Параметрические триномы со знакопеременной группой Галуа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Научный журнал КубГАУ, №76(02), 2012 года

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРИНОМЫ СО ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА

Как известно, в общем случае вычисление группы Галуа многочленов является трудоемкой работой. Для многочленов степени от 2 до 5 известны критерии, позволяющие вычислять группы Галуа. Построим параметрические триномы третей, четвертой, пятой и n-ой степеней с группами Галуа и соответственно. Также для целых покажем, как можно построить бесконечное число триномов степени , группа Галуа которых над полем изоморфна альтернативной группе Галуа .

Трином третьей степени

Для этого случая имеется ровно два вида триномов: и . Известно, что для того, чтобы группа Галуа данных полиномов была изоморфна знакопеременной группе необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия [1]:

1) данный полином должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем );

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля .

Для реализации группы надо решить диофантово уравнение:

для триномов вида и

для триномов вида .

Найдем частное решение для уравнения (1): пусть , тогда

.

Следовательно,

и .

Таким образом, трином (1) имеет следующий параметрический вид:

и его дискриминант есть квадрат: . Поэтому его группа Галуа .

Пример 1. Пусть , тогда многочлен неприводим над полем , дискриминант , поэтому группа Галуа данного многочлена над изоморфна .

Найдем частное решение для уравнения (2): пусть , , тогда

.

Следовательно,

и .

Таким образом, мы получили многочлен

,

и его дискриминант есть квадрат:

.

Поэтому его группа Галуа .

Таким образом, можно получить бесконечно много триномов с группой Галуа .

Трином четвертой степени

Для триномов четвертой степени известно, что для того, чтобы группа Галуа данного полинома была изоморфна знакопеременной группе , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия [1]:

1) данный полином должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем );

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля ;

3) резольвента , где - коэффициенты данного полинома, должна быть неприводима над основным полем .

Дискриминантом для данного многочлена является выражение вида

Сделаем так, чтобы он был квадратом в поле ; пусть (), тогда:

.

Пусть теперь , , тогда и

.

Теорема 1. Пусть многочлен

является неприводимым над полем и . Тогда группа Галуа этого многочлена над полем изоморфна , если многочлен

неприводим над полем

Доказательство. Дискриминант данного многочлена есть

,

т.е. является квадратом некоторого элемента поля . Резольвента для этого многочлена имеет вид

,

и, если она неприводима, то, согласно вышеприведенным условиям, группа Галуа .

Пример 2. Пусть тогда неприводим над , резольвента неприводима над , дискриминант многочлена . Следовательно, по теореме 1, группа Галуа этого многочлена изоморфна над полем .

Замечание. 1) Можно доказать, что если не есть квадрат рационального числа, то многочлен неприводим над

2) как показывают вычисления на Maple, многочлен до всегда является неприводимым над

Трином пятой степени

Для триномов пятой степени известно, что для того чтобы он имел группу в качестве группы Галуа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия [2]:

1) данный многочлен должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем );

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля ;

3) резольвента

,

где дискриминант многочлена не имеет корней в поле .

Дискриминантом для данного многочлена имеет вид . Сделаем так, чтобы он был квадратом в поле : пусть , (), тогда

.

Пусть теперь , (), тогда , следовательно, .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть многочлен является неприводимым над полем и . Тогда, группа Галуа этого многочлена над полем изоморфна , если многочлен неприводим над полем

Доказательство. Дискриминант данного полинома есть , т.е. является квадратом некоторого элемента поля . Многочлен имеет вид:

,

и если многочлен неприводим над полем , то по вышеприведенным условиям, группа Галуа данного полинома над полем изоморфна .

Пример 3. Пусть тогда многочлен неприводим над , многочлен неприводим над . Следовательно, по теореме 2, группа Галуа данного многочлена изоморфна .

Трином n-ой степени

Рассмотрим полином -ой степени . Для того чтобы он имел группу в качестве группы Галуа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) данный полином должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем );

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля Q;

3) резольвента не должна иметь корней в поле .

Замечание. 1) Резольвента даже для многочлена степени еще не построена;

2) для многочлена даже восьмой степени известно, что для различия всех транзитивных подгрупп группы построены три резольвенты. Чем больше степень многочлена, тем больше резольвент необходимо, чтобы различить все транзитивные подгруппы группы

Дискриминант данного полинома вычисляется по следующей формуле:

.

Найдем частное решение диофантова уравнения , т.е. имеем уравнение:

.

Пусть , , где - нечетное число. Решая диофантово уравнение (3), находим, что одним из частных решений его являются:

, ,

где - нечетное число.

Тогда данный многочлен можно записать в параметрической форме:

.

Следовательно, дискриминант данного полинома над полем есть квадрат:



для нечетных .

Теперь рассмотрим случай, когда числа - четные. Снова положим , . Решая диофантово уравнение (3), находим, что одним из частных решений его являются: трином степень уравнение многочлен

, ,

где четное число.

Тогда данный многочлен запишется в виде:

.

Вычисляя дискриминант этого тринома, получим, что он есть квадрат в поле и имеет вид:

, для четных .

Осталось показать, что резольвента не имеет корней над полем . Но, к сожалению, на данный период времени не существует утверждения для нахождения резольвенты для данного полинома. Поэтому мы пока не можем утверждать, что данный полином имеет группу в качестве группы Галуа. Мы лишь можем говорить о том, что найденная группа данного многочлена будет являться транзитивной подгруппой группы , при условии, что сам многочлен неприводим над

Таким образом, справедлива гипотеза:

Гипотеза. Группа .

Пример 4. Пусть , . Тогда многочлен неприводим над , дискриминант его является квадратом в поле и его группа Галуа является подгруппой группы , однако, как показывают вычисления на Maple, .

Пример 5. Пусть Тогда многочлен неприводим над , дискриминант его является квадратом в поле и его группа Галуа является подгруппой группы , однако, как показывают вычисления на Maple, .

Триномы степени 7

Будем рассматривать триномы следующего вида:

,

где положительные целые числа.

Теорема 3. Пусть и нечетное число, взаимно-простое с , так что 3. Также, пусть - простое, не делящее которое расщепляется в поле (), если - не квадрат натурального числа, и - другое простое число, не делящее . Тогда существуют целые числа и , удовлетворяющие условию (5):

Также существует такое натуральное число взаимно-простое с такое, что:

(т.е. () )

Далее, пусть и , где определено равенством:

.

Тогда трином сепарабелен и его группа Галуа над изоморфна знакопеременной группе [3].

Пример 6. Положим и . Тогда , , t = . Получаем трином вида:

= ++.

По теореме 3,

Теорема 4 [3]. Пусть простое число и нечетное такое, что Пусть далее простое, не делящее , рациональное целое число взаимно-простое с , - рациональное целое число взаимно-простое с , и - целое число такое, что . Тогда

, и ,

где определено равенством:

Тогда трином (где и , удовлетворяют условию (5) сепарабелен и его группа Галуа над изоморфна альтернативной группе .

Пример 7. Положим и Тогда , ,

.

Получаем трином вида

+ + .

По теореме 4,

Теорема 5 [3]. Пусть и взаимно-простое число с , причем четное и такое, что . Также, пусть простое не делящее , которое расщепляется в поле , если - не квадрат натурального числа, и другое простое число не делящее . Тогда существуют целые числа и , удовлетворяющие условию (5) и натуральное число взаимно-простое с такое, что:

(т.е. .

Далее, пусть

,

где определено равенством

.

Тогда трином сепарабелен и его группа Галуа над изоморфна альтернативной группе .

Пример 8. Пусть , . Тогда имеем: ,

.

Получаем трином вида:

++.

По теореме 5,

Используя эти теоремы можно построить бесконечно много триномов вида для 7, группа Галуа которых будет изоморфна альтернативной группе .

Cписок используемой литературы

1. Kappe L., Warren B. An elementary test for the Galois group of a quartic polynomial // Amer. Math. Monthly. - 1989. - vol. 4. - p. 133-137.

2. Постников, М.М. Теория Галуа. М.: Факториал, 2003.

3. Alain H. and Salinier S. Rational Trinomials with the Alternating Group as Galois Group, // Number Theory, 90 (2001), 113-129.

Аннотация

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРИНОМЫ СО ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА

Сергеев Александр Эдуардович

Потемкина Людмила Николаевна аспирантка

Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия

В статье построены многочлены 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней с группами Галуа и соответственно. Также строятся примеры многочленов -ой степени с группами Галуа изоморфными транзитивной подгруппе группы , но как показывают вычисления на Maple для группа Галуа этих многочленов будет изоморфна . Приводится также обзор известных результатов по нахождению многочленов с группами Галуа

Ключевые слова: ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА, РЕЗОЛЬВЕНТА МНОГОЧЛЕНА, ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА

PARAMETRIC TRINOMIALS WITH ALTERNATING GALOIS GROUPS

Sergeev Alexander Eduardovich

Potemkina Ludmila Nikolaevna postgraduate student

Kuban State University, Krasnodar, Russia

In this article, we construct polynomials of third, fourth and fifth degrees with Galois groups as and respectively. In addition, we give examples of polynomials different degrees with Galois groups isomorphic transitive subgroup of group, but calculations with help Maple show that Galois groups of this polynomials is. Also Polynomials with as Galois groups are shown

Keywords: ALTERNATING GROUP, RESOLVENT OF POLYNOMIAL, DISCRIMINANT OF POLYNOMIAL

Размещено на Allbest.ru

...