Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По территориям региона приводятся данные за 201X г. (p1 - число букв в имени, p2 - число букв в имени)

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	84	139
2	86	148
3	87	141
4	79	154
5	106	163
6	112	195
7	67	139
8	98	164
9	79	152
10	87	162
11	86	152
12	116	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии y по x .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

7. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение:

Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b линейной регрессии систему нормальных уравнений относительно а и b:

Для определения следующих данных: , , , , , составим вспомогательную таблицу 1.

1	84	139	11676	7056	19321	150,90	-11,90	8,56
2	86	148	12728	7396	21904	152,70	-4,70	3,18
3	87	141	12267	7569	19881	153,60	-12,60	8,94
4	79	154	12166	6241	23716	146,39	7,61	4,94
5	106	163	17278	11236	26569	170,74	-7,74	4,75
6	112	195	21840	12544	38025	176,15	18,85	9,67
7	67	139	9313	4489	19321	135,56	3,44	2,47
8	98	164	16072	9604	26896	163,52	0,48	0,29
9	79	152	12008	6241	23104	146,39	5,61	3,69
10	87	162	14094	7569	26244	153,60	8,40	5,18
11	86	152	13072	7396	23104	152,70	-0,70	0,46
12	116	173	20068	13456	29929	179,76	-6,76	3,91
Итого	1087	1882	172582,00	100797,00	298014,00	1882,00	0,00	56,04
Среднее значение	90,58	156,83	14381,83	8399,75	24834,50	156,83		4,67
	13,943	15,421
	194,410	237,806

Рассчитываем параметр b:

Рассчитываем параметр a:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Экономический смысл уравнения: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,90 руб.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,816, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

т.е. в 66.51% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 33.49% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Это означает, что 66,51% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора - среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

,

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 4,67%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как 19,86 > 4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки , , :

Остаточная дисперсия на одну степень свободы

m_a - стандартное отклонение случайной величины a:

m_b - стандартное отклонение случайной величины b.

Тогда

Поскольку 4,05 > 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 4,46 > 2.228, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 4,46 > 2,228, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

(b - t_крит m_b; b + t_крит m_b)

(0.9 - 2.228 * 0.2; 0.9 + 2.228 * 0.2)

(0.451;1.353)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - t_крит m_a; a + t_крит m_a)

(75.132 - 2.228 * 18.55; 75.132 + 2.228 * 18.55)

(33.8;116.464)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит:

y(96.92) = 0.902*96.92 + 75.132 = 162.549

Ошибка прогноза составит:

Доверительный интервал прогноза:

162.549 ± 22.85

(139.7;185.4)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 139,7 руб. до 185,4 руб.

В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую

7. Проверим вычисления в MS Excel.

Задача 2

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7	4,2	11	11	9	6,6	21
2	7	3,7	13	12	11	6,4	22
3	7	3,9	15	13	9	6,9	22
4	7	4	17	14	11	7,2	25
5	7	4,4	18	15	12	7,4	28
6	7	4,8	19	16	12	8,2	29
7	8	5,3	19	17	12	8,1	30
8	8	5,4	20	18	12	8,6	31
9	8	5	20	19	14	9,6	32
10	10	6,8	21	20	14	9,6	36

линейный корреляция детерминация регрессия

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость параметров чистой регрессии.

6. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

7. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

8. Проверить вычисления в MS Excel.

Решение:

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7	4,2	11	29,40	77,0	46,20	17,64	121	49
2	7	3,7	13	25,90	91,0	48,10	13,69	169	49
3	7	3,9	15	27,30	105,0	58,50	15,21	225	49
4	7	4	17	28,00	119,0	68,00	16,00	289	49
5	7	4,4	18	30,80	126,0	79,20	19,36	324	49
6	7	4,8	19	33,60	133,0	91,20	23,04	361	49
7	8	5,3	19	42,40	152,0	100,70	28,09	361	64
8	8	5,4	20	43,20	160,0	108,00	29,16	400	64
9	8	5	20	40,00	160,0	100,00	25,00	400	64
10	10	6,8	21	68,00	210,0	142,80	46,24	441	100
11	9	6,6	21	59,40	189,0	138,60	43,56	441	81
12	11	6,4	22	70,40	242,0	140,80	40,96	484	121
13	9	6,9	22	62,10	198,0	151,80	47,61	484	81
14	11	7,2	25	79,20	275,0	180,00	51,84	625	121
15	12	7,4	28	88,80	336,0	207,20	54,76	784	144
16	12	8,2	29	98,40	348,0	237,80	67,24	841	144
17	12	8,1	30	97,20	360,0	243,00	65,61	900	144
18	12	8,6	31	103,20	372,0	266,60	73,96	961	144
19	14	9,6	32	134,40	448,0	307,20	92,16	1024	196
20	14	9,6	36	134,40	504,0	345,60	92,16	1296	196
Сумма	192,00	126,10	449,00	1296,10	4605,00	3061,30	863,29	10931,00	1958,00
Ср. знач.	9,60	6,31	22,45	64,81	230,25	153,07	43,16	546,55	97,90

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

t_y = 0.76x₁ + 0.216x₂

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,65% или 0,19% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0.956 > 0.7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

? r =	1 0,967 0,943 0,967 1 0,956 0,943 0,956 1	= 0.00532

? r11 =	1 0,956 0,956 1	= 0.0861

Коэффициент множественной корреляции

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

Коэффициент детерминации.

R²= 0.969² = 0.9382

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 93%) детерминированность результата в модели факторами и .

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:



Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 20 - 2 - 1 = 17, Fkp(2;17) = 3.59

Получили, что F (фак) > F (таб) = 3,59 (при n=20 ), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи R І(yx1x2)

Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью критерия Стьюдента. Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

Фактические значения критерия Стьюдента:

T_табл (n-m-1;б/2) = (17;0.025) = 2.11

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₁ подтверждается.

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ не подтверждается.

Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:

(b_i - t_i m_bi; b_i + t_i m_bi)

b₁: (0.99 - 2.11 * 0.27 ; 0.99 + 2.11 * 0.27) = (0.42;1.55)

b₂: (0.0792 - 2.11 * 0.0755 ; 0.0792 + 2.11 * 0.0755) = (-0.0801;0.24)

С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и .

R²(x₂,x_n = r²(x₂) = 0.9426² = 0.888

R²(x₁,x_n = r²(x₁) = 0.9665² = 0.934

Имеем:

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

8. Проверка в Excel:

Матрица парных коэффициентов корреляции:



Результаты регрессионного анализа:

Размещено на Allbest.ru

...