О корректности краевых задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разрешимость задач, описывающих рассеяние примеси в атмосфере

В теории и практике современных исследований рассеяния примеси в турбулентной атмосфере используются две начально-граничные задачи, которые в самой общей постановке имеют вид [3]:

, (1)

, (2)

,

, (3)

, (4)

; (5)

или (1)-( 4), где вместо (5) рассматривается граница

. (6)

Здесь - функция, значения которой в каждый момент времени совпадает со средним значением концентрации примеси в связной области G, , - нижняя, - боковая, - верхняя части границы , ; , , - функции, значения которых совпадают со значениями средней скорости ветра в момент t в точке соответственно вдоль осей , , (рассматривается декартова прямоугольная система координат); - функция, характеризующая убыль примеси в момент t в точке за счет либо ее радиоактивного распада, либо за счет вступления в химические реакции с веществами, находящимися в атмосфере, и компонентами атмосферного воздуха; , - элементы матрицы коэффициентов турбулентной диффузии; - функция, моделирующая источник выбросов вещества в атмосферу (функция источника); - функция, значения которой в точке в момент времени совпадает со значениями концентрации примеси в атмосфере (функция, описывающая фоновую концентрацию); - производная по внутренней нормали : задача математический атмосфера примесь

, (7)

, ,

? внутренняя нормаль к в точке , - конечный, замкнутый конус с вершиной , который содержится в , , - функция, характеризующая гравитационное осаждение примеси на , - скорость сухого осаждения примеси на , , .

Функция источника примеси f задается в виде [3, 4]:

, (8)

где - мощность источника примеси (масса примеси, выбрасываемой в области в момент t в точке ), - дельта функция Дирака. При этом, если источник является (- момент начала действия источника):

1) точечным, сосредоточенным в точке ,

1.1) мгновенного действия, то ,

,

1.2) непрерывного действия, то

, ;

2) линейным, сосредоточенным на интервале числовой прямой, параллельной оси и пересекающей ось в точке

2.1) мгновенного действия, то

;

2.2) непрерывного действия, то

;

3) площадным, сосредоточенным на площадке S, лежащей на плоскости , и пересекающей ось в точке

3.1) мгновенного действия, то



;

3.2) непрерывного действия, то

;

4) поверхностным, сосредоточенным на поверхности тела П

4.1) мгновенного действия, то

;

4.2) непрерывного действия, то

.

Уравнение (1) можно переписать в эквивалентном виде:



, (9)

. (10)

Следует заметить, что уравнение (9) (а значит и (1)) совпадает с уравнением

, (11)

, (12)

из [6] при n=3 c точностью до знака у и : и имеют противоположные знаки (см. (7.1) из гл.1, (3.2) из гл.2, (2.12) из гл. 3, (1.1), (1.3) из гл. 5 [6]). Этот факт будет учитываться в приводимых ниже результатах исследования.

Уравнению (1) поставим в соответствие уравнение

, (13)

уравнению (9) - уравнение

, (14)

отличающиеся соответственно от (1) и (9) лишь видом функции f: вместо f задаваемой выражением (8), здесь рассматривается мощность источника примеси .

В данном параграфе исследуем следующую задачу: найти (указать) условия, при выполнении которых задачи (1)-(5). (1)-(4), (6) имеют единственное решение (под решением каждой из этих задач будем понимать обобщенное решение в смысле [2]).

Несмотря на очевидную необходимость проведения таких исследований (решению аналитическими и численными методами указанных начально-граничных задач посвящено значительное число работ, в которых изначально явно или неявно допускается, что решение рассматриваемой задачи существует и единственно), подобных исследований в этом направлении до настоящего времени не проводилось. Как правило, авторы публикаций, посвященных различным проблемам математического моделирования рассеяния примеси в атмосфере либо вообще не затрагивают этот вопрос (о существовании и единственности решения), либо без должного на то основания ссылаются на классические работы [2], [6]. Ниже можно будет убедиться: достаточно ясное и четкое освещение данного вопроса не является тривиальным и требует скрупулезного анализа результатов из [2], [6]. Исключение составляет монография [3], однако в этой работе найдены лишь достаточные условия единственности решения задач типа (9) - (5), (1) (9) - (4), (6). Вопрос о существовании их решения в [3] не затрагивался.

Далее всюду будем использовать обозначения из [2], [6].

Теорема 1. Пусть коэффициенты , , , , принадлежат классу и ограничены на , кроме того , непрерывно дифференцируемы по , в , , ограничены, удовлетворяет условию Гёльдера с показателем , непрерывна в , удовлетворяет условиям Ляпунова. Тогда задача (1) - (5) при имеет единственное решение, совпадающее с решением задачи (13), (2) ? (5).

Доказательство.

<Так как , , непрерывно дифференцируемы по в , то уравнение (1) эквивалентно уравнению (9), уравнение (13) -уравнению (14).

Рассмотрим задачу (13), (2) - (5), которая эквивалентна задаче (14), (2)- (5). При выполнении условий данной теоремы, очевидно, выполняются условия теоремы 16.2 из гл. 4 § 16 [2], а значит, решение задачи (14) (13), (2), (4), (5) существует, теоремы 5.2 из гл. 4 § 5 [2], а значит решение задачи (14) (13), (2), (4), (5) единственно и оно представимо в виде:

(15)

где - функция Грина для задачи (14) (13), (2), (4), (5) в области , т.е. удовлетворяет уравнению:

, (16)

()

и условиями:

, (18)

. (19)

Кроме того, в условиях данной теоремы выполняются а тогда



, . (20)

Из данных рассуждений, (20) и условий , следует, что если выполнены условия данной теоремы, то решение задачи (14) ((13)), (2)-( 5) существует и единственно.

Учитывая равенство (8) и используя свойства - функции Дирака [2], соотношение (15) можно переписать в эквивалентном виде:

. (21)

Снова воспользовавшись свойствами - функции, непосредственным подсчетом можно убедиться, что функция (21) удовлетворяет уравнению (9), а, следовательно, и уравнению (1). Учитывая, что является функцией Грина для задачи (13), (2)-( 5) (т.е. решением задачи (17) ? (19)), заключаем, что функция (21) удовлетворяет условиям (3), (4), (5). Значит, решение (1) ? (5) существует и единственно. >

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда задача (1) ? (5) при , имеет единственное решение.

Доказательство.

< Если выполнены условия данной теоремы, то: 1) выполнены все условия теоремы 16.1 из гл. 4 § 16 [2], а значит, решение задачи (9), (2), (4), (5) при , существует; 2) выполнены все условия теоремы 5.2 из гл. 4 § 5 [2], а значит, решение задачи (9), (2), (4), (5) при , единственно; 3) выполнены все условия теоремы 2.1 из гл. 1 § 2 [2], а значит, согласно следствию 2.1 из этой теоремы, решение задачи (9), (2), (4), (5) при , неотрицательно, т.е. выполняется условие (3).

Уравнение (9) эквивалентно уравнению (1). А тогда, согласно 1) - 3), решение задачи (1) - (5) при , существует и единственно. >

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда (1) ? (5) имеет единственное решение, совпадающее с решением (13), (2) ? (5).

Доказательство.

<Все условия теоремы 3 те же, что и условия теоремы 1.2. Обозначим через решение задачи (1) ? (5) при , через - решение этой задачи при , . Непосредственным подсчетом легко убедиться, что является решением (1) - (5). Так как , согласно теореме 1, - единственное решение задачи (1) - (5) при , согласно теореме 2, - единственное решение задачи (1) ? (5) при , , то , очевидно, будет единственным решением задачи (1) ? (5). >

Перейдем к анализу задачи (1) - (4), (6).

Рассмотрим оператор

определенный в , где имеет вид (10). Будем предполагать, что удовлетворяет следующим условиям.

а) - параболический оператор в , т. е. при всех и любого вещественного вектора выполняется условие

.



в) Коэффициенты непрерывны и для всех , и некоторого , выполнены условия:

,

,

,

.

Теорема 4. Пусть выполнены условия а), b), , непрерывно дифференцируемы по , , в , граница , непрерывна по Гёльдеру по х с показателем равномерно в , непрерывна в и равна нулю в некоторой - окрестности границы , непрерывны на . Тогда решение задачи (1) - (4), (6) существует и единственно.

Доказательство.

< По условию , , , непрерывно дифференцируемы по в . Поэтому уравнение (1) эквивалентно уравнению (9), уравнение (13) - уравнению (14).

Аналогично тому, как мы это делали при доказательстве теоремы 1, рассмотрим задачу (13), (2) - (4), (6), эквивалентную задаче (14), (2) - (4), (6).

Если выполнены условия данной теоремы, то, очевидно, выполняются условия теоремы 2 из гл. 5 § 3 [6] (случай n=3). Откуда следует, что решение задачи (14) ((13)), (2), (4), (6) существует, единственно и представимо в виде:



(22)

,

где ? непрерывная на функция, являющаяся решением интегрального уравнения (3.8), которое представимо в виде (3.10) из гл. 5 § 3 [6], dS - элемент поверхности , Г - фундаментальное решение уравнения ,

(23)

( ). (24)

Обозначим в (7) (а значит и в (6))

,

В условиях нашей теоремы выполняются (для случая n=3) все условия теоремы 2.2 из гл. 1 § 2 [2] (принцип максимума). А тогда, согласно этой теореме, удовлетворяет неравенству

, (25)

,

,

, .

Рассмотрим выражение

(26)

,

полученное из (22) путем замены в последнем слагаемом (22) на f. Из (8) и свойств - функции Дирака следует, что (26) эквивалентно в (22), т.е.

, . (27)

Из (27) вытекает, что удовлетворяет условиям (3), (4), (6), так как этим условиям в удовлетворяет .

Подставим формально (26) в (1), т.е. вычислим , , , где имеет вид (24).

Согласно (26), (24)

(28)

.



Вычислим выражение в правой части (28), упростив для этого каждое слагаемое:

(29)

,

так как по условию - фундаментальное решение уравнения , а согласно определения Г

, при , , и . (30)

, (31)

(32)

.

Равенство (32) вытекает из равенств

,



и равенства (30).

Из (28), (29), (31), (32) следует, что

.

Из (33) заключаем, что является решением уравнения (1), из (27) - что решение единственно и оно удовлетворяет условиям (3), (4), (6) (в силу того, что этим условиям удовлетворяет ). >

Разрешимость математических моделей рассеяния примеси в атмосфере, используемых в прикладных исследованиях.

Полученные результаты применяются для анализа математических моделей, часто используемых на практике.

Убедимся, что для основных начально-граничных задач, используемых в прикладных исследованиях рассеяния примеси в турбулентной атмосфере, выполняются все условия теорем 1-4 из пункта 1. В этих задачах обычно полагают, что коэффициенты и функции в задачах (1) - (5), (1) - (4), (6) имеют следующий вид [1] (для полного соответствия с обозначениями, используемыми на практике, будем считать, что , , ).

, , (34)

(этот случай означает, что ось Ох сориентирована по направлению вектора скорости ветра, а скорость ветра вдоль оси Оz изменяется по логарифмическому закону),



т.е. в матрице коэффициентов диффузии учитываются только диагональные элементы, а все элементы, не расположенные на главной диагонали, считают равными нулю; при этом , , где задается выражением (34), , , .

В качестве G часто выбирают [3] прямой круговой цилиндр высоты H с достаточно большим радиусом R основания, расположенного на подстилающей поверхности z= 0. Предполагается, что H меньше высоты так называемого пограничного слоя атмосферы [1]. Такой способ задания G удобен при аналитических (если это возможно в отдельных случаях [4]) и численных решениях рассматриваемых начально-граничных задач.

Функции задают таким образом, что выполняются условия теорем 1-4. Чаще всего полагают, что эти функции являются постоянными величинами в G.

При данном выборе , , условие (2) выполняется тождественно.

Для указанных , условия теорем 1- 4 выполняются. Поэтому используемые в прикладных исследованиях задачи вида (1) - (5), (1) - (4), (6) всегда имеют (и при том одно) решение.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. При численном решении задач (1) - (5), (1) -(4), (6) в уравнении (1) часто f заменяют на Q без должного на то обоснования. Однако, результаты численных расчетов в этом случае удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Объяснить этот факт можно следующим образом. Из доказательств теорем 1- 4 следует, что вид не зависит от выбора в уравнении (1) в качестве свободного члена f или Q (см. (15) и (21), (22) и (26), (27)). Поэтому и результаты численных расчетов (при замене f на Q в уравнении (1)) всегда будут хорошо согласованы с экспериментальными данными (если только, конечно, сама модель (1) - (5) или (1) - (4), (6) адекватно экспериментальным данным описывает изменения значений в G).

Корректность задач, описывающих рассеяние примеси в атмосфере

В работе [5] было показано, что при выполнении определенных условий задача Коши (1)-(4) так же описывает процесс рассеяния примеси в турбулентной атмосфере. В п. 1 эта задача отдельно не была рассмотрена и исследована на предмет ее разрешимости, т.к. этот результат автоматически вытекает из теоремы 12 (§7 гл. 2) и 10 (§4 гл. 2) монографии [6]. На основе этих теорем можно доказать корректность задачи (1)- (4).

Теорема 5. Пусть выполнены условия

или ,

,

, (35)

, из [5], кроме того, выполнены условия:

,

, (36)

непрерывно дифференцируемы и ограничены в и удовлетворяет при всех , и некотором условиям

,

, (37)

, ,



непрерывны соответственно в , и удовлетворяют условиям:

,

,

. (38)

Тогда задача Коши (1)- (4) является корректно поставленной.

Доказательство. < Если выполнены условия теоремы из [5], то имеет смысл постановка задачи Коши (1)-( 4) в .

Если выполнены указанные в данной теореме условия, то выполнены условия теорем 12 (§7 гл.1) и 10 (§4 гл. 2) из [6]. А тогда задача Коши (1)-(4) в разрешима. Докажем непрерывную зависимость решения задачи (1)-( 4) от изменений и . Пусть и изменились (увеличились) соответственно на и , тогда вместо (1) и (2)-( 4) имеем задачу Коши

, (39)

, , , , . (40)

Вычитая (1), (4) соответственно (39) и (40) будем иметь:

,

.



Положим (это допущение возможно, т. к. в этом случае разрешимость задачи (1)-(4) остается справедливой - см. теорему 12 (§7 гл. 1) и теорему 10 (§4 гл.2) из [6]. В этом случае (см. теорему 12 (§7 гл. 1))

,

где

? фундаментальное решение уравнения

.

Откуда, очевидно,

.

Из этого неравенства следует непрерывная зависимость от изменений и . >

В параграфе 1 были указаны условия, при выполнении которых задача (1)-( 5) является разрешимой, т. е. имеет единственное решение. Исследуем теперь эту задачу на устойчивость решения к возмущениям функций .

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 3 из п. 1. Кроме того, дополнительно выполняются условия: в каждой точке , и для любого действительного вектора

, (39)



при и для некоторого в

, где . (40)

Тогда задача (1)-( 5) является корректно поставленной (относительно параметров ).

Доказательство. < Если выполнены условия теоремы 3 из п.1, то задача (1)-(5) имеет, согласно этой теореме, единственное решение (разрешима). Покажем, что если в дополнение к этим условиям выполнены остальные условия данной теоремы, то решение будет непрерывно зависеть от ,a, следовательно устойчивым к возмущениям в . Это в свою очередь будет означать корректность поставленной задачи (1)-(5) относительно .

Согласно доказательству теоремы 1 из п.1 уравнение (1) эквивалентно уравнениям (9), (13), (14). Этот факт будем использовать в дальнейших рассуждениях. Согласно [6] (см.§3 гл. 2) имеет место неравенство:

, (41)

где определяется в [6] (см. см.§3 гл. 2, с. 60-61). Откуда

. (42)

Пусть получили (соответственно) возмущения . Обозначим через , возмущенное решение (1)-(5) или (13), (2)-(5). Имеем задачу:



, (43)

,

, (44)

. (45)

Вычтем почленно (13) из (43), (4) из (4.5.6), (44) из (45):

, (46)

, (47)

. (48)

Используя неравенство (42) применительно к задаче (46)-(48), будем иметь:

. (49)

Из (49) вытекает непрерывная зависимость значений от значений . >

В параграфе 1 были указаны условия, при выполнении которых задача (1)-(4), (6) является разрешимой (имеет единственное решение). Исследуем теперь эту задачу на устойчивость решения к возмущениям функций . Если окажется устойчивым к возмущениям этих функций, то указанная задача (1)-(4), (6) будет корректно поставленной.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда задача (1)-(4), (6) является корректно поставленной (относительно параметров ).

Доказательство. < Воспользуемся схемой доказательства, использованной при доказательстве теоремы 6 п. 3. Как отмечалось ранее уравнение (1) эквивалентно уравнениям (9), (13), (14). Согласно [6] (см. лемму 2 из §3 гл. 5) при выполнении условий данной теоремы в области справедливо неравенство

, (50)

где , зависит только от , (см. (6), уравнения (14)).

Пусть испытали соответственно возмущения ; через , , обозначим возмущенное решение (1)-(4), (6), удовлетворяющее задаче:

, (51)

, , ,

, (52)

. (53)

Вычтем почленно (13) из (51), (4) из (52), (6) из (53):

, (54)

, (55)

. (56)

Применяя неравенство (50) к решению задачи (54)-(56), будем иметь:



. (57)

Из (57), очевидно, вытекает непрерывная зависимость на значений от . Согласно теореме 4 из п. 1, в условиях данной теоремы, задача (1)-(4), (6) разрешима. Следовательно, она является корректно поставленной. >



Литература

1. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы: Монография / М. Е. Берлянд. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 392с.

2. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа: Монография /

О. А. Ладыженская, В. А. Солоников, Н. Н. Уральцева. М.: Наука, 1967. 736с.

3. Математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды: Монография / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1982. 320с.

4. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии: Монография / Е. А. Семенчин. Изд-во СККИУУ, 1993. 142с.

5. Семенчин Е. А. О граничных условиях в задаче атмосферной диффузии. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 12, вып. 3. С 635-639.

6. Уравнения с частными производными параболического типа: Монография / А. Н. Фридман. М.: Мир, 1968. 428с.

Размещено на Allbest.ru

...