Методика расчета вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

атмосфера диффузия примесь турбулентность

В настоящее время значительное число работ посвящено исследованию загрязнения атмосферы промышленными выбросами (см. [1] и библиографию, приведенную в этой монографии). Эти исследования, как правило, основаны на анализе математических моделей рассеяния примесей в турбулентной атмосфере, в частности, полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии при заданных для его решения краевых условиях. В рамках этих исследований большое прикладное значение имеют исследования, посвященные анализу и решению обратных задач: определить основные параметры атмосферной диффузии (фоновую концентрацию, коэффициенты турбулентной диффузии и т.д.) по замерам концентрации примеси в атмосфере [2]. В частности, задача определения вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии по указанным замерам, решению которой (с помощью метода стохастической линейной фильтрации Калмана-Бьюси) посвящена данная работа.

1. Постановка задачи

Математическая модель, описывающая процесс рассеяния примеси в приземном слое турбулентной атмосферы имеет вид [1]:

, , (1)

, (2)

, (3)

, , , (4)

где - средняя концентрация примеси в точке , , в момент времени ; , , - коэффициенты турбулентной диффузии соответственно вдоль осей , , ; - компонента средней скорости ветра вдоль оси ; - скорость осаждения частиц примеси вдоль оси на подстилающую поверхность; - коэффициент шероховатости подстилающей поверхности; , , - соответственно фоновая концентрация, функция источника, скорость сухого осаждения этой примеси.

Соотношения (1)-(4) определяют математическую модель процесса рассеяния примеси в турбулентной атмосфере [3].

Цель данной работы - предложить метод определения коэффициента турбулентной диффузии по экспериментально заданным значениям концентрации примеси , мощности точечного источника непрерывного действия и параметрам модели (1) - (4): , , , .

Необходимость вычисления значений по другим заданным значениям параметров математической модели (1) - (4) продиктована большими затруднениями, возникающими при экспериментальном определении его значений [3, 4].

2. Методика решения задачи определения вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии

Согласно [4] коэффициенты турбулентной диффузии , имеют вид:

, ,

Поэтому задача определения и сводится к задаче определения . Последняя - не вызывает на практике больших затруднений, поскольку современными техническими средствами легко определить изменения от времени и координаты . Основная трудность заключается в нахождении коэффициента .

Пусть источник в (1) является точечным с координатами , т.е. [3]

где - дельта-функция Дирака, - количество примеси, выбрасываемой источником в момент времени .

Согласно [4] коэффициент турбулентной диффузии возрастает в приземном слое атмосферы пропорционально высоте :

, (5)

где , , - согласно поставленной задаче, неизвестная функция подлежащая определению.

Из (5) и (1) следует, что

. (6)

Таким образом для решения рассматриваемой обратной задачи достаточно вычислить

, , , , и

в заданных точках в момент времени и подставить эти значения в правую часть (6).

Согласно [5] задача нахождения производной -го порядка функции (т.е. ) сводится к решению (относительно ) интегрального уравнения первого рода. В частности, для имеем уравнение

, (7)

для - уравнение

. (8)

Предполагаем, что , - заданные величины.

Обозначим

, , ,

, , .

Тогда (см. (7),(8)) для определения, например, и будем иметь интегральные уравнения:

. (9)

. (10)

Соотношения (9) и (10) представляют собой интегральные уравнения первого рода относительно неизвестных функций и соответственно. Задача построения решения таких уравнений является некорректно поставленной [4].

При решении этой задачи перейдем от (9), (10) к их дискретным аналогам [3]:

, (11)

, (12)

- точки деления интервала ,

(13)

Согласно (11), (12) по значениям ,…, , заданным в точке в различные моменты времени с ошибками измерения соответственно , , …, ( - случайный процесс типа белого гауссова шума), требуется найти (восстановить) значения ,…, и,…, соответственно, .

Введем в рассмотрение матрицу , все столбцы которой одинаковы, для решения уравнения (11) матрица имеет вид:

, , ,

для решения уравнения (12) - вид:

, ,

С учетом введенных выше обозначений и замечаний из (11) получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(14)

из которой надо определить .

Из (12) получим соответствующую систему линейных алгебраических уравнений:

(15)

из которой надо определить .

Систему (14), (15) представим в матричном виде:

, (16)

, (17)

где ,

, , .

Для подавления влияния значений белого шума на значения и , , можно использовать многошаговый (многократный) фильтр Калмана-Бьюси [6].

Для этого задаем начальные приближения для решения и матрицы ковариаций ошибок решения . Для их выбора удобно использовать метод регуляризации Тихонова [4], согласно которому

, , (18)

где - единичная матрица, - параметр регуляризации, играющий роль неопределенного множителя Лагранжа, - верхняя оценка значения погрешности правой части (16).

Последующие приближения решения системы (14) могут быть найдены по следующей итерационной схеме [6]:

, (19)

, , . (20)

Зададим начальные приближения для решения и матрицы ковариаций ошибок решения . Для их выбора удобно использовать соотношения (18), подставив в них вместо .

Последующие приближения решения системы (15) могут быть найдены по итерационной схеме (19)-(20) путем замены на .

На практике можно столкнуться с ситуацией, когда обратные матрицы в соотношениях (18)-(20) найти (определить) невозможно (рассматриваемые матрицы могут быть вырожденными). В этом случае вместо обратных матриц следует использовать в (18)-20) псевдообратные, воспользовавшись методом Гревилля построения псевдообратной матрицы [7].

Соотношения (18)-(20) позволяют найти значения величины - оценку с заданной погрешностью . Способ нахождения оценки для также подробно описан. Аналогично определяются , , , соответственно для , , , .

Подставляя найденные оценки в (7), получим наилучшую в среднем квадратическом смысле оценку значения :

, . (20)

3. Пример

Для проверки качества работы алгоритма по указанной методике, воспользуемся экспериментальными данными, взятыми из отчетов Центра лабораторного анализа и технических измерений по Южному Федеральному округу (ЦЛАТИ по ЮФО) и содержащими информацию о выбросах в атмосферу диоксида азота. Согласно этим данным:  (кг/с),  м,  (м/с),  м2/c, м,  с,  (м/с).С помощью (20) найдены наилучшие в среднем квадратическом смысле оценки значения вертикальные составляющие коэффициента турбулентной диффузии на промежутке времени (вычисления проводились в пакете прикладных программ MatLab). Графическая визуализация результатов проведенных расчетов приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Графическое изображение совпадения значений экспериментальной и расчетной вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алоян А.Е. Моделирование динамики и кинетики газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. - М.: Наука, 2008. - 415 с.

2. Семенчин Е.А., Кармазин В.Н., Калина Н.Н. О разрешимости некоторых обратных задач для уравнения атмосферной диффузии. Экологический вестник научных центров Черноморского экологического сотрудничества, №4, 2005. - С.  47-51

3. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. Ставрополь: СКИУУ, 1993. - 141 с.

4. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1975. - 448 с.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 142 с.

6. Сизиков В.С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное пособие - СПб: Изд-во «СпецЛит», 1999. - 240 с.

7. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц. - Москва: изд-во "Физматлит", 2004. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru