Первичная обработка выборочных данных
Выборка, ее графическое представление. Полигон относительных частот. Теоретическая функция распределения, критерий Колмогорова. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение, асимметрия и эксцесс. Проверка выдвинутой гипотезы о законе распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.04.2017 |
| Размер файла | 104,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт кадастра, экономики и инженерных систем в строительстве
Кафедра геодезии
Курсовой проект
по предмету «Обработка экспериментальных данных»
Первичная обработка выборочных данных
Проверил: Лазарев В.М.
1. Выборка, ее графическое представление
В результате измерений было получено 280 значений (n = 280) (Приложение 1). Нужно выполнить статистический анализ этих измерений, выяснить, какому закону распределения подчиняется данная выборка.
Интервалы и значения хц, nэ, Wэ, Hэ, F(x)э, nт, Wт ,Hт ,F(x)т, о которых идет речь в данном разделе, представлены в Таблице 1.
1.1 Гистограмма относительных частот. Эмпирический полигон относительных частот
Разобьем выборку на 10 равных интервалов (k = 10): хmin = -3,386; хmax = 3,786; размах выборки: Д = хmax - хmin = 7,172; длина интервала: h = Д / k = 0,7172.
Посчитаем число результатов измерений, попадающих в каждый интервал (nэ) - абсолютные частоты (Уnэ = n); найдем центры интервалов (хц).
Относительная частота: Wэ = nэ / n; УWэ = 1;
плотность относительных частот: Hэ = Wэ / h;
Представим выборку графически: по горизонтали отметим центры интервалов, по вертикали - плотности относительных частот; построим гистограмму (рис.1) и эмпирический полигон относительных частот (рис.2). По виду полученных графиков можно предположить, что выборка подчиняется нормальному закону распределения.
1.2 Теоретический полигон относительных частот
Найдем теоретические частоты (nт) для нормального закона распределения, воспользовавшись Таблицей значений нормированной функции Лапласа:
Значения функции Лапласа: Ф(x*), где x* - край интервала;
теоретическая вероятность попадания значений в каждый интервал: P = Ф(х*i+1) - Ф(х*i);
теоретическая частота: nт = n • P.
По формулам, аналогичным приведенным в пункте 1.1, вычислим Wт и Hэ и построим теоретический полигон относительных частот (рис.2).
Эмпирический и теоретический графики подобны, что подтверждает теорию о нормальном распределении.
Рис.1
Рис.2
1.3 Эмпирическая функция распределения
квадратичный отклонение дисперсия распределение
Запишем выборочную функцию распределения F(x)э. Каждый последующий член функции равен сумме предыдущего и относительной частоты (например, F(x)э 8 = F(x)э 7 +Wэ 8), причем F(x)э 0 = 0, а значения, которые больше хmax, равны 1. Построим график (рис.3), отметив по горизонтали центры интервалов, а по вертикали - относительные частоты.
1.4 Теоретическая функция распределения. Критерий Колмогорова
Аналогично построим график теоретической функции распределения F(x)т (рис.3). Видно, что наибольшее отклонение эмпирического графика от теоретического происходит в границах интервала №3 (xц = -1,051).
Оценим характеристики рассеяния выборки с помощью Критерия Колмогорова: лэ = D* • vn, где D* = max (F(x)э - F(x)т); D* = 0,257-0,208 = 0,049; лэ = 0,820.
По таблице Критических чисел Колмогорова лт = 0,886.
При нормальном распределении лэ ? лт, что справедливо в нашем случае. Таким образом, вновь подтверждается теория о нормальном распределении.
Рис.3
Таблица 1
|
№ |
Интервалы |
хц |
nэ |
Wэ |
Hэ |
F(x)э |
nт |
Wт |
Hт |
F(x)т |
|
|
1 |
[-3,386;-2,669) |
-3,027 |
2,000 |
0,007 |
0,0098 |
0,007 |
0,822 |
0,003 |
0,004 |
0,003 |
|
|
2 |
[-2,669;-1,952) |
-2,310 |
5,000 |
0,018 |
0,025 |
0,025 |
6,028 |
0,022 |
0,031 |
0,025 |
|
|
3 |
[-1,952;-1,234) |
-1,593 |
6,000 |
0,022 |
0,031 |
0,047 |
22,742 |
0,083 |
0,116 |
0,108 |
|
|
4 |
[-1,234;-0,517) |
-0,875 |
25,000 |
0,091 |
0,127 |
0,138 |
53,704 |
0,196 |
0,273 |
0,304 |
|
|
5 |
[-0,517;0,2) |
-0,158 |
45,000 |
0,164 |
0,229 |
0,302 |
75,076 |
0,274 |
0,382 |
0,578 |
|
|
6 |
[0,2;0,917) |
0,558 |
55,000 |
0,201 |
0,280 |
0,503 |
66,308 |
0,242 |
0,337 |
0,820 |
|
|
7 |
[0,917;1,634) |
1,275 |
54,000 |
0,197 |
0,275 |
0,700 |
34,798 |
0,127 |
0,177 |
0,947 |
|
|
8 |
[1,634;2,352) |
1,993 |
38,000 |
0,139 |
0,194 |
0,839 |
11,782 |
0,043 |
0,060 |
0,990 |
|
|
9 |
[2,352;3,069) |
2,710 |
29,000 |
0,106 |
0,148 |
0,945 |
1,918 |
0,007 |
0,010 |
0,997 |
|
|
10 |
[3,069;3,786] |
3,427 |
15,000 |
0,055 |
0,077 |
1 |
0,274 |
0,001 |
0,001 |
0,998 |
|
|
274,0 |
1,000 |
273,4 |
0,998 |
2. Характеристики выборки
Выборка, отсортированная в порядке возрастания, значения V, VІ, Vі, V?, t, V?І, используемые в данном разделе, представлены в Приложении 2.
2.1 Выборочное среднее. Допустимый интервал
Начальный момент: бк = У(x??) / n; б1 = (Уx?) / n; выборочное среднее: x? = б1;
x? = 0,921;
математическое ожидание: , где V = x? - x?; [VІ] = 491,710; m = 1,342.
Допустимый интервал для V: (-4,026; 4,026), т.к. 3M = 4,026.
В данной выборке нет значений, выходящих за границы допустимого интервала.
2.2 Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Асимметрия и эксцесс
Дисперсия генеральной совокупности: Dг = [VІ] / (n -- 1);
491,710/273=1,801
выборочная дисперсия: Dв = [VІ] / n; среднее квадратичное отклонение: у = ?D;
491,710/274=1,795
для больших по объему выборок считают, что дисперсия D = Dг = Dв, следовательно, m = у.
Центральный момент: мк = [V?] / n.
Из формулы следует, что м2 = у = m; м3 = [Vі] / n; м4 = [V?] / n;
м1=0; м2=1,801; м3=-0,620; м4=9,326
Асимметрия: A = м3 / уі; A = -0,256;
асимметрии нет, если |A| ? 3 • vDA, где ;
DA = 0,022; выражение -0,256 ?0,445 верно, а значит асимметрии нет.
Эксцесс: E = (м4 / у?) - 3; E = -0,125;
эксцесса нет, если |E| ? 3 • vDE, где ;
DE = 0,083; выражение -0,125 ? 0,864 верно, а значит эксцесса нет.
2.3 Исправленное среднее квадратичное отклонение
Составим теоретическую выборку, используя вместо значений x значения t, вычисляемые по формуле: t = V / m. Уt = 0, значит t? = 0. В нашем случае V? = t - t? = t - 0 = t;
исправленное среднее квадратичное отклонение: ; [V?І] = 273; уt = 1.
Расчеты были выполнены верно, т.к. для теоретической выборки t? = 0, уt = 1.
3. Проверка выдвинутой гипотезы о законе распределения
Интервалы и значения nэ, nт, г, чІ, о которых идет речь в данном разделе, представлены в Таблице 2.
3.1 Распределение Пирсона
Объединим интервалы, значений в которых меньше 5.
После объединения интервалов №9 и №10 остается 9 интервалов (k*=9).
Число степеней свободы: f = k* - 3 = 6; по таблице распределения Пирсона находим критическую точку для данной выборки: чІ? = 12,6.
Мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями по критерию Пирсона: чІ = Уч?; где ч? = гІ / nт; г = nэ - nт; чІ = 10,705.
Для нормального распределения: чІ < чІ?, такое неравенство справедливо для данной выборки, что окончательно подтверждает выдвинутую ранее гипотезу:
выборка подчиняется нормальному закону распределения.
Таблица 2
|
№ |
nэ |
nт |
г |
ч? |
||
|
1 |
9 |
6,916 |
2,084 |
0,628 |
||
|
2 |
17 |
16,996 |
0,004 |
0,000 |
||
|
3 |
46 |
33,516 |
12,484 |
4,650 |
||
|
4 |
37 |
48,972 |
-11,972 |
2,927 |
||
|
5 |
59 |
57,428 |
1,572 |
0,043 |
||
|
6 |
54 |
50,008 |
3,992 |
0,319 |
||
|
7 |
27 |
34,888 |
-7,888 |
1,783 |
||
|
8 |
20 |
18,060 |
1,940 |
0,208 |
||
|
9 |
9 |
11 |
9,800 |
1,200 |
0,147 |
|
|
10 |
2 |
|||||
|
10,705 |
Вывод
Все 280 значений, входящие в полученную в результате измерений выборку, являются величинами случайными, а сама выборка подчиняется нормальному закону распределения.
Приложение 1. Выборка из непрерывной генеральной совокупности
|
1,519 |
3,383 |
1,178 |
0,179 |
1,021 |
0,274 |
-0,179 |
1,978 |
0,281 |
-0,099 |
-1,909 |
2,137 |
0,227 |
|
|
0,188 |
0,516 |
1,152 |
2,430 |
-0,858 |
2,148 |
-0,024 |
-0,645 |
0,100 |
1,304 |
-0,730 |
-0,887 |
3,482 |
|
|
1,825 |
0,150 |
2,209 |
4,540 |
0,318 |
-1,058 |
-0,708 |
1,607 |
0,411 |
-1,576 |
0,405 |
1,350 |
1,502 |
|
|
-0,412 |
1,238 |
3,017 |
-0,493 |
0,876 |
0,372 |
-0,812 |
-0,386 |
1,942 |
1,537 |
-2,476 |
0,527 |
1,395 |
|
|
2,353 |
2,020 |
-0,277 |
2,051 |
-0,143 |
3,252 |
0,196 |
2,684 |
0,401 |
1,628 |
-2,288 |
0,274 |
-0,900 |
|
|
0,639 |
1,054 |
-0,242 |
-1,117 |
1,606 |
-0,225 |
2,781 |
0,597 |
-0,066 |
-0,550 |
0,945 |
3,479 |
0,858 |
|
|
1,421 |
2,058 |
1,414 |
-0,802 |
0,550 |
0,885 |
1,680 |
2,604 |
0,968 |
0,900 |
0,199 |
-0,692 |
1,828 |
|
|
4,531 |
0,289 |
0,873 |
2,550 |
0,416 |
1,413 |
2,448 |
-0,926 |
3,148 |
4,425 |
0,010 |
2,610 |
-1,472 |
|
|
-2,672 |
3,120 |
-0,112 |
-1,687 |
2,516 |
-0,330 |
1,907 |
0,469 |
-0,470 |
3,134 |
1,185 |
0,417 |
2,304 |
|
|
-0,680 |
-0,491 |
3,786 |
0,546 |
2,719 |
3,495 |
1,559 |
-0,105 |
-0,948 |
-0,790 |
1,483 |
1,900 |
2,999 |
|
|
0,471 |
-0,208 |
0,784 |
2,030 |
0,605 |
1,531 |
-1,085 |
1,698 |
-0,041 |
0,198 |
0,056 |
0,889 |
-0,851 |
|
|
2,501 |
-0,386 |
1,567 |
1,310 |
2,103 |
1,890 |
0,534 |
0,849 |
1,376 |
-0,168 |
0,668 |
0,689 |
0,148 |
|
|
1,279 |
4,184 |
-1,975 |
0,954 |
1,217 |
2,875 |
3,071 |
0,785 |
0,526 |
2,870 |
2,309 |
2,342 |
2,231 |
|
|
-0,124 |
-0,256 |
1,280 |
1,749 |
2,434 |
-0,353 |
1,963 |
1,145 |
1,169 |
2,810 |
1,710 |
0,876 |
1,034 |
|
|
4,295 |
2,050 |
0,545 |
-0,434 |
0,182 |
0,466 |
2,649 |
4,136 |
0,323 |
1,649 |
1,329 |
2,693 |
-0,913 |
|
|
1,749 |
2,622 |
-0,978 |
0,114 |
2,620 |
1,208 |
1,487 |
0,563 |
2,075 |
3,662 |
-0,215 |
0,862 |
-0,866 |
|
|
0,704 |
3,195 |
0,961 |
2,273 |
0,948 |
-0,670 |
1,075 |
1,675 |
1,417 |
2,617 |
1,189 |
-2,838 |
-2,157 |
|
|
-1,757 |
0,301 |
2,837 |
0,699 |
1,503 |
-0,560 |
1,563 |
2,499 |
1,531 |
1,475 |
2,295 |
1,653 |
1,382 |
|
|
0,944 |
1,481 |
-0,028 |
2,377 |
0,573 |
2,538 |
1,203 |
2,921 |
2,489 |
0,152 |
1,538 |
1,455 |
1,988 |
|
|
-0,166 |
2,314 |
1,000 |
1,385 |
0,052 |
3,263 |
0,908 |
0,264 |
0,483 |
1,760 |
0,617 |
2,231 |
-0,242 |
|
|
-0,424 |
0,392 |
0,660 |
2,219 |
2,125 |
3,585 |
0,443 |
0,661 |
1,218 |
-0,625 |
0,744 |
1,089 |
-0,192 |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Интервальный вариационный ряд. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х. Функция плотности рассматриваемого закона распределения "Построение ее на гистограмме".
курсовая работа [104,4 K], добавлен 20.03.2011Случайная выборка объема как совокупность независимых случайных величин. Математическая модель в одинаковых условиях независимых измерений. Определение длины интервала по формуле Стерджесса. Плотность относительных частот, критерий согласия Пирсона.
контрольная работа [90,4 K], добавлен 17.10.2009Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения генеральной совокупности. Критерий Колмогорова-Смирнова и его практическое применение. Критические значения статистик Стефенса. Критерии Пирсона и Смирнова-Крамера.
курсовая работа [629,9 K], добавлен 26.08.2012Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей закон распределения Пуассона. Подтверждение гипотезы данного закона распределения с помощью критерия Колмогорова.
курсовая работа [134,2 K], добавлен 31.05.2010Критерий Пирсона, формулировка альтернативной гипотезы о распределении случайной величины. Нахождение теоретических частот и критического значения. Отбрасывание аномальных результатов измерений при помощи распределения. Односторонний критерий Фишера.
лекция [290,6 K], добавлен 30.07.2013Одномерная выборка, ее представление и числовые характеристики. Проведение исследования нормального, равномерного и экспоненциального распределения. Проверка гипотез по критерию Пирсона и Колмогорова-Смирнова. Особенность изучения двухмерных выборок.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 22.11.2021Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Решение задач линейного программирования, построение графиков линий по точкам. Среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Корреляционный анализ связи между числом посетителей и выручкой магазина.
контрольная работа [609,0 K], добавлен 13.11.2011Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Числовые характеристики выборки. Статистический ряд и функция распределения. Понятие и графическое представление статистической совокупности. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения плотности распределения. Применение метода наименьших квадратов.
контрольная работа [62,6 K], добавлен 20.02.2011Проверка гипотезы о законе распределения. Определение значения вероятности по классам распределения случайных величин нефтеносных залежей. Расчет распределения эффективных мощностей месторождения, которое подчиняется нормальному закону распределения.
презентация [187,0 K], добавлен 15.04.2019Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.
курсовая работа [57,0 K], добавлен 13.10.2009Длина интервала группирования. Графическое описание выборки. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Границы доверительного интервала математического ожидания. Вычисление коэффициента корреляции. Эмпирическая функция распределения.
практическая работа [737,5 K], добавлен 14.02.2009Согласование выборочных распределений. Отбор статистических данных с помощью таблицы случайных чисел. Расчет числовых характеристик распределения выборочных частот. Проверка предположения, что распределение генеральной совокупности является нормальным.
курсовая работа [276,6 K], добавлен 19.01.2016Числовые характеристики непрерывных величин. Точечные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Сравнение средних известной и неизвестной точности измерений. Критерий Хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения.
курсовая работа [79,0 K], добавлен 23.01.2012Вероятность появления события в серии из независимых испытаний. Закон распределения дискретной случайной, интегральной, дифференциальной, имперической функции распределения, математическое ожидание, дисперсия, и среднее квадратическое отклонение.
контрольная работа [397,9 K], добавлен 15.11.2010
