Математическая модель всплытия подводной лодки
Построение математической модели процесса всплытия подводной лодки, анализ физической сути процесса. Определение параметров и сил, действующих на лодку. Нахождение частных случаев решения задачи методом дифференциальных уравнений, построение графиков.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.04.2017 |
| Размер файла | 110,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Московский Государственный Технический Университет
имени Н.Э. Баумана.
Курсовая работа
По предмету
“Дифференциальные уравнения”
Тема: Математическая модель всплытия подводной лодки
Выполнила:
студентка группы
ФН 2-31, Иванова А.
Научный руководитель:
профессор В.И. Ванько.
Москва 2001 г.
Введение
Под словами математическая модель всплытия подводной лодки подразумевается описание физического процесса, происходящего при её всплытии с некоторой глубины. Естественно, математическая модель существенно отличается от реально происходящего процесса, так как при построении модели берется приближение, при котором пренебрегают некоторыми силами и факторами среды.
В данном случае, вместо лодки, идущей на какой-то глубине, рассматривается материальная точка с переменной массой, первоначально движущаяся горизонтально. Мы будем пренебрегать гидродинамикой этого процесса рассматривая только три основных силы действующих на эту точку. математический подводный лодка дифференциальный уравнение
Рассматривая, таким образом, действия сил на объект, используя основные законы механики и соотношения между силами мы можем составить дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений, решая которую, можно получить её частное или общее решение (в зависимости от вида системы).
Получив решение, мы можем ответить и на другие вопросы, касающиеся всплытия лодки, такие, как нахождение значений параметров при которых время всплытия лодки будет минимальным, и ряд других.
На идее моделирования, по существу, базируется любой метод исследования - как теоретический (при котором используются абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).
Построение математической модели процесса позволяет понять его суть и его физический смысл.
Для более точных расчетов будем учитывать время опустошения баллонов, силу сопротивления среды. Рассмотрим подводную лодку как материальную точку, которая движется по горизонтали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда) равны по модулю.
По горизонтали, на лодку действует сила сопротивления, модуль которой примем в виде:
Где степень и коффициент пропорциональности это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие от факторов среды, таких как: плотность воды, её температура, и величины скорости.
Рис. 1
Сила Архимеда, действущая на лодку, зависит от размеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды.
В этой формуле - это плотность жидкости, -объем тела, погруженного в жидкость, = 9.81 м / c2 - ускорение свободного падения.
Пусть в некоторый момент времени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, а также под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории (рис.2).
Проведем радиус вектор из начала координат:
Вектор скорости также можно разложить на составляющие по осям x и y:
Рис. 2
Тогда силу сопротивления мы можем записать так:
так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположное направление.
По второму закону Ньютона:
,
W*m это результирующая сила действующая на лодку. где вектор - это вектор силы тяжести, действующей на лодку. - некоторая функция зависящая от времени.
Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси.
В проекции на ось :
В проекции на ось :
В результате получим систему дифференциальных уравнений:
,
где масса - функция зависящая от времени. Решая эту систему для произвольного значения , и заданных начальных условий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.
Пусть масса лодки изменяется по линейному закону , где - масса корпуса, - это скорость вытеснения воды из цистерн, которую будем считать постоянной, а - некоторый момент времени, в который вся вода из цистерн вытеснена. Как показано на рис.3, в некоторый момент времени произведение будет равняться 0, и мы
Рис. 3
получим , то - есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.
Решим эту систему для частного случая.
Пусть = 1. В начальный момент времени лодка находится в начале координат, а вектор её скорости направлен по горизонтали и равен .
Тогда начальные условия будут такими:
.
В рассматриваемом частном случае, система уравнений принимает следующий вид:
.
Первое уравнение этой системы зависит только от , второе только от , поэтому их можно разделить. Решим сначала первое уравнение системы.
Так как в это уравнение не входит , можно сделать замену . Решая таким образом полученное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, получим:
.
.
Решим второе уравнение системы.
Делая аналогичную замену, получим линейное неоднородное уравнение, решая которое, получим:
В итоге получается траектория движения лодки заданная параметрически:
Траектория движения подводной лодки для заданных начальных условий и =1 изображена на рис. 4.
Решим исходную систему для произвольного значения параметра .
На накладывается ограничение: ,
так как только при выполнении этого условия, сила сопротивления оказывается прямо пропорциональна скорости.
Рис 4
Систему
приведем к нормальной форме Коши, вводя новые переменные.
.
В результате получим систему состоящую из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:
.
Начальные условия для которой имеют вид:
.
Решения этой системы для нескольких значений параметра представлены на рис. 5.
Рис. 5 а
Так как при близких значениях траектория почти не изменяется и графики сливаются, для большей наглядности изобразим их в более крупном виде.
Рис. 5 б
На рис.5 а,б изображены решения исходной системы для
Найдем значение для которого время всплытия будет наименьшим и уравнение движения при этом значении параметра. Очевидно, что если то , и система принимает следующий вид:
,
где - функция, зависящая от времени.
График решения этой системы представлен на рис.6.
Функция возрастет быстрее, чем в случаях с другим значением . А это значит, что, при данном значении параметра, она всплывет с определенной глубины за минимальное время.
Рис. 6
При отрицательном значении праметра траектория будет практически совпадать с траекторией , но, в этом случае, задача теряет физический смысл.
Заключение
Мы рассмотрели только частные случаи решения задачи. Исходную систему, невозможно решить в общем виде, без использования ЭВМ, или численных методов решения задачи.
Но, уже по частным случаям решений, можно увидеть некоторую закономерность, на основании которых, уже можно делать какие-то выводы.
Сам процесс всплытия подводной лодки - достаточно сложный физический процесс. На всплытие лодки влияют не только несколько сил действующие на неё. Большое значение имеют гидродинамические параметры, которые в построении данной модели не учитывались. Для численных решений системы и построения графиков были взяты реальные размеры и начальная скорость подводной лодки, что позволило как можно больше приблизить рассмотренный процесс к реальному.
Список литературы.
1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000. - 347 с.
2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 467 с.
3. Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомная подводная эпопея М.: “Боргес”, 1994. - 350 c.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.
курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010Схема блоков модели Карааслана, система дифференциальных уравнений, методы решения. Блоки и биохимические законы системы Солодянникова, переход между фазами. Моделирование патологий, графики экспериментов. Построение комплексной модели гемодинамики.
дипломная работа [4,1 M], добавлен 24.09.2012Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014Нахождение особых точек уравнений, определение их типов, построение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки. Исследование циклических траекторий на изохронность, устойчивости нулевого решения, доказывание существования циклов в уравнениях.
контрольная работа [457,9 K], добавлен 23.09.2010Создание математической модели движения шарика, подброшенного вертикально вверх, от начала падения до удара о землю. Компьютерная реализация математической модели в среде электронных таблиц. Определение влияния изменения скорости на дальность падения.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 09.03.2016Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Графический и симплексный методы решения ОЗЛП. Построение функции цели, образующая совместно с системой ограничений математическую модель экономической задачи. Нахождение неотрицательного решения системы линейных уравнений. Решение транспортной задачи.
лабораторная работа [322,9 K], добавлен 10.04.2009Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.
курсовая работа [259,9 K], добавлен 04.05.2011Составление математической модели для предприятия, характеризующей выручку предприятия "АВС" в зависимости от капиталовложений (млн. руб.) за последние 10 лет. Расчет поля корреляции, параметров линейной регрессии. Сводная таблица расчетов и вычислений.
курсовая работа [862,4 K], добавлен 06.05.2009Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Составление математической модели задачи. Приведение ее к стандартной транспортной задаче с балансом запасов и потребностей. Построение начального опорного плана задачи методом минимального элемента, решение методом потенциалов. Анализ результатов.
задача [58,6 K], добавлен 16.02.2016Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
лабораторная работа [265,6 K], добавлен 14.08.2010Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
курсовая работа [863,4 K], добавлен 21.06.2015
