Исследование полной наблюдаемости нестационарной возмущенной динамической системы
Анализ полной наблюдаемости нестационарной возмущенной дифференциально-алгебраической системы. Метод каскадного расщепления исходных пространств на подпространства. Формула для нахождения вектора состояний системы. Связь между входной/выходной функциями.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.04.2017 |
| Размер файла | 71,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
УДК 517.518
Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Фам Туан Кыонг
аспирант
Аннотация
Статья посвящена исследованию полной наблюдаемости нестационарной возмущенной дифференциально-алгебраической системы. Применяется метод каскадного расщепления исходных пространств на подпространства. Выводится формула для нахождения вектора состояний системы. Устанавливается связь между входной и выходной функциями
Ключевые слова: НЕСТАЦИОНАРНАЯ ВОЗМУЩЕННАЯ СИСТЕМА НАБЛЮДЕНИЯ, ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ, КАСКАДНОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ
алгебраический каскадный пространство функция
Annotation
The article is devoted to the researching of complete observability of time-varying perturbed differential-algebraic system. The method of cascade splitting of the original space to the subspace is used. The formula for finding the state vector is derived. The relations between input and output functions are obtained
Keywords: TIME-VARYING PERTURBED SYSTEM, COMPLETE OBSERVABILITY, CASCADING SPLITTING
Введение
Рассматривается дифференциально-алгебраическая нестационарная возмущенная система:
, (1)
, (2)
где: ; ;; ; ; ; ; ; ; .
Вектор-функция называется вектором состояний системы, и - входной и выходной функциями, соответственно. Система (1), (2) называется полностью наблюдаемой, если состояние системы в любой момент времени определяется однозначно по реализуемым входной и выходной функциям.
Постановка задачи полной наблюдаемости динамической стационарной системы связана с именем Р. Калмана. Вопросы полной наблюдаемости различных систем изучались в работах: Н.Н. Красовского, В.М. Попова, Э.Б. Ли и Л.М. Маркуса, D'Aнжело, Ю.Н. Андреева, В.И. Гурмана, Х. Кванернаака и Р. Сивана, Ю.Е. Бояринцева, С.А. Красновой и В.А. Уткина, А.Ф. Щегловой и др., а также в работах И.К. Асмыковича и В.М. Марченко, Т.Б. Копейкиной и О.Б. Цехан, S.L. Campbell, J.D. Cobb, F.N. Koumboulis и B.G. Mertziоs, E.L. Yip и R.F. Sincovec, P.N. Paraskevopoulos и др.
Для линейных стационарных систем наблюдения, как правило, рассматривался случай регулярного пучка .
При исследовании полной наблюдаемости возмущенной системы (1), (2) будем использовать метод каскадной декомпозиции исходного пространства. От исходной системы переходим к эквивалентным системам в подпространствах. Этот метод применялся ранее для исследования полной наблюдаемости и полной управляемости различных стационарных систем [1,2], при выявлении инвариантности динамической системы относительно некоторых возмущений [3], при решении задачи управления для одной макроэкономической модели [4], а также при исследовании полной наблюдаемости нестационарной предельной системы [3].
Исследование полной наблюдаемости нестационарной предельной системы
Рассмотрим дифференциально-алгебраическую нестационарную предельную систему:
, (3)
. (4)
Матрице соответствуют разложения:
, , (5)
где - множество значений в ; - множество решений уравнения в ; - прямое дополнение к подпространству ; - прямое дополнение к подпространству . Через и обозначим проекторы на подпространства and , соответственно, а через и - проекторы на подпространства и , соответственно. - единичная матрица в соответствующем пространстве.
Сужение отображения на подпространство осуществляет взаимнооднозначное соответствие между подпространствами и , соответственно. Введем - полуобратную матрицу:
.
Уравнение (4) эквивалентно системе:
(6)
(7)
с произвольной вектор-функцией
Доказано [5], что , при условии дифференцируемости матрицы . Потребуем выполнения этого условия. Введем обозначение
В этом случае возможны три случая: 1) ; 2) ; 3) .
Рассмотрим их подробнее.
1) .Уравнение (4) имеет вид: . Функция состояния , как решение дифференциального уравнения (3), находится неединственным образом.
Система (3), (4) является ненаблюдаемой.
2)
Случай инъективной матрицы > = 0 .
Функция состояния определяется единственным образом по формуле (7) и имеет вид:
. (8)
с учетом выражения (8), уравнение (3) принимает вид:
(9)
- это соотношение «входа - выхода», которому должны удовлетворять - входная и - выходная функции. Заметим, функция необходимо дифференцируема. Таким образом, в случае инъективной матрицы система (3), (4) является полностью наблюдаемой.
3) . С учетом выражения (7) уравнение (3) принимает вид:
. (10)
Введем обозначения:
;
;
(11)
“Расщепим” уравнение (10) на уравнения в подпространствах и перейдем к системе:
, (12)
. (13)
Таким образом, от системы (3), (4) переходим к эквивалентной совокупности условий (6), (7) и редуцированной системе первого шага расщепления (12), (13). При исследовании полной наблюдаемости системы (12), (13) рассуждаем так же, как и при исследовании системы (3), (4).
Матрице соответствуют разложения:
, . (14)
Подпространства, проекторы на них и полуобратная матрица определяются так же, как для разложений (5) (с заменой индексов “0” на “1” и “1” на ”2” ). Уравнение (13) эквивалентно системе:
(15)
(16)
с произвольной вектор-функцией Потребуем дифференцируемости матрицы . В этом случае . Обозначим: .
Здесь возможны три случая: 1) ; 2) ; 3) .
Рассмотрим их подробнее.
1). Уравнение (16) имеет вид: .
Функция состояния , как решение дифференциального уравнения (15) находится неединственным образом. Система (12), (13) является ненаблюдаемой. Система (3), (4) также является ненаблюдаемой.
2) Случай инъективной матрицы >
Функция состояния определяется единственным образом по формуле (16) и имеет вид:
. (17)
С учетом выражения (17) уравнение (12) принимает вид:
(18)
- это соотношение “входа - выхода”, которому должны удовлетворять - входная и - выходная функции редуцированной системы первого шага (12), (13). Заметим, функция необходимо дифференцируема . Система (12), (13) является полностью наблюдаемой. Функция состояния предельной системы (3), (4) единственным образом “восстанавливается“ по формулам (7) и (17):
c . (19)
Подстановка выражения (19) в уравнение (3) задает соотношение “входа - выхода”, которому должны удовлетворять - входная и - выходная функции системы (3), (4):
. (20)
Заметим, функция необходимо дифференцируема .
Таким образом, в случае инъективной матрицы система (3), (4) является полностью наблюдаемой.
3) . Продолжается процесс каскадного расщепления для системы (12), (13).
Пусть предельная система (3), (4) полностью наблюдаема с инъективной матрицей .
Исследование полной наблюдаемости возмущенной системы
Уравнение (2) эквивалентно системе:
(21)
(22)
с произвольной вектор-функцией
Пусть таково, что , тогда при из (22) выражаем:
(23)
Домножим обе части уравнения (1) на матрицу и с учетом (22) и (23) получим уравнение:
. (24)
Заметим:
.
Обозначим:
и ;
и ;
(25)
Здесь ; ;
; .
“Расщепим” уравнение (24) на уравнения в подпространствах и ; с учетом обозначений (25), перейдем к системе:
, (26)
(27)
Таким образом, от системы (1), (2) переходим к эквивалентной совокупности условий (21), выражения (23) и редуцированной системе первого шага расщепления (26), (27). Матрица инъективна. Пусть таково, что , тогда, при , уравнение (27) эквивалентно системе:
, (28)
. (29)
Функция состояния единственным образом определяется по формуле (29). Система (26), (27) является полностью наблюдаемой.
Потребуем выполнения условия:
. (30)
При подстановке выражения (29) в уравнение (26) и условие (28), получаем соотношение “входа - выхода”, которому должны удовлетворять - входная и - выходная функции редуцированной системы первого шага (26), (27):
(31)
. (32)
Система (26), (27) является полностью наблюдаемой. Функция состояния исходной системы (1), (2) единственным образом “восстанавливается“ по формулам (23), (29) и имеет вид:
, с . (33)
Потребуем выполнения условия:
. (34)
При подстановке выражения (33) в уравнение (1) и условие (21) получаем соотношение «входа - выхода», которому должны удовлетворять входная и выходная функции возмущенной системы (1), (2):
=
(35)
Система (1), (2) является полностью наблюдаемой.
Справедлива
Теорема 1. При выполнении условий (30), (34), из полной наблюдаемости предельной системы (3), (4) с инъективной матрицей , следует полная наблюдаемость возмущенной системы (1), (2).
В этом случае функция состояния возмущенной системы (1), (2) определяется по формуле (33). Формулы (31), (32), (35), (36) задают соотношения «входа - выхода», которым должны необходимо удовлетворять входная и выходная функции возмущенной системы.
Список литературы
1. Раецкая Е.В. Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем: Дисс. …канд. физ.-мат. Наук. Воронеж, 2004. 145 с.
2. Zubova S.P. On polynomial solutions of the linear stationary control system/ S.P. Zubova, L.H. Trung, E.V. Raetskaya // Automation and Remote Control. 2008. T. 69. № 11. C. 1852-1858.
3. Зубова C.П. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений/ C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов. 2010. Том 15, вып 6. С. 1678-1679.
4. Драпалюк М.В. Макроэкономическая модель управления тенденциями потребления и накопления в национальном доходе / М.В. Драпалюк, Е.В. Раецкая // Моделирование систем и процессов. Воронеж: ВГЛТА. 2009. № 3-4. С. 20-22.
5. Зубова C.П. Полная наблюдаемость нестационарной дифференциально-алгебраической системы / C.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Воронежского государственного технического университета. Воронеж, 2010. Том 6. № 8. С. 82-86.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011- Численное интегрирование системы дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом
Исследование численного решения начальной задачи для системы дифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом. Условия преобразования задачи к аргументу, обеспечивающему наилучшую обусловленность соответствующей системы уравнений.
статья [1,4 M], добавлен 12.10.2010 Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010Построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами. Выражение коэффициентов интегралов через коэффициенты системы, связь последних между собой тремя соотношениями. Необходимые и достаточные условия существования у системы.
дипломная работа [480,0 K], добавлен 07.09.2009Собственные значения и вектора матрицы. Применение итерационного метода вращений Якоби для решения симметричной полной проблемы собственных значений эрмитовых матриц. Алгоритмы решения задач и их реализация на современных языках программирования.
курсовая работа [321,6 K], добавлен 15.11.2015Определение алгебраической линии на плоскости. Теорема о независимости порядка линии от выбора аффиной системы координат. Классификация алгебраической линии. Понятие алгебраической линии на плоскости и окружности как составляющих метода координат.
курсовая работа [197,3 K], добавлен 29.09.2014Показатели безотказности как показатели надежности невосстанавливаемых объектов. Классическое и геометрическое определение вероятности. Частота случайного события и "статистическое определение" вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
курсовая работа [328,1 K], добавлен 18.11.2011Основная функционально полная система логических функций. Законы алгебры логики в основной функционально полной системе и их следствия. Переместительный и распределительный законы. Закон инверсии (правило Де Моргана). Системы логических функций.
реферат [40,5 K], добавлен 17.11.2008Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.
дипломная работа [118,3 K], добавлен 07.09.2009Систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Решение системы алгебраических уравнений для финальных вероятностей состояний. Графики зависимостей. Тип системы массового обслуживания по характеру входящего потока и распределению времени обслуживания.
контрольная работа [187,7 K], добавлен 01.03.2016Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.
лекция [92,3 K], добавлен 06.03.2009Понятия "интеграл", "интегральная кривая", "общий интеграл". Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 25.02.2011Метод Форда-Беллмана для нахождения расстояния от источника до всех вершин графа. Алгоритмы поиска расстояний и отыскания кратчайших путей в графах. Блочно-диагональный вид и матрица в исследовании системы булевых функций и самодвойственной функции.
курсовая работа [192,1 K], добавлен 10.10.2011Решение системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса (посредством преобразований, не изменяющих множество решений системы), матричным (нахождением обратной матрицы). Вероятность оценки события. Определение предельных вероятностей состояний системы.
контрольная работа [69,7 K], добавлен 26.02.2012Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
реферат [54,1 K], добавлен 08.08.2009
