Застосування комплексних чисел в геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М. П. ДРАГОМАНОВА

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВА РОБОТА

ЗАСТОСУВАННЯ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ В ГЕОМЕТРІЇ



Зміст

Вступ

1. Історичні відомості

2. Основні поняття

2.1 Поняття звичайного комплексного числа

2.2 Поняття дуального числа

2.3 Поняття подвійного числа

3. Застосування звичайних комплексних чисел

3.1 Застосування комплексних чисел до вивчення геометричних перетворень

3.2 Застосування комплексних чисел до вивчення многокутників

3.3 Застосування комплексних чисел до розв'язування геометричних задач

4. Застосування дуальних і подвійних чисел в геометрії

Висновки

Список використаних джерел



Вступ

В програмі математики шкільного курсу вивчаються множини натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто сукупність дійсних чисел, які структурують числову вісь. Але у 8 класі дійсних чисел стає замало. Така проблема виникає у процесі відшукання коренів квадратного рівняння, якщо дискримінант набуває від'ємного значення. Тому постає питання пророзширення дійсних чисел комплексними, для яких квадратний корінь з від'ємного числа має сенс. Необхідність вивчення застосування комплексних чисел зумовлює актуальність цієї курсової роботи.

Мета курсової роботи - дослідити основні застосування звичайних комплексних чисел, дуальних і подвійних чисел.

Реалізація даної мети зумовила необхідність постановки та вирішення таких завдань:

комплексно обґрунтувати сутність поняття «комплексні числа»;

проаналізувати різницю між звичайними, дуальними та подвійними числами;

розкрити сутність значущості комплексних чисел у вивченні математики;

показати різноманітність застосування комплексних чисел.

Об'єктом дослідження є форми задання комплексних чисел і дій над ними. Предметом дослідження є особливості застосування комплексних чисел.



1. Історичні відомості

Першу згадку про комплексні числа можна віднести до 50 століття до нашої ери. Саме тоді Герон із Олександрії, будучи студентом, намагаючись обчислити об'єм піраміди зіткнувся з тим, що повинен був взяти корінь квадратний з рівності 81-144. Не володіючи знаннями про комплексні числа, Герон порахував це за неможливе і дуже швидко здався.

В 1543 році ДжироламоКардано(1501 - 1576), італійський математик і філософ, вперше виконав обчислення над «уявними» числами. Ця ідея прийшла до математика під час розв'язування рівнянь 3-го степеня. До речі, уявними комплексні числа у 1637 році назвав Рене Декарт(1596 - 1650),французький фізик, математик, основоположник аналітичної геометрії, який як і більшість математиків дійсно вважали їх уявними, хоча з роками все більше і більше ними користувалися. Г.Лейбніц (1702 р.) називав їх витонченим і чудовим притулком божественного духу, а Л. Ейлер, як і І. Ньютон, відносив корені з від'ємних чисел до неможливих чисел[23, ст.26].

В 1520 році професор математики Болонського університету СціпіондельФерро(1465 - 1526) - італійський математик знайшов спосіб розв'язання рівнянь виду х³+ах=b. Перед смертю він повідомив під великим секретом цей спосіб своєму учню Фіоре. Фіоре користувався правилом Ферро на математичних турнірах. В 1535 році суперником Фіоре на турнірі виявився вчитель математики Ніколо Тарталья(1499 - 1557), італійський математик, ім'я якого пов'язане з розробкою способа вирішення кубічних рівнянь в коренях за кілька днів до турніру знайшов свій спосіб розв'язання подібних рівнянь. Післядовгихвмовлянь, Ніколорозповів про свійспосіб (у виглядівірша) професору математики Міланськогоуніверситету Джироламо Кардано. Через якийсь час Карданодізнався і про спосіб Ферро. Обидваспособивиявилисьоднаковими.

Іншийіталійський математик РаффаелеБомбеллі (1530-1572) впершевиклав правила дій над комплексними числами майже у сучасномувигляді.

Лише через певний час, у XVIII столітті, в зв'язку з прогресом у науці з'являються труднощі у розв'язанні численних задач з механіки, геометрії, які потребують геометричної інтерпретації комплексних чисел. Ще довгий час не було сформульовано чіткого означення комплексного числа. Датський землемір, математик і автор твору «Про аналітичне представлення векторів» КаспарВессель(1745 - 1818) у 1797 першим запропонував геометричне зображення комплексних чисел, яке ґрунтувалося на векторах, але його відкриття залишилося ніким не поміченим. Першим, хто ввів термін «комплексне число» у 1803 році був французький вчений Лазар Карно, а через двадцять п'ять років цей термін було повторено німецьким математиком, астрономом та фізиком, який у 1799 році довів основну теорему алгебриКарлом Фрідріхом Гауссом(1777 - 1855).

Позначенняiдля ввів швейцарський математик та фізик Леонард Ейлер(1707 - 1783).

Комплексні числа знайшли широке застосування не тільки в різних аспектах математики, але й у фізиці та багатьох галузях інших наук. Числа, які неопосередковано пов'язані з від'ємними значеннями перевернули уяву вчених, розширили коло дій у математиці і започаткували нову дисципліну, яка отримала назву - теорія функцій комплексної змінної. І насправді, з комплексними числами можливо виконувати набагато більше математичних дій та застосовувати їх набагато частіше, аніж ми думаємо.



2. Основні поняття

2.1 Поняття звичайного комплексного числа

З розвитком математики все більше і більше вчених починають цікавитися комплексними числами. Тому не існує єдиного підходу до означення комплексного числа. Так, наприклад, у підручнику [14], стор. 355, вказано таке означення:

Означення 1.Комплексними числами називаються числа виду z=a + bi,

де aі b - дійсні числа ( a?R, b?R), і- деяке ( не дійсне) число, квадрат якого дорівнює -1: = -1.

У підручнику [3], стор.43, наведено таке означення:

Означення 2.Комплексним числомназивається сума видуz=a + bi,де a і b - дійсні числа, 1 і і- одиниці, взяті відповідно на осях Ох і Оу.

Означення 3.Числа z =а + biі z =а -biназиваються спряженими комплексними числами.

Властивості між комплексним числом і спряженим до нього:

z= z;

z₁± z₂= z₁± z₂;

z + z = 2а?R;

z₁ z₂ = z₁ z₂;

zz = а² + b²?R;

z₂ ? 0, (z₁/ z₂) = z₁/ z₂.

Означення 5.Алгебраїчною формою комплексного числа zназивається запис його у вигляді z =а + bi, де а = Rez - дійсначастинаz, bi = Imz- уявна частина z.

Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.

Маємо два комплексних числа z₁ =а + biі z₂=c + di.

1). Додавання комплексних чисел.

(а + bi)+(c + di) = (а + с) + (b + d)і

2). Віднімання комплексних чисел.

(а + bi)-(c + di) = (а - с) + (b-d)і

3). Множення комплексних чисел.

(а + bi) * ( c + di) = (ас - bd) + (аd + bс)і

4). Ділення комплексних чисел.

( c + di) ? 0, с² + d² ? 0

= = = + і.

5). Добування квадратного кореня.

= ± ( + i), b>0;

= ± (--i), b < 0.

Тригонометрична форма комплексного числа

Нехай z =а + biкомплексне число, яке зображується радіус - векторомОА = (a;b). Розглянемо трикутник ОАВ:



Тоді z =а + bi = rcosц + rsinц = r(cosц + sinц). Запис числа z =а + biу вигляді z =r(cosц + sinц)називається тригонометричною формою комплексного числа.

1).Множення комплексних чисел.

z₁ = r₁(cosц₁+isinц₁)

z₂ = r₂(cosц₂+sinц₂₁)

z₁z₂ = r₁r₂(cosц₁+isinц₁)(cosц₂+isinц₂) = r₁r₂((cosц₁cosц₂ - sinц₁sinц₂)+(cosц₁sinц₂ + +sinц₁cosц₂)i) = r₁r₂(cos(ц₁+ц₂)+isin(ц₁+ц₂))

|z₁||z₂|=|z₁z₂| arg(z₁z₂) = argz₁ + argz₂

2). Ділення комплексних чисел.

z₂?0 Тоді ===

==(cos(ц₁-ц₂)+isin(ц₁+ц₂)

arg()=argz₁-argz₂



3). Піднесення комплексного числа до цілого степеня (формула Муавра).

Теорема. Для комплексного числа z =r(cosц + isinц)і для будь-якого n?Z справедливо: .

4). Добування кореня n-го степеня з комплексного числа.

Означення. Нехай n?N. Коренем n - го степеня з комплексного числа z =r(cosц + isinц)називається таке комплексне число u, що .

Теорема. Нехай маємо комплексне число z =r(cosц + isinц),n?N. Операція добування кореня n- го степеня з комплексного числа завжди має розв'язки. Умови відшукання:

якщо z =r(cosц + isinц)=0, то =0;

якщо z =r(cosц + isinц)?0, то всі корені знаходяться за формулою і їх існує рівно n

=, де k = 0,1,2,…,n - 1

Показникова форма комплексного числа.

Нехай z =r(cosц + isinц). Тоді комплексне число zможна записати у такій формі: z = re^iц.

Число, подане у такому вигляді, називається показниковою формою комплексного числа.

1). Множення комплексних чисел.

r₁e^iцЧ r₂e^iц = r₁r₂e^i(ц1+ц2);

2). Ділення комплексних чисел.

z = = =

3). Піднесення комплексного числа до n-го степеня.

(re^iц)ⁿ = rⁿe^inц.

4). Добування кореня п - го степеню з комплексного числа.

, k = 0, 1, 2, … , n - 1.

2.2 Поняття дуального числа

Означення. Гіперкомплексні числа виду a + еb, де a і b - дійсні числа ( a?R, b?R),е- уявна одиниця, така що = 0 називаються дуальними числами.

Дуальні числа - це пари дійсних чисел виду (a, b), для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

Також дуальні числа можна представити у вигляді матриці, де е = . Тоді довільне дуальне число можна записати у вигляді a + bе = .

Дуальні числа мають характерне представлення і в показниковій формі:

Цю формулу можна довести, якщо застосувати розкладання експоненти в ряд Тейлора (до того ж всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю).

Існує окрема формула добування кореня n- го степеня з дуального числа

Таким чином ми бачимо, що дуальні числа - це числа, які належать до двовимірної гіперкомплексної системи, яка є комутативною і в ній існують дільники нуля.

2.3 Поняття подвійного числа

Означення. Подвійні числа - це гіперкомплексні числа виду a + bj, де a і b - дійсні числа ( a?R, b?R), j- уявна одиниця, така що .

Через те, що існує уявна одиниця можемо стверджувати про два ортогональні елементи

, які можна використати як альтернативний базис. Переведемо подвійні числа в діагональний базис x + yj = (x - y)e + (x + y)e = ae + be.

(a,b) - число в діагональному базисі, для якого справедливі наступні формули:

(a,b) = (b,a)

= ab

Таким чином ми бачимо, що подвійні числа - це числа, які належать до двовимірної гіперкомплексної системи, яка є комутативною і в ній існують дільники нуля. Головна відмінність дуальних і подвійних чисел від комплексних полягає в тому, що дуальні числа, так само як і подвійні, взагалі кажучи, не можна ділити одне на інше. Нобхідно ще раз пояснити зміст слова “ділення”. Якщо задан певний закон множення, то розділити z₁ на z₂(z₂? 0) означає розв'язати рівняння

z₂х = z₁[9, ст. 16].



3. Застосування звичайних комплексних чисел

3.1 Застосування комплексних чисел до вивчення геометричних перетворень

Паралельне перенесення

Будь-яке комплексне число можна єдиним чином відобразити на площині як точку M(x, y) або радіус - вектор z = (x, y)точкиM. Тому число z називають точкою або вектором. Зафіксуємо два комплексних числа p = x + yi іq = u + vi. Знайдемо їх сумуz = a + bi, яка означає, що a = x + u,b = y + v, тобто вектор pzспівпадає з вектором Oq. Тому дана рівність визначає паралельне переміщення площини на вектор Oq.

Рух і подібність

Розглянемо перетворення комплексної площини, яке задане формулою z^* = az,де a - комплексне число з одиничним моделем. Візьмемо дві довільні точки площини, яким відповідають комплексні числа z₁іz₂. Відстань між ними дорівнює , а відстань між їх образами . Не важко перевірити, що при множенні комплексних чисел їх модулі множаться, отже , тобто розглядуване перетворення є рухом. Так як рівняння z = azмає єдиний розв'язок z = 0, цей рух за теоремою Шаля буде поворотом навколо початку координат. Щоб визначити кут повороту, достатньо розглянути його дію на довільній точці площини. Так як z = 1переходить в z^* = a, кут повороту дорівнює arg(a).Візьмемо два числа a іbз одиничними модулями. Композиція поворотів z^* = azі z^** = bz^* дасть поворот z^** = abzна кут, що дорівнюєarg(ab). З іншого боку, ця композиція є поворотом на кут arg(a) + arg(b). Тим самим доведено, що при множенні двох комплексних чисел з одиничними модулями їх аргументи додаються.

Задача1.Довести, що афінному перетворенню комплексної площини відповідає функція z^*= az + bz + c, де a, b, c - довільні комплексні числа, які задовольняють умову

Доведення.Розглянемо спочатку афінне перетворення, яке зберігає орієнтацію. Його можна представити як композицію стиску до прямої і подібності. Дослідимо операцію стиску до прямої з коефіцієнтом k. Якщо пряма, до якої виконується стиск, є віссю ОХ, то точка z^* лежить на відрізку, який сполучає точки z іz, і ділить його у відношенні , отже, В загальному випадку в ці вирази замість zпотрібно підставитиtz, де t - комплексне число з одиничним модулем і аргументом, який дорівнює куту між прямою стиску і дійсною віссю. Застосувавши опісля перетворення подібності, отримаємо шуканий вираз, до того ж Якщо перетворення змінює орієнтацію, проведемо спочатку симетрію відносно ОХ. Тоді zзаміниться на z, і отримаємо шуканий вираз, до того ж[7, ст.57, ст.83].

Задача2. а)Доведіть, що точки, які відповідають комплексним числам a, b, c,лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли число , яке називається простим відношенням трьох комплексних чисел, істотно.

б)Доведіть, що точки, які відповідають комплексним числам a, b, c, лежать на одному колі (або на одній прямій) тоді і лише тоді, коли число яке називається подвійним відношенням чотирьох комплексних чисел, істотно.

Доведення.а)НехайA, B, C- точки, які відповідають числамa, b, c. Комплексне число (a - b) : (a - c) істотно тоді і лише тоді, коли вектори АВ і АС пропорційні. б)Нехай S - коло (або пряма), на якій лежать точки b, c, d. Додавши, якщо потрібно, до всіх чотирьох чисел одне й те саме комплексне число (це не змінює подвійне відношення), можна рахувати, що коло Sпроходить через 0. Отже, його образ при інверсії - пряма. Тому залишається розв'язати таку задачу. Точки (тобто комплексні числа) b, c, dлежать на одній прямій; потрібно довести, що число aлежить на ті й же прямій тоді і лише тоді, коли число істотно. Це слідує із задачі а). Те, що й треба було довести[18, §29, задача 29.027].

3.2 Застосування комплексних чисел до вивчення многокутників

Задача 1.Дано nкомплексних чисел t₁, t₂, … , t_n, таких, що якщо представити їх як точки площини, то вони є вершинами випуклого n-кутника. Довести, що якщо комплексне число zволодіє тими ж властивостями, що й

то точка площини, яка відповідає z, лежить всередині цього n-кутника.

Доведення. Нехай точка zлежить поза многокутником. Тоді через точку zможна провести пряму, яка не перетинає многокутник. Тому вектори лежать в одній півплощині, яка задається цією прямою. Отже, в одній півплощині лежать і вектори оскільки . Тому Отримали суперечність.

Задача 2.а)Довести, що якщоA, B, C іD - довільні точки площини, то AB*CD + BC*AD?AC*BD(нерівність Птолемея).

б)Довести, що якщоA₁, A₂, …, A₆ - довільні точки площини, то

A₁A₄*A₂A₅*A₃A₆ ? A₁A₂*A₃A₆*A₄A₅+A₁A₂*A₃A₄*A₅A₆+A₂A₃*A₁A₄*A₅A₆+ +A₂A₃*A₄A₅*A₁A₆+A₃A₄* A₂A₅ * A₁A₆.

в)Довести, що нерівність Птолемея перетворюється у рівність тоді і лише тоді, коли ABCD - вписаний чотирикутник.

г)Довести, що нерівність із задачі б) перетворюється у рівність тоді і лише тоді, колиA₁, A₂, …, A₆- вписаний шестикутник.

Доведення. a)Твердження задачі витікає із наступних властивостей комплексних чисел: 1) Дійсно, якщоa, b, c, d - довільні комплексні числа, то (a - b)(c - d) + ((b - c)(a - d) = (a - c)(b - d). Тому

б)Потрібно лише перевірити відповідну тотожність для комплексних чисел a₁, …, a₆(цю тотожність отримують, замінюючи знак ? на знак =, і замінюючи кожний співмножник A_iA_jна співмножник (a_i - a_j)).

в)Нестрога нерівність пертворюється у рівність тоді і лише тоді, коли комплексні z іw числа пропорційні з істотним додатнім коефіцієнтом пропорційності. Тому, як видно з доведення задачі а), нерівність Птолемея перетворюєтья у рівність тоді і лише тоді, коли число істотне і додатнє, тобто число q = істотне і від'ємне. Числоq - це подвійне відношення чиселa, b, c, d. Воно істотне тоді і лише тоді, коли дані точки лежать на одному колі. Залинається довести, що якщо дані точки лежать на одному колі, тоq від'ємне тоді і лише тоді, коли ламанаabcd сама себе не перетинає. Остання умова еквівалентна тому, що точкиb іd лежать на різних дугах, які відтинаються точкамиa іc. Відобразимо наше коло за допомогою інверсії на пряму. Тому, якщоa*, b*, c*, d* - комплексні числа, які відповідають образам наших точок, то їх подвійне відношення дорівнюєq(подвійне відношення зберігається при інверсії). Розглядаючи всеможливі способи розміщення точокa*, b*, c*, d* на прямій, легко переконатися, щоq< 0 тоді і лише тоді, коли на відрізкуa`c` лежить рівно одна з точокb` іd`.

г)Задачу б) можна довести наступним чином за допомогою нерівності Птолемея:

A₁A₂*A₃A₆*A₄A₅+A₁A₂*A₃A₄*A₅A₆+A₂A₃*A₁A₄*A₅A₆+A₂A₃*A₄A₅*A₁A₆+A₃A₄*A₂A₅*A₁A₆ = A₁A₂*A₃A₆*A₄A₅ + (A₁A₂*A₃A₄*A₂A₃*A₁A₄)*A₅A₆+(A₂A₃*A₄A₅*A₃A₄*A₂A₅)*A₁A₆? A₁A₂ * A₃A₆ * A₄A₅ + A₁A₃ * A₂A₄ * A₅A₆ + A₂A₄ * A₃A₅ * A₁A₆ = A₁A₂ * A₃A₆ * A₄A₅ + (A₁A₃ * A₅A₆ + A₃A₅ * A₁A₆) * A₂A₄ ? A₁A₂ * A₃A₆ * A₄A₅ + A₁A₅ * A₃A₆ * A₂A₄ = (A₁A₂ * A₄A₅ + A₁A₅ * A₂A₄) * A₃A₆ ? A₁A₄ * A₂A₅ * A₃A₆.

Всі використані нестрогі нерівності пертворюються в рівності тоді і лише тоді, коли чотирикутники A₁A₂A₃A₄, A₂A₃A₄A₅, A₁A₃A₅A₆, A₁A₂A₄A₅ вписані. Легко помітити, що це еквівалентно тому, що шестикутникA₁, A₂, …, A₆ вписаний.

Примітка. Клавдій Птолемей(бл. 87 - 165) - давньогрецький вчений, який заснував теорему елементарної математики, яка пізніше отримала назву теореми Птолемея.

Ще в часи Евкліда вміли будувати за допомогою циркуля і лінійки такі правильні n-кутники: n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 і n = натуральне число. Які інші многокутники можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, математики не знали до кінця XVIII ст. У 1801 р. К. Гаусс знайшов спосіб побудови правильного 17 - кутника за допомогою циркуля і лінійки. Крім того, він довів наступне твердження: для того щоб можна було побудувати за допомогою цих інструментів правильні n - кутники, необхідно і достатньо, щоб розклад числаn мав вигляд деp, q, …, r - гауссові прості числа. комплексний число геометричний

Означення. Число p називається гауссовим, якщоp - 1 є степінь числа 2. Такими числами є 3, 5, 17, 257, 65537 та інші. Скінченна чи нескінченна множина таких чисел - проблема, яка не розв'язана до цього часу.

Примітка. Йоганн Карл Фрідріх Гаус(1777 - 1855) - німецький математик, астроном геодезист та фізик, який у 1799 р. довів основну теорему алгебри, яка має дуже велике значення у розвитку математики.

При розв'язуванні деяких задач зручно користуватися геометричним змістом суми і різниці комплексних чисел. Наведемо приклад такої задачі.

Задача 3. У коло (O, r) вписано правильний n- кутник ;M - довільна точка площини, яка лежить на відстаніl від центра кола (рис. 1). Довести, що сума квадратів відстаней від цієї точки до всіх вершин n - кутника дорівнюєn (r²+l²)

рис. 1

Доведення.Квадрат відстані точкиM від вершиниA_s можна знайти, використовуючи тригонометричну форму комплексного числа:

.

Отже, Оскільки , то шукана сума дорівнюватиме n(r²+l²).

З доведеного вище, випливають наступні наслідки:

1). Якщо точка M збігається з центром колаO, то шукана сума дорівнюєnr².

2). Якщо точкаM лежить на колі, то шукана сума дорівнює2nr²[3, ст. 70].

3.3 Застосування комплексних чисел до розв'язування геометричних задач

Прямі на комплексній площині

На комплексній площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

ax + by + c = 0, a² + b² ? 0.

Не важко записати те ж рівняння прямої в комплексній формі. Для цього достатньо ввести комплексну змінну z = х + уi. Відомо, що x = , y = =).Тоді можна записати у вигляді:

Позначимо комплексне числочерез б. Тоді = б.

Тоді рівняння прямої матиме вигляд бz + бz = в. З допомогою комплексних змінних зручно записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки z₁, z₂:(z₂ - z₁)z- (z₂ - z₁)z = z₁z₂ - z₂z.

Запишемо рівняння прямої MN, яка проходить через дану точку Z₀і паралельно заданому вектору PQ, який заданий своєю комплексною координатою c. Тоді при будь-якому виборі точки Zна прямій MNвектор Z₀Zколінеарний вектору PQ, відповідно, відношення їх комплексних координат виражається дійсним числом. Іншими словами кожної точки zпрямої задовольняє умову

Це і буде шукане рівняння прямої.

Зупинимося на рівнянні прямої, яка проходить через задану точку Pперпендикулярно вектору OP, де O- нульова точка. Нехай Z- точка цієї прямої.

Тоді вектор PZколінеарний вектору OPз комплексною координатоюpi. Тому , тобто

Коло на комплексній площині

КолозцентромуточціСірадіусомR - цемножинаусіхтихточокZ, дляякихвідстаньCZдорівнюєR, тобтоz - c = R. Цеієрівняннякола. Особливо зручно записувати в комплексній формі рівняння кола, що проходить через три дані точки Z₁, Z₂, Z₃:

Це і є рівняння кола, що проходить через три задані точки Z₁, Z₂, Z₃.Якщо жточки Z₁, Z₂, Z₃ лежать на одній прямій, то кола, що проходить через ці три точки, не існує, але рівняння має й у цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

Приклад1. Задати пряму y = 3x - 2 рівнянням прямої в комплексній площині.

Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді 3 x ?y?2=0.В рівність (a ?ib) (x +iy)+ +(a +ib)(x ?iy)=2(ax +by) підставляємо a=3, b= ?1, отримаємо: 2(3 x ?y)=(3+i)z+(3 ?i)z, де z = x + iy. Тоді рівняння запишеться у вигляді (3?i)z+(3 ?i)z?4=0.

Приклад 2. Гострий кут при вершині О ромба OZ₁Z₂Z₃ ( О - початок координат ) дорівнює 45⁰, а вершина Z₁ має комплексну координату z₁ = 2 +i(вершини O, Z₁, Z₂, Z₃ слідують проти годинникової стрілки). Знайдемо комплексні координати інших вершин ромба.

Розв'язання. Позначимо комплексні координати вершин ромба Z₁, Z₂, Z₃ відповідно через z₁, z₂, z₃, вершина О має комплексну координату 0. Вектор OZ₃отримуємо з вектора OZ₁ шляхом повороту (без розтягу) на кут 45⁰ ( радіан). Тому маємо: z₃ = z₁ = (2)() = (2 - .Оскільки OZ₂= OZ₁ + OZ₃, то дістанемо: z₂ = z₁ + z₃ =

Із отриманого тлумачення комплексного множника випливає важливий наслідок: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли відношення їх комплексних координат є дійсним числом (і при тому додатнім, якщо вектори співнапрямлені, і від'ємним, якщо вектори протилежно напрямлені).

Приклад 3. Доведіть, що вписаний в коло кут, який спирається на діаметр, дорівнює .

Розв'язання.Нехай задано коло радіуса R. Виберемо систему координат так, щоб початок координат співпадав з центром кола. Тоді рівняння кола буде мати вигляд |z| = R. Нехай С - довільна точка кола з комплексною координатою с. ВекториАСі ВС , де А іВ - точки перетину кола з дійсною віссю, мають комплексні координати с - (-R) = c + R і с - R відповідно.Оскільки | c | ² = c • c= R ², то . Тобто відношення комплексних координат векторів АС і ВС є суто уявним числом. За теоремою: якщо в якомусь виразі, утвореному з даних комплексних чисел за допомогою дій додавання і множення замінити всі числа спряженими, то результат заміниться спряженим числом [10, ст. 223],векториАС і ВСє ортогональними, тобто кут, який вони утворюють, становить [20, cт. 33].

Приклад 4. Знайдіть комплексну координату точки перетину медіан трикутника, якщо задано комплексні координати його вершин(рис.2)[20, ст. 33].

Розв'язання.Нехай О - точка перетину медіан трикутника АВС, К - середина сторони АВ, точки А, В, С, О і К мають комплексні координати a, b, c, z₀ і z₁відповідно. Очевидно, . Оскільки КО = КС, то вектор КО має комплексну координату z₀ - z₁ = . Звідси

.

Рис 2.

Приклад 5.Знайти комплексну координату середини відрізка АВ, якщо комплексні координати його кінців дорівнюють z₁і z₂відповідно[23, ст. 32].

Розв'язання. Позначимо середину відрізка АВ через О₁(рис. 3). Тоді ОО₁= ОА + +АО₁ = ОА + АВ. Враховуючи, що коомплексна координата АВдорівнює z₂ - z₁,дістанемо:

z = z₁ + (z₂ - z₁) = .



Рис. 3

Приклад 6. Зобразити множину точок z комплексної площини, для яких виконується рівність z - 2 + 3i = 4,або нерівність z - 2 + 3i ? 4.

Перепишемо умови іншим видом: z - (2 - 3i) = 4;z - (2 - 3i) ? 4 і використаємо геометричний зміст модуля різниці. Тоді множина точок, яка задається рівністю -- це коло радіуса 4 з центром у точці O₁ (2; -3) (а), а множина точок, яка задається нерівністю -- це круг радіуса 4 з центром у точці O₁ (2; -3) (б).



Задача 7.Доведіть, що середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює її половині.

Доведення. Нехай вершини трикутникаABC (рис. 4 ) мають комплексні координатиa, b, c відповідно, а середина сторінAC іBC - точкиKіM - комплексні координати Тоді

Рис. 4

Вектор KM має комплексну координату , а векторAB - комплексну координатуb - a. Звідси отримуємо, що відношення комплексних координат цих векторів дорівнює дійсному числу. Отже, векториKM іAB є колінеарними, а прямі, що їх містять, паралельними.

Крім цього, що і треба було довести[20, ст.32].

Задача 8.Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Рис. 5

Доведення. Нехай числам відповідають вершини паралелограма (рис. 5).Тоді його діагоналі будуть і. Додавши рівності і виконавши алгебраїчні перетворення, дістанемо:[3,ст. 71].

Задача 9.Доведіть, що сума квадратів медіан трикутника дорівнює суми квадратів його сторін (рис. 6).

Рис. 6

Доведення.

Нехай комплексні координати вершин і середин стін трикутника АВС - відповідноa, b, c, k, l, m. Тоді векториAC, BC, AB, CK, AL іDM мають комплексні координати:c-a, c-b, b-a, і відповідно. Тому

.

Отже,



4. Застосування дуальних і подвійних чисел в геометрії

Подвійні числа як орієнтовні прямі площини Лобачевського

Введемо полярну систему координат для прямих і позначемо кожну, яка перетинає полярну вісь oпряму l, яка має полярні координати и, s, подвійне число , а пряма m, яка розбігається з віссю oнапрямлена в ту ж сторону, що і oвід їх спільного перпендикуляра PQ, число , де d = - найкоротша орієнтовна відстань між прямимиm іo, тобто орієнтовна відстань відo проекціїP на прямуm спільного перпендикуляра прямихm іo, - орієнтовна відстань від полюса Oсистеми координат до проекціїQ спільного перпендикуляра наo (рис. 1).

Рис. 1

Двом прямим, що перетинають, які відрізняються лише напрямком, відповідають подвійні числа Тоді прямійm₁, яка відрізняється лише напрямком можна поставити у відповідність таке число:

.



Прямі, які паралельні осі o, можна розглядати як граничний випадок прямих, що перетинаютьo, яке відповідає рівності, де кути дорівнює нулю, або якщо граничний випадок прямих, які не перетинаютьмя зo, то тоді отримаємо рівність, де відстаньd дорівнює нулю. Звідси слідує, що , відповідно, то позначимо, що прямі, які паралельні зo і напрямлені в ту ж сторону дільники нуля, тобто числа видуu±ue. До того прямі, паралельніo в додатному або від'ємному напрямку відповідають числамu+ev, для якихv = u абоv = -u і тоді відношенняv = u рівносильне рівностіs = ? абоs` =?, а відношенняv = -u рівностіs = -? абоs` = -?.

З формул неевклідової тригонометрії слідує, що орієнтовній відстані p = від полюсаO до прямоїl, яка перетинаєo відповідає подвійне число, яке можна знайти із відношення

Тому двум прямимnі n` , паралельнимo , які віддалені відO на відстань треба віднести числаu+ev (деv = ±u), для яких , тобто числа .

Нарешті, виходячи із відношення , яке зв'язує подвійні числа, що відповідають прямим, які перетинають або не перетинають вісьo, різняться одна від одної лише напрямком . Тоді поставимо у відповідність прямим, які є паралельними і протилежно з нею напрямленими і віддаленими відO на відстань, числа



де числа, обернені дільникам нуля: (де nі n₁ дві прямі, які різняться лише напрямками, тоді)(далі аналогічно).

Примітка.Щоб розповсюди співвідношення між прямими площини Лобачевського і подвійними числами на всі числа, потрібно ввести у розгляд нескінченно видалені прямі площини Лобачевського, які можна представити, як дотичні к абсолюту ? моделі Клейна (рис. 2). Ці прямі не мають орієнтації.

Модель Клейна - модель геометрії Лобачевського, з її допомогою доводять несуперечність геометрії Лобачевського у припущенні несуперечності Евклідової геометрії.

Рис. 2

Застосування дуальних чисел

Формально, дуальні числа утворюють тільки кільце, а не поле - очевидно, тому що серед них існують дільники нуля. Але якщо деяка “гарна” задача розв'язується в дійсних числах не потребуючи ділення на нуль, то вона розв'язна і в дуальних. Легко помітити, що коефіцієнти при е між собою ніколи не перемножаються - тобто вони можуть бути із довільного модуля (векторного простору) над вихідним полем. В цьому випадку ми можемо отримати частинні похідні за декількома аргументами.

Таким чином, застосування дуальних чисел ідентичне до застосування звичайних комплексних чисел за умови відсутності ділення на нуль.



Висновки

В ході написання курсової роботи ми дослідили основні застосування комплексних чисел.

Першим завданням було комплексно обгрунтувати сутність поняття «комплексні числа».Таким чином, на основі аналізу історичних відомостей, серед яких провідне місце займало питання добування кореня з від'ємного числа, ми показали, що комплексним числом називається число виду z =a + bi,

де а - дійсна частина комплексного числа,

bi - уявна частина комплексного числа,

b - коефіцієнт при уявній частині,

i - уявна одиниця.

Числа, які неопосередковано пов'язані з від'ємними значеннями перевернули уяву вчених, розширили коло дій у математиці.

Друге завдання полягало в аналізі різниці між звичайним комплексним числом, дуальним і подвійним. Аналіз сучасної вітчизняної та зарубіжної літератури дає підстави стверджувати, що кожне із трьох вищеперерахованих чисел має свої притаманні лише їм ознаки:

z =а + bi, де- звичайне комплексне число,

z = a + еb, де - дуальне число,

z = a + bj, де - подвійне число.

В силу цього можемо стверджувати, що існує двовимірна гіперкомплексна система.

Третім завданням було розкрити сутність значущості комплексних чисел у вивченні математики. Комплексні числа є повноцінним розділом сучасної математики, без них не обходяться науки, що пов'язані з математикою. Комплексні числа вивчати цікаво і без них сучасна математика була б більш складною, нудною і не такою захопливою.

У четвертому завданні поставлено мету показати різноманітність застосування комплексних чисел. З комплексними числами можливо виконувати набагато більше математичних дій та застосовувати їх набагато частіше, аніж ми думаємо.

Ці числа знайшли широке застосування не тільки в різних аспектах математики, але й у фізиці та багатьох галузях інших наук. В геометрії вони використовуються задля задання прамої та кола на комплексній площині, при вивченні многокутників і геометричних перетворень, а також застосування їх при розв'язуванні задач.

Головна відмінність дуальних і подвійних чисел від комплексних полягає в тому, що дуальні числа, так само як і подвійні, взагалі кажучи, не можна ділити одне на інше.

Подвійні та дуальні числа заслуговують звання чисел з великої літери, а також включення їх у відповідну класифікацію нарівні з алгебрами дійсних та комплексних чисел.

На основі виконаних завдань розкрито теорію та історію комплексних чисел, їх застосування в геометрії, як звичайних, так дуальних і подвійних.



Список використаних джерел

1. Авдєєв С. Г. Лекції з фізики, (коливання і хвилі, оптика)/Авдєєв С. Г., Бабюк Т. І.//Курс лекцій. - Вінниця: ВНТУ, 2008. - 138с.

2. Білоколос Є. Д. Збірник задач з комплексного аналізу. Частина I. Функції комплексної змінної/Білоколос Є. Д., Зайцева Л. Л., Шека Д. Д.//Методична розробка для студентів природничих факультетів. - К., 2014. - 71с.

3. Боровик В. Н. Математика: посібник для факультативних занять в 10 кл./Боровик В. Н., Вивальчюк Л. Н. та ін. - К.: Рад. шк., 1985. - 208с.

4. Бродський Я. С. Про електричний струм, похідну та комплексні числа/Бродський Я. С., Сліпенко А.//У світі математики. - 2002. - Вип.1. - с.1 - 8.

5. Бурляй М. Ф. Про поняття комплексного числа.Математика в школах України.- 2015. - с. 55-56.

6. Завало С. Т. Комплексні числа. - К.: Вища школа, - 1982.

7. Заславский А. А. Геометрические преобразования. - М.: МЦМНО, 2004.- 86с. 2 - е изд., стереотипное.

8. Калужнін Л. А. Побудова поля комплексних чисел//У світі математики. - К.:Рад. шк., 1974. - Вип.5. - С. 111 - 119.

9. Кантор И. Л. Гиперкомплексные числа/Кантор И. Л., Солодовников А. С. - М.: Наука, 1973. - 144с.

10. Костарчук В. М. Курс вищої алгебри/Костарчук В. М., Хацет Б. І. - К.: Вища школа, 1969, - 540 с.

11. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. - М.: Высш. школа, 1979, - 559с., ил.

12. Курінний Г. Ч. Комплексні числа/Курінний Г. Ч., Невмержицька О. М., Шугайло О. О., 2015, - 38 с.

13. Мерзляк А. Г. Алгебра: підруч. для 11 кл. з поглибленим вивченням математики: у 2 ч./Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. - Х.: Гімназія, 2011. - Ч.1. - 256с.: іл.

14. Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів/Нелін Є. П., Долгова О. Є. - 2 - ге вид., виправл. і доп. - Х.: Світ дитинства, 2006, - 416с.

15. Никольский С. М. Элементы математического анализа. -- М. : Наука, 1989.

16. Паскаленко В. М. Методичний посібник для студентів технічних факультетів усіх форм навчання/Паскаленко В. М., Стрелковська І. В., Шкуліпа А. В. - 2004.

...