Интегралы и числовые ряды
Вычисление неопределенного интеграла. Изображение фигуры, ограниченной параболой и прямой, определение её площади. Исследование сходимости степенного ряда на концах интервала. Применение достаточного признака экстремума функции независимых переменных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.04.2017 |
| Размер файла | 264,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Уральский государственный экономический университет»
Центр дистанционного образования
Контрольная работа
по Математическому анализу
Интегралы и числовые ряды
Исполнитель:
Студентка В.Л. Пермякова
Екатеринбург 2017
Тема 1. Неопределенный интеграл
1.1 Вычислить неопределенный интеграл
а) ;
б) ;
в) ;
г).
Решение
a)
Проверка:
b)
Интегрируем по частям, т.е. находим интеграл по формуле:
.
.
Проверка:
c)
.
Проверка:
.
d)
.
Проверка:
.
Тема 2. Определенный интеграл
2.1 Вычислить определенный интеграл
а) ;
б) .
Решение
а)
Интегрируем по частям, т.е. находим интеграл по формуле:
.
б).
Интегрируем по частям, т.е. находим интеграл по формуле:
.
Сведем интеграл к самому себе:
;
.
2.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж
Решение
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
-- парабола.
-- прямая.
.
Заданные кривые пересекаются в точках и .
Парабола растянута по оси , ветви направлены вниз. Строим по точкам:
|
0 |
Прямую строим по 2-м точкам и .
Изобразим фигуру, ограниченную параболой и прямой. Необходимо вычислить площадь фигуры, выделенной штриховкой.
Площадь фигуры, ограниченной кривыми , и прямыми и , находится по формуле:
.
, , и .
.
Ответ: .
Тема 3. Несобственный интеграл
3.1 Вычислить интеграл или установить его расходимость
а) ;
б) .
Решение
a)
несобственный интеграл сходится.
b)
-- несобственный интеграл расходится.
Тема 4. Ряды
4.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость
Решение
Применим признак Даламбера. Если в ряде с положительными членами существует предел при отношения последующего члена ряда к предыдущему, т.е. , то при ряд сходится, при -- расходится.
Найдем:
;
Так как , по признаку Даламбера данный ряд сходится.
4.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда
Решение
Фиксируем x и составляем ряд из модулей:
.
Применяем признак Даламбера для этого ряда:
.
Следовательно, на интервале ряд сходится абсолютно.
-- радиус сходимости степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала, т.е. при .
При получаем числовой ряд:
.
Необходимый признак сходимости ряда:
если ряд сходится, то
Не выполняется необходимый признак сходимости ряда:
-- расходится.
При этом -- сумма ряда ограничена но не равна определенному числу.
Значит точка не входит в область сходимости ряда.
При получаем числовой ряд: .
Не выполняется необходимый признак сходимости ряда:
-- расходится.
Значит точка не входит в область сходимости ряда.
Следовательно, областью сходимости данного степенного ряда является интервал .
Тема 5. Функции нескольких переменных
5.1 Исследовать функцию на экстремум
Решение
Применим достаточный признак экстремума функции двух независимых переменных. Пусть -- критическая точка функции , имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядков.
Обозначим , , и составим определитель
.
Если , то есть точка экстремума, причем при -- точка минимума, при -- точка максимума.
Если , в точке экстремума нет.
Если -- требуется дополнительное исследование.
Область определения функции -- вся действительная плоскость. Находим частные производные и , приравняем их к нулю и решаем полученную систему уравнений:
.
.
Данная функция имеет одну критическую точку:.
Найдем частные производные второго порядка:
, , .
Вычислим определитель: .
Т.к. , то в точке данная функция экстремума не имеет.
Ответ: функция в точке не имеет экстремума.
Тема 6. Решение дифференциальных уравнений
6.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения
Решение
Разделим обе части уравнения на :
.
Это линейное уравнение первого порядка.
Положим . Продифференцируем это выражение: и подставим в уравнение:
.
Так как искомая функция представима в виде произведения двух вспомогательных функций u и v, то одну из них можно выбрать произвольно.
Выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения
(1)
Для нахождения функции имеем уравнение:
(2)
Получаем два уравнения с разделяющимися переменными.
Решаем 1-е уравнение:
.
Подставим в уравнение (2):
.
-- общее решение данного уравнения.
Найдем константу , подставляя начальные условия:
.
-- частное решение дифференциального уравнения.
Проверка: Найдем производную:
.
Подставим и в условие:
.
6.2 Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение
Напишем однородное уравнение, соответствующее заданному неоднородному уравнению:
Напишем характеристическое уравнение однородного уравнения и находим решение квадратного уравнения:
-- это сопряженные комплексные корни квадратного уравнения.
Напишем общее решение однородного уравнения:
Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Его правая часть -- многочлен .
Частное решение будем искать в виде .
Находим 1-ую производную: .
Находим 2-ую производную: .
Для нахождения коэффициентов , и частного решения уравнения, подставляем, , в заданное неоднородное уравнение, получаем тождество:
.
Группируем слагаемые по степени . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем:
.
Частное решение данного уравнения:
.
Напишем общее решение данного неоднородного уравнения:
.
Проверка: Находим первую производную:
интеграл экстремум парабола сходимость
Находим вторую производную:
Подставим найденное частное решение
и его производные в исходное уравнение:
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Интервал сходимости степенного ряда, исследование его сходимости на концах этого интервала. Решение дифференциальных уравнений и частных решений, удовлетворяющих начальному условию. Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменных.
контрольная работа [72,2 K], добавлен 08.04.2013Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Понятие пределов функции, нахождение ее точки экстремума, промежутков возрастания и убывания. Определенный, неопределенный и несобственный интервал. Исследование степенного ряда на сходимость на концах интервала. Решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [116,5 K], добавлен 01.05.2012Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Нахождение матрицы. Исследование функции и построение ее графика. Определение площади фигуры, ограниченной прямой и параболой.
контрольная работа [209,0 K], добавлен 14.03.2017Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015
