Функция: основные понятие и свойства. Графики элементарных функций
Понятие числовой функции. Определение числовой последовательности как числовой функции на множестве натуральных чисел. Исследование функций на четность и нечетность. Поиск нулей и промежутков, понятие метода интервалов. Промежутки возрастания функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.04.2017 |
| Размер файла | 610,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
На тему: "Функция: основные понятие и свойства. Графики элементарных функций"
План
1. Понятие числовой функции
2. Четность функций
3. Нули функции
4. Монотонность функций
1. Понятие числовой функции
Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой.
Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция:
y = f (x),
Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).
Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y - зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x. Число соответствующее значению
называют значением функции в точке и обозначают или
Для того чтобы задать функцию f, нужно указать:
1) ее область определения D (f (x))
2) указать правило f, по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y = f (x).
Запись
означает, что D (f (x)) = [-1; 2]. Если область определения не указана, то за область определения принимают множество всех значений аргумента, для которых данное выражение имеет смысл. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).
Функции f и g называются равными, если они имеют одну и ту же область определения D и для каждого значения этих функций совпадают. В этом случае пишут f (x) = g (x), или f = g. Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве и то говорят, что функции равны на множестве Так, например, функции f = 1 и
равны на всем множестве , а функции и g = x равны на множестве
Пусть функции f (x) и g (x) определены на одном и том же множестве D. Тогда функция, значения которой в каждой точке равны f (x) + g (x), называется суммой функций f и g и обозначается f + g. Точно так же определяются разность f - g, произведение f · g и частное f / g двух функций (частное определено на множестве D, если на этом множестве g (x) ? 0).
Пусть функции y = g (x) и z = f (y) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g. Тогда функция, принимающая при каждом значение f (g (x)), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается Так, функция z = sin (x - 1) является суперпозицией функций y = x - 1 и z = sin y.
Важно отметить, что в общем случае суперпозиция не совпадает с ; так, в нашем примере
,
Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них - аналитический, когда числовая функция задается при помощи формулы. Вот некоторые примеры.
· Формулой S (r) = рr2 задается функция зависимости площади круга от радиуса.
· Функция єF (єC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
· Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна то через n лет в банке будет
функция от количества лет, на которые положены средства Эта формула называется формулой сложных процентов.
· При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s (t) = v · t.
· Функция x (t) = A cos (щt + ц) задает гармонические колебания. Здесь A - амплитуда колебаний, щ - круговая частота, ц - начальная фаза.
Функция
называется формулой радиоактивного распада. Здесь - начальное количество радиоактивного вещества, m (t) - текущее, T - период полураспада.
Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы
f (x) =
задают на множестве действительных чисел функцию f (x) = |x|, называемою модулем, а формулы
f (x) =
определяют функцию Дирихле. Иногда функция задается в виде таблицы численных значений. Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:
График 1.3.1.1. График функции y = x2 + 1 на D = [-2; 2]. По числовым осям заштрихованы область определения и область значений функции.
Графиком функции y = f (x) в выбранной системе координат называется множество всех точек (x; y), для которых выполняется равенство y = f (x).
Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y.
Число a называется нулем функции f (x), если f (a) = 0.
График функции пересекает ось абсцисс в точках с абциссами, равными нулям функций.
Эскиз графика может быть построен выбором на оси OX нескольких значений аргументов xi, построением точек (xi, f (xi)) и соединением этих точек линиями. Если графиком функции является достаточно плавная кривая, то, соединяя полученные точки гладкой линией, мы получим эскиз искомого графика.
Рисунок 1.3.1.1. График функции y = [x].
Существуют функции, графики которых состоят из нескольких участков. К таковым, например, относится функция y = sign (x). График функции y = [x], где скобки означают взятие целой части числа, состоит из бесконечного количества отрезков. Наконец, ряд графиков функций не содержит ни одной «непрерывной» части. К таковым относится, например, числовая последовательность, которую можно определить как числовую функцию на множестве натуральных чисел
Эскиз графика строится по нескольким точкам; линия эскиза графика на чертеже всегда конечной толщины (в то время как в математике линия графика считается бесконечно тонкой). Все это приводит к тому, что узнать значение функции по графику можно лишь приближенно. Тем не менее график является удобным средством для исследования функции и во многих случаях используется, чтобы визуально представить ход изменения функции.http://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Bwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Bwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Bwd_h.gif
2. Четность функций
Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
2) f (-x) = f (x).
График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить
y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|.
числовой функция четность интервал
График 1.3.2.1 График четной функции
График 1.3.2.2. График нечетной функции
Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
2) f (-x) = -f (x).
Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x3.
Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (-1) ? f (1).
Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
Таковой суммой является функция
Первое слагаемое является четной функцией, второе - нечетной.
Модель 1.8. Четные и нечетные функции.
Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.
· Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
· Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
· Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
· Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна). http://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Bwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Bwd_h.gif
3. Нули функции
Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции и промежутков, где функция сохраняет знак.
График 1.3.3.1. Нули функции
На показанном на рисунке графике функции y = f (x) видно, что эта функция имеет три нуля: x1, x2, x3. Функция положительна на каждом из промежутков (x1; x2) и (x3; b] и отрицательна на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; x3). Эти данные можно занести в таблицу:
Таблица 1.3.3.1.
|
x |
[a; x1) |
x1 |
(x1; x2) |
x2 |
(x2; x3) |
x3 |
(x3; b] |
|
|
f (x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение f (x) = 0, а для нахождения промежутков знакопостоянства нужно решить неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0.
Если на некотором промежутке функция непрерывна и не имеет корней, то она сохраняет знак на этом промежутке.
На этой теореме базируется метод интервалов решения неравенств.http://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/images/Bwd_h.gif
4. Монотонность функций
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).
Рисунок 1.3.5.1. Промежутки возрастания и убывания функции.
На показанном на рисунке графике функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b] и убывает на промежутке (x1; x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b], но не на объединении промежутков
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Заметим, что если f - монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.
Действительно, если x1 < x2 - корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.
Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).
· Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
· Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
· Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c - некоторая константа.
· Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
· Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
· Если функция f возрастает и n - нечетное число, то f n также возрастает.
· Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.
Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.
Модель 1.9. Свойства функции.
Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая е-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ? f (x).
Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая е-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ? f (x).
Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.
В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа - убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.
Если для любого (x ? a) выполняется неравенство f (x) ? f (a) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:
Если для любого (x ? b) выполняется неравенство f (x) > f (b) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.
Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.
Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка. Функция, ограниченная сверху.
График 1.3.5.2. Функция, ограниченная снизу.
График 1.3.5.3. Функция, ограниченная на множестве D.
Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ? C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.
Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ? c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ? y ? C.
Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.
Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (-?; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие функции как важнейшее понятие математики, ее общие свойства. Особенности обратной функции, ее экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции, ее периодичность, четность и нечетность. Нуль функции, промежутки знакопостоянства, монотонность.
презентация [86,8 K], добавлен 18.12.2014Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.
презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Понятие и история формирования категории "последовательность", ее значение в современной математике. Свойства и аналитическое задание последовательности, роль в развитии других областей знания. Решение задач на вычисление пределов последовательностей.
презентация [665,0 K], добавлен 17.03.2017Исследование функции на четность-нечетность, экстремумы и интервалы монотонности, наличие асимптот и построение ее графика. Точки пересечения с осями координат. Расчет площади, ограниченной графиками функций. Поиск длины дуги кривой, заданной уравнением.
контрольная работа [95,2 K], добавлен 28.03.2014Классификация основных элементарных функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические. Определение и простейшие свойства линейной и квадратичной функции. Понятие обратной пропорциональной зависимости.
презентация [1,0 M], добавлен 29.10.2015Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.
контрольная работа [117,5 K], добавлен 27.08.2013Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
реферат [54,1 K], добавлен 08.08.2009Понятие функции в древнем мире: Египет, Вавилон, Греция. Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом. Определение функций: понятие и способы задания. Методы построения графиков функций.
реферат [3,5 M], добавлен 09.05.2009Поиск нулей функции как важнейшая процедура при исследовании и построении различных функций зависимостей, его значение при изучении непрерывных процессов. Характерные признаки наличия корня у функции. Итерация Ньютона для задания системы уравнений.
реферат [48,6 K], добавлен 10.08.2009Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.
презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа [152,1 K], добавлен 11.08.2009Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.
курсовая работа [86,9 K], добавлен 28.05.2007Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Определение числовых характеристик производной случайной функции. Расчет корреляционной функции и дисперсии спектральной плотности. Группировка заданной выборки, построение выборочной функции распределения и гистограммы, доверительного интервала.
контрольная работа [681,0 K], добавлен 02.06.2010Области определения и значений функции. Заданная, монотонная, ограниченная и неограниченная, непрерывная и разрывная, четная и нечетная функции. Определение асимптоты. Степенная функция с вещественным показателем. Квадратичная и логарифмическая функции.
реферат [417,9 K], добавлен 26.03.2013История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013
