеаризованной около неподвижной точки системы, имеют отрицательные действительные части, то исследуемая нелинейная система дифференциальных уравнений устойчива. В этом случае искать хаотический режим не имеет смысла. Для системы (1) эти необходимые условия устойчивости нарушены, поэтому в ней возможен хаотический режим. Определение типа неподвижной точки является предварительным исследованием системы, в которой предполагается хаос. Решение системы (1) в плоскости (температура, влагозапасы) изображено на рис. 1.

Рис. 1. Решение системы (1)

Покажем, что это решение можно считать хаотическим также и с помощью диагностических характеристик хаоса: корреляционной и информационной размерностей.

Корреляционная размерность. Вычислим вероятность P обнаружить систему в двух состояниях, X и Y, расстояние между которыми в фазовом пространстве меньше любого е >0: . Эта вероятность определяется как предел [11] при условии, что он существует. Функция это число пар точек , j n, для которых в рассматриваемой последовательности расстояние . Если существует константа D, такая что при 0, то эту константа называется корреляционной размерностью. Другими словами, корреляционная размерность есть предел, при условии его существования . Помимо функции для оценки корреляционной размерности рассматриваются также функции , где число тех пар и j, для которых компоненты векторов и , , j n,

j, отличаются не более, чем на >0. Приведём формулы вычисления расстояний между указанными цепочками в случае одномерных и r-мерных цепочек длины m>1. В одномерном случае имеем цепочки: и . При r = 1, 2, 3,… имеем

и .

Расстояние между ними

,

где r - размерность цепочки. Для вычисления корреляционной размерности [11] будем использовать следующую функцию:

, (3)

где . Здесь задает точность вычисления корреляционной размерности. Будем вычислять корреляционную размерность для длины цепочки m =1,2,3,4,5 и 10; = 0.95, причем эта величина обратно пропорциональна числу покрытия; s= 20,30,35 и 40. Известно, что значения корреляционной размерности для «белого шума» (стохастический процесс) увеличиваются и примерно равны длине цепочки. Для решения системы (1) такой закономерности не получилось (табл.).

Корреляционная размерность системы (1), длина решения п=1001, трёхмерная траектория

Все значения корреляционной размерности сохраняют примерно постоянное значение при увеличении длины цепочки, что характерно для хаотических траекторий. С наибольшей точностью корреляционная размерность вычислена в последней строчке таблицы.

Оценка энтропии Колмогорова [12] равна 5.329, оценка информационной размерности равна 0.917. Обе последние оценки говорят о плохой предсказуемости процесса формирования речного стока, описываемого системой (1). С течением времени в такой системе могут появляться новые кочества, которые невозможно предсказать, опираясь на предысторию процесса.

В качестве модели речного стока предложена автономная система дифференциальных уравнений, основанная на законах природы. Для подтверждения возможности возникновения в системе хаотических колебаний разработана методика предварительного исследования неподвижных точек исходной системы. Определив тип неподвижных точек исследуемой модели, сделан вывод о возможности возникновения в ней хаотических режимов. Величины корреляционной и информационной размерностей подтвердили хаотичность решения предложенной модели. Одни только величины этих размерностей не являются достаточными условиями воникновения хаотических режимов.

Получено, что в зависимости от выбранных величин параметров системы периодические решения системы переходят в хаотические. Это свойство детерминированного хаоса позволяет управлять им, т.е. посредством слабых воздействий переводить систему из одного режима в другой. В качестве управляющих параметров предложены величины скорости испарения и коэффициент сопротивления бассейна движению воды в замыкающий створ.

Список литературы

1. Найденов В.И. Нелинейная динамика поверхностных вод суши. М.: Наука. 2004. 318 с.

2. Wilcox B.P., Seyfried M.S., Matison T.H. Searching for chaotic dynamics in snowmelt runoff // Water Res. Res. 1991. V. 27. N. 6. P. 1005-1010.

3. Rodriguez-Iturbe I., Entekhabi D., Lee J.-S., Bras R.L. Nonlinear Dynamics of Soil Moisture at Climate Scales. 1. Stochastic Analysis. 2. Chaotic Analysis // Water Resour. Res. 1996. V. 27. №8. P. 1899-1915.

4. Wang B., Fang Z. Chaotic Oscillation of the tropical climate: A dynamic system theory for ENSO // J. Atmos. Sci. 1996. №53. P. 2786-2802.

5. Zhou Y., Ma Z., Wang L. Chaotic dynamics of the flood series in the Huaihe River Basin for the last 500 years //J. Hydrol. 2002. V. 258. P. 100-110.

6. Швейкина В.И., Кожевникова И.А. Нелинейная модель колебаний речного стока с хаотическими режимами // Водное хозяйство. 2012. №6. С. 4-13.

7. Юшкина О.А. Анализ и прогноз временной изменчивости речного стока методами нелинейной динамики: автореф. дис. …канд. техн. наук. Томский ун-т. Иркутск. 2009. 24 с.

8. Найденов В.И., Швейкина В.И. Земные причины водных циклов // Природа. 1997. С. 19-30.

9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1970. 331 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967. 575 с.

11. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. Том 1. М.: Фазис. 1998. 489 с.

12. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. Пер. с англ. - М.: Мир. 1990. 312 с.

Размещено на Allbest.ru