Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению

В современных сельскохозяйственных машинах широко применяются рабочие органы и детали, ослабленные различными внутренними и внешними концентраторами напряжений. К внутренним концентраторам, например, относятся вырезы, выступы, отверстия, резкие переходы от одного сечения к другому. К внешним - твердые тела в зоне контакта (опоры, подшипники, пальцы, втулки и т.д.). При загружении деталей в близи границ концентраторов возникают значительные местные напряжения, которые могут неблагоприятно сказаться на прочности деталей.

Проблемам определения напряжений возле внутренних и внешних концентраторов посвящена обширная область теории упругости и механики разрушения. Однако способы исследования, как правило, не связаны между собой, поэтому отыскание единого подхода в исследовании обеих проблем одними и теми же аналитическими методами остается актуальной краевой задачей механики деформируемого твердого тела.

Постановка задачи

Рассмотрим упругое тело единичной толщины произвольной формы, изображенное на рисунке 1, на которое действуют внешние нагрузки Рn и находящееся в состоянии равновесия.

Рисунок 1 - Расчетная схема плоского тела

Оси x, z проведем через центр тяжести тела. Рассмотрим произвольную точку А.

Для исследования напряженно-деформированного состояния воспользуемся уравнениями Ламе без учета массовых сил [1]:

,

где н - коэффициент Пуассона; u и w - перемещения в декартовой системе координат x, z;

, .

Известно, для решения такой задачи может быть использовано интегральное преобразование Фурье [2], а именно, решение уравнений (1) ищем в виде:

После подстановки (2) в (1) имеем систему уравнений, решение которой может быть представлено в форме

где ; An, Bn (n=1, 2) - постоянные, подлежащие определению из граничных условий.

Таким образом, перемещения u и w имеют вид:

Далее по известным формулам могут быть найдены деформации:

,

а по закону Гука - напряжения

где G - модуль сдвига.

Граничные условия

Рассмотрим произвольный элемент плоского тела, показанный на рисунке 2, с горизонтальным сечением, в котором действуют напряжения уz0, ф0. упругость краевой интегральный уравнение

Зададимся следующими граничными условиями:

1) Из условий симметрии и при отсутствии жесткого перемещения тела

;

2) , ;

3) , .

Рис. 2 Произвольное горизонтальное сечение плоского тела

Из первого граничного условия с учетом (3) получаем

A1=0; B1=kA2.

Пусть на интервале функции уz0 и ф0 непрерывны и абсолютно интегрируемы. В этом случае имеют место преобразования и соответствующие обращения Фурье

тогда из второго и третьего условия получим

,

.

После ряда преобразований выражения (3) примут вид:

,

,

где

,

,

,

,

,

.

Краевая задача

Если рассматривать уz0, ф0 в качестве местных напряжений, то, очевидно, они в основном должны зависеть от значения перемещений u и w на линии интегрирования (линии контакта тел или сопряжения частей упругого тела) и мало зависеть от высоты z0.

Для того чтобы «избавиться» от z0 устремим ее к бесконечности, при этом, считая интервал конечным и учитывая, что

, , ,

,

,

здесь u1, w1, ф1, у1z - местные перемещения и напряжения, а через l обозначено lz0 при z0>?.

Составляющие компоненты деформаций примут вид:

,

.

Внутренние интегралы, согласно [2], можно записать

,

,

где д(о-х) - дельта-функция Дирака, обладающая свойством

.

Тогда при [3]

Таким образом, выражения (4) и (5), можно переписать

,

.

Умножим уравнение (6) на i и сложим с (7):

,

,

,

, .

Выражение (8) представляет собой характеристическую часть особого (сингулярного) интегрального уравнения с постоянными коэффициентами a и b на отрезке [-l;l], решение которого сводится к краевой задаче Коши-Римана [4, 5]. В общем виде его можно представить

,

где - каноническое решение класса h; h - класс решений, ограниченных в узлах ; щ(х) - функция, удовлетворяющая условию Гёльдера; сj - узлы линии интегрирования; при ; при ; при ; q - количество неособенных узлов, в которых решение ограничено; m - число всех неособенных узлов, в которых решение неограниченно; n - количество особенных узлов; - произвольный многочлен, степени не выше ч-1; ч - индекс класса h.

Например, при наличии двух узлов на концах линии интегрирования, решение (9) примет вид:

- в случае неограниченного решения на обоих концах отрезка [-l;l]

,

где а*, b* - действительные числа, определяемые по формулам

,

,

С - произвольная постоянная;

- в случае ограниченного решения при x=-l и неограниченного при x=l

;

- в случае неограниченного решения при x=-l и ограниченного при x=l

;

- в случае ограниченного решения на обоих концах отрезка [-l;l]

,

причем в последнем случае решение существует тогда и только тогда, когда

.

Заключение

Особое интегральное уравнение (8) может быть использовано для решения краевых задач теории упругости возле различных концентраторов напряжений на каком-либо отрезке интегрирования, в качестве которого может служить как внешний контур тела, так и какая-либо линия сопряжения внутри плоского тела. После определения напряжений на границе области можно переходить к решению плоской задачи с последующей оптимизацией (обратная задача).

Литература

1. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов.- М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

2. Александров В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В.М. Александров, М.И. Чебаков. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. - 114 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. - 720 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Изд-во «Наука», 1968. - 512 с.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

Аннотация

Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению

Дородов Павел Владимирович к.т.н., доцент

ФГБОУ ВПО Ижевская государственная сельскохозяйственная академия, Ижевск, Россия

В статье представлено аналитическое решение краевой задачи для плоского упругого тела с внешними и внутренними концентраторами напряжений посредством использования одного особого сингулярного интегрального уравнения. Приведен его вывод, а также решения в общем виде и в частных случаях

Ключевые слова: концентратор напряжений, Плоское упругое тело, сопряжение, краевая задача, особое интегральное уравнение

Reduction of boundary-value problem for a plane elastic body to a singular integral equation

Dorodov Pavel Vladimirovich Cand.Tech.Sci., associate professor FSBEI HPE Izhevsk State Agricultural Academy, Izhevsk, Russia

The boundary-value problem for a plane elastic body with external and internal stress concentrators has been analytically solved in this article by means of a singular integral equation. Derivation of this equation and general and particular solutions of the equation are represented

Keywords: stress concentrator, plane elastic body, conjugation, boundary-value problem, singular integral equation

Размещено на Allbest.ru