Составление и вычисление уравнений
Вычисление неопределенных и определенных интегралов, предела функции по правилу Лопиталя. Составление уравнения касательной к кривой. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через точки. Решение системы уравнений методами Гаусса и обратной матрицы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.04.2017 |
| Размер файла | 246,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: "Математика"
Смоленск 2016
№ 1. Вычислить предел функции по правилу Лопиталя
интеграл уравнение плоскость лопиталь
Решение:
Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ? / ?.
Для нашего примера:
Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Для нашего примера:
f'(x) = x sin3x
g'(x) = e2 * x2-ex2
Находим производные
f'(x) = 3x cos 3x+sin 3x
g'(x) = 4x e2 x2-2x ex2
Упростим выражение
Теперь новые функции f(x) и g(x) можно записать как:
f(x) = 3x cos 3x + sin 3x
g(x) = 2x (2 ex2-1) ex2
Находим производные
f'(x) = -9x sin 3x + 6 cos 3x
g'(x) = 4x2 (2ex2-1) ex2+8x2 e2 * x2+2 (2ex2-1) ex2
№ 2. Составить уравнение касательной к заданной кривой . Касательная проходит через точку M(0; -4). Найти уравнение нормали. Сделать чертеж
Решение:
Запишем уравнения касательной в общем виде:
По условию задачи x0 = 0, тогда y0 = ?
Теперь найдем производную:
следовательно:
В результате имеем:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
yk = ? + ?(x - 0)
или xk = 0
Запишем уравнения нормали в общем виде:
В результате имеем:
или yn = ?
№ 3. Вычислить производную y(x) функции
Решение:
((2x2+1)ln(x?1))'=(2x2+1)'(ln(x?1))+(2x2+1)(ln(x?1))'=
=(4x(ln(x?1))+(2x2+1)(1x?1)((2x2+1)ln(x?1))?=
=(2x2+1)'(ln(x?1))+(2x2+1)(ln(x?1))'=
Здесь:
(x-1)' = 1
Производная первого порядка:
Находим производную второго порядка:
f?(x)==
=
=
=
Ответ:
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:
(xa)' = axa-1
(uv)' = u'v + uv'
(f(g(x)))' = f(x)'Чg(x)'
№ 4. Из квадратного листа картона со стороной a вырезаются по углам одинаковые квадраты, а из остальной части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был наибольшим?
Решение: Найдем производную
Находим критические точки функции в которых они имеют максимальное значение т.е. =0,
Находим значение корней и
Очевидно, что при x=1/2a объем коробки равен 0, и равенство производной нулю в этой точке указывает на минимум функции объема (при изменении х от 0 до 1/2a)..
А x=1/6a является точкой максимума функции объема.
Ответ: сторона вырезаемого по углам квадрата должна быть равна 1/6 части стороны исходного квадрата.
№ 5. Вычислить неопределенные интегралы
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям
Воспользуемся методом замены переменной
№ 6. Вычислить определенные интегралы
Решение:
Воспользуемся методом замены переменной
Воспользуемся формулой интегрирования по частям
№ 7. Заданы точки . Найти угол при вершине A и площадь треугольника ABC
Решение.
Рассмотрим векторы и . Площадь треугольника ABC есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , есть модуль векторного произведения , а потому площадь треугольника ABC есть
Найти векторное произведение , а потом половину его модуля.
Вычислим :
Вычислим модель векторного произведения:
Найдем площадь треугольника:
SABC = 2,9581 кв. ед.
№ 8. Найти острый угол между прямыми
и .
Запишем второе управление прямой в общем виде:
Угол между денными прямые найдем по формуле:
№ 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости
Решение:
Воспользуемся уравнением плоскости
, где - координаты точки, через которую проходит плоскости;
() - координаты вектора нормали.
Так как искомая плоскость проходит через точку , что уравнение плоскости имеет вид:
Необходимо найти координаты ().
Искомая плоскость будет параллельна векторам и (вектор нормали к плоскости ), следовательно, в качестве ее вектора нормали можно взять вектор * .
*
Значит А=1; В=6; С=9
Искомое уравнение плоскости:
№ 10. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и острый угол между ними
Решение:
Угол между плоскостью и прямой вычисляется как модуль косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором-нормалью плоскости:
Зная синус угла можно найти сам угол.
Второй угол равен 180??ц.
Подставляем в формулу наши числа:
Второй угол ?156,6070
№ 11. Решить систему уравнений
методами Гаусса, обратной матрицы и по формулам Крамера
Решение:
Метод Гаусса:
Перепишем систему уравнений в матричном виде.
|
1 |
-1 |
1 |
0 |
|||
|
2 |
1 |
3 |
5 |
|||
|
-1 |
2 |
-2 |
-1 |
от 2 и 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2; -1
|
1 |
-1 |
1 |
0 |
|||
|
0 |
3 |
1 |
5 |
|||
|
0 |
1 |
-1 |
-1 |
2-ую строку делим на 3
|
1 |
-1 |
1 |
0 |
|||
|
0 |
1 |
1/3 |
5/3 |
|||
|
0 |
1 |
-1 |
-1 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -1; 1
|
1 |
0 |
4/3 |
5/3 |
|||
|
0 |
1 |
1/3 |
5/3 |
|||
|
0 |
0 |
-4/3 |
-8/3 |
3-ую строку делим на -4/3
|
1 |
0 |
4/3 |
5/3 |
|||
|
0 |
1 |
1/3 |
5/3 |
|||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 4/3; 1/3
|
1 |
0 |
0 |
-1 |
|||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
Ответ:
|
x1 = -1 |
||
|
x2 = 1 |
||
|
x3 = 2 |
Метод Крамера:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Определение длины стороны треугольника, нахождение координаты вектора в заданном трехмерном базисе, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы, вычисление предельных значений, исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 04.05.2010Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду.
контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.
контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015Поиск базисного решения для системы уравнений, составление уравнения линии, приведение его к каноническому виду и построение кривой. Собственные значения и векторы линейного преобразования. Вычисление объема тела и вероятности наступления события.
контрольная работа [221,1 K], добавлен 12.11.2012Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.
реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011Решение системы линейных уравнений с неизвестными методами Гаусса, Зейделя и простой итерации. Вычисление корня уравнения методами дихотомии, хорды и простой итерации. Нахождение приближённого значения интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2014Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013
