Математичне моделювання
Вивчення методики побудови аналітичних моделей динаміки найпростішої одновимірної системи шляхом її ідентифікації за методом найменших квадратів. Придбання навичок вибору виду та параметрів моделі динаміки об'єкта, експериментальна оцінка точності моделі.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 23.04.2017 |
| Размер файла | 939,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лабораторна робота
"Математичне моделювання"
Харків 2017
Побудова аналітичних моделей динаміки об'єктів
Мета роботи
Вивчення методики побудови аналітичних моделей динаміки найпростішої одновимірної системи шляхом її ідентифікації за методом найменших квадратів. Придбання навичок вибору виду та параметрів моделі динаміки об'єкта, експериментальна оцінка точності моделі.
Теоретичні відомості
У ході лабораторної роботи досліджується одновимірна система типу "сірий ящик". Задача ідентифікації: за результатами спостереження вхідних і вихідних сигналів системи необхідно побудувати математичну модель, використовуючи критерій найменших квадратів.
Вихід моделі пов'язаний з входом залежністю:
де FM - оператор моделі;
uм(t) = t, yм(t) - відповідно вхідний і вихідний сигнали моделі;
q - вектор параметрів моделі, q = (q0, q1,..., qm).
Вибір моделі виконується на множині поліномів:
Порядок виконання роботи
Ознайомитися за допомогою викладача з особливостями і режимами роботи комп'ютерних засобів та пакетів програм, що використовуються.
Одержати у викладача варіант завдання (табл. 1.1) і додаткові вихідні дані. аналітичний модель одновимірний
Виконати попередній аналіз даних експерименту і вибрати вид моделі Fм (початкове значення ступеня полінома (1.2)).
Скласти систему рівнянь виду (1.5) для визначення найкращих значень параметрів моделі q.
Визначити за допомогою обраного пакета програм найкращі за критерієм (1.3) значення параметрів моделі qо, побудувати модельну траєкторію руху об'єкта й оцінити точність моделі q0 (1.6). При необхідності (о > о*) змінити ступінь полінома моделі і повторно зробити вибір найкращих значень її параметрів qо.
Знайти розв'язок за методом експоненціального згладжування (1.7). Порівняти результати, що отримані за методом найменших квадратів і методом експоненціального згладжування.
Зробити висновки, оформити і захистити звіт про виконану роботу. У висновках необхідно вказати на найкращу з розглянутих моделей, дати оцінку її точності і проаналізувати характер зміни точності наближення від ступеня полінома моделі.
Провести порівняльний аналіз результатів, отриманих за методом найменших квадратів і методом експоненціального згладжування. Результатами експериментів є значення параметрів моделі q і вихідних координат об'єкта y(t) і моделей yм(t) для заданого інтервалу часу.
Хід роботи
Варіант вихідних даних (табл.1.1)
Таблиця 1.1 - Варіант типових завдань
|
Варіант |
t1 |
y1 |
t2 |
y2 |
t3 |
y3 |
t4 |
y4 |
t5 |
y5 |
|
|
1 |
0,5 |
0.2 |
1,0 |
1,4 |
1,5 |
3,6 |
2,0 |
2,7 |
2,5 |
5,1 |
Математична модель будується з урахуванням необхідної точності - різниці значень об'єкта досліджень та побудованої моделі. Нехай необхідна точність складає: е=0.01.
Рисунок 1.1 - Розрахунок параметрів системи представленої поліномом другого порядку
За розрахованими параметрами системи визначаються вихідні параметри моделі та оцінюється похибка відносно об'єкта дослідження.
Рисунок 1.2 - Розрахунок вихідних значень моделі та похибки відносно виходу системи
Рисунок 1.3 - Графік залежності вихідних значень моделі F(t) та системи y(t)
Максимальне відхилення вихідного значення моделі від вихідного значення системи склало 1,06, що не задовольняє прийнятому допустимому відхиленню (е=0.01), отже необхідно збільшити порядок поліному та повторити розрахунки.
Рисунок 1.4 - Розрахунок критерія ідентифікації
Рисунок 1.5 - Розрахунок параметрів та вихідних значень моделі, представленої поліномом третього порядку
Рисунок 1.6 - Розрахунок похибки вихідних значень моделі та системи
Після збільшення порядку поліному спостерігається зменшення максимальної розбіжності виходів системи та побудованої моделі. Значення моделі наближаються до відомих значень системи в задані моменти часу.
Рисунок 1.7 - Графік залежності вихідних значень моделі F3(t) та системи y(t)
Рисунок 1.8 - Розрахунок критерія ідентифікації
Рисунок 1.9 - Розрахунок параметрів моделі, представленої поліномом четвертого порядку
Рисунок 1.10 - Розрахунок похибки вихідних значень моделі та системи
Похибка моделі побудованої на основі поліному четвертого порядку складає 1,903*10-10, що значно менше встановленої похибки. Отже можна сказати, що модель достатньо точно відображає параметри заданої системи.
Рисунок 1.11 - Розрахунок критерію ідентифікації
Рисунок 1.12 - Графік залежності вихідних значень моделі F5(t) та системи y(t)
Побудова модель методом прогнозування виконується за формулою:
де k - кількість спостережень;
б - коефіцієнт згладжування.
Для перевірки точності методу, окрім прогнозування наступного вихідного значення системи, проведено прогнозування вже відомих вихідних значень (ретроспективна оцінка).
Рисунок 1.13 - Прогнозування вихідних значень системи
Рисунок 1.14 - Змодельований прогноз вихідних значень xx(t) та вихідні значення системи yx(t)
Висновки
У ході лабораторної роботи вивчила:
· принципи побудови моделі системи методом найменших квадратів;
· метод прогнозування за схемою експоненціального згладжування.
Розглянула принцип зменшення похибки моделі відносно відомих параметрів системи шляхом підвищення порядку поліному. Після підвищення порядку з другого до четвертого похибка моделі зменшилася приблизно на 12 порядків.
Виявлено, що за допомогою методу прогнозування найбільш точно можуть бути побудовані моделі систем, які функціонують за детермінованим законом. Якщо система має стохастичний характер, то прогнози вихідних величин можуть значно відрізнятися від дійсних.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод найменших квадратів. Задача про пошуки параметрів. Означення метода найменших квадратів. Визначення параметрів функціональних залежностей. Вид нормальної системи Гауса. Побудова математичної моделі, використовуючи метод найменших квадратів.
реферат [111,0 K], добавлен 25.12.2010Етапи побудови емпіричних формул: встановлення загального виду формули; визначення найкращих її параметрів. Суть методу найменших квадратів К. Гауса і А. Лежандра. Побудова лінійної емпіричної формули. Побудова квадратичної емпіричної залежності.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 22.01.2011Поняття економетричної моделі та етапи її побудови. Сутність та характерні властивості коефіцієнта множинної кореляції. Оцінка значущості множинної регресії. Визначення довірчих інтервалів для функції регресії та її параметрів. Метод найменших квадратів.
курсовая работа [214,6 K], добавлен 24.05.2013Лінійна багатовимірна регресія, довірчі інтервали регресії та похибка прогнозу. Лінійний регресійний аналіз інтервальних даних, методи найменших квадратів для інтервальних даних і лінійної моделі. Програмний продукт "Інтервальне значення параметрів".
дипломная работа [1,1 M], добавлен 12.08.2010Модель Еванса встановлення рівноважної ціни. Побудова моделі зростання для постійного темпу приросту. Аналіз моделі росту в умовах конкуренції. Використання математичного апарату для побудови динамічної моделі Кейнса і неокласичної моделі росту.
реферат [81,8 K], добавлен 25.05.2023Знаходження коефіцієнтів для рівнянь нелінійного виду та аналіз рівняння регресії. Визначення параметрів емпіричної формули. Метод найменших квадратів. Параболічна інтерполяція, метод Лагранжа. Лінійна кореляція між випадковими фізичними величинами.
курсовая работа [211,5 K], добавлен 25.04.2014Етапи розв'язування інженерних задач на ЕОМ. Цілі, засоби й методи моделювання. Створення математичної моделі. Побудова обчислювальної моделі. Реалізація методу обчислень. Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотомії. Алгоритм метода дихотомії.
контрольная работа [86,1 K], добавлен 06.08.2010Діагностика турбіни трьома основними методами — ММР, ММП, ММКПР, тобто визначення Хо для всіх випадків. Ідентифікація параметрів математичної моделі на основі авторегресії 2-го порядку для заданого часового ряду, оцінка адекватності отриманої моделі.
контрольная работа [98,3 K], добавлен 16.08.2011Обчислення середньорічних показників динаміки. Визначення рівних рядів і відсутних в таблиці ланцюгових характеристик динаміки. Визначення абсолютної зміни витрат на виробництво в цілому та за рахунок окремих факторів, грошових витрат на виробництво.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 20.11.2009Основні поняття математичної статистики. Оцінювання параметрів розподілів. Метод максимальної правдоподібності. Парадокси оцінок математичного сподівання та дисперсії, Байєса, методу найменших квадратів, кореляції, перевірки гіпотез та їх пояснення.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 12.08.2010Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.
книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології. Виведення системи визначальних рівнянь, розв'язання отриманої системи визначальних рівнянь (симетрій Лі). Побудова анзаців максимальних алгебр інваріантності математичної моделі хемотаксису.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 09.09.2012Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.
практическая работа [42,3 K], добавлен 09.11.2009Аналіз математичних моделей технологічних параметрів та методів математичного моделювання. Задачі технологічної підготовки виробництва, що розв’язуються за допомогою математичного моделювання. Суть нечіткого методу групового врахування аргументів.
курсовая работа [638,9 K], добавлен 18.07.2010Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Математична обробка ряду рівноточних і нерівноточних вимірів. Оцінка точності функцій виміряних величин. Випадкові величини, їх характеристики і закони розподілу ймовірностей. Елементи математичної статистики. Статистична оцінка параметрів розподілу.
лекция [291,4 K], добавлен 17.11.2008Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.
контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010Загальні положення та визначення в теорії моделювання. Поняття і класифікація моделей, iмовірнісне моделювання. Статистичне моделювання, основні характеристики випадкових векторів. Описання програмного забезпечення для моделювання випадкових векторів.
дипломная работа [12,0 M], добавлен 25.08.2010Мережа Петрі як графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів. Основні елементи мережі Петрі, правила спрацьовування переходу. Розмітка мережі Петрі із кратними дугами. Методика аналізу характеристик обслуговування запитів на послуги IМ.
контрольная работа [499,2 K], добавлен 06.03.2011Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.
задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010
