Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат на тему:

«Проблема якобиана»

2015



ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ПРОБЛЕМА ЯКОБИАНА

1. Основные понятия

2. Формулировка проблемы якобиана

3. Методы решения проблемы якобиана

4. История гипотезы якобиана

5. Неудавшиеся доказательства гипотезы якобиана

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

Реферат посвящен одной из самых старых и знаменитых нерешенных проблем алгебры и алгебраической геометрии, проблеме якобиана, сформулированной Келлером в 1939 году.

Проблема якобиана входит в список Смейла под номером шестнадцать.

Целью данной работы является рассмотрение проблемы якобиана.

В задачи данной работы входит:

· Ознакомление с понятиями, которыми необходимо владеть для понимания проблемы якобиана.

· Формулировка гипотезы якобиана.

· Рассмотрение общего контекста гипотезы якобиана.

При написании данного реферата мы использовали статьи, написанные на русском языке или переведенные, а также англоязычные работы. К сожалению, информации о данной проблеме на русском языке недостаточно.

Все источники, которыми мы пользовались можно разделить на три группы. В первую группу входят учебники и справочные материалы, которые мы использовали для уточнения необходимых понятий. Это прежде всего Учебники Ильина и Поздняка [2,3] и Математическая энциклопедия под редакцией Виноградовой [5]. Во вторую группу входят работы, содержащие обзор публикаций, посвященных гипотезе якобиана. К этим работам относятся статья Арно ванн дер Эссена [13] и статья Басса, Конелла, Райта [9]. В третью группу входят научные работы, касающиеся гипотезы якобиана, написанные Абханкяром и Мо [8] , Вангом [16] и др.

Наш реферат состоит из введения, основной части и заключения. Во введении мы обосновываем актуальность работы, описываем структуру работы и указываем, какая использовалась литература. Основная часть нашей работы состоит из шести параграфов. В первой параграфе мы приводим основные математические понятия, связанные с якобианом и математические примеры, в которых возникает якобиан. Во втором параграфе приведены формулировки проблемы якобиана. В третьем параграфе рассмотрены метод, используемые учеными для доказательства гипотезы якобиана. В четвертом параграфе рассказано об известных частных результатах и обобщениях в решении проблемы якобиана. В шестом параграфе рассмотрено отображение дружковского и примеры с якобианом. В последнем параграфе рассмотрены неверные доказательства гипотезы якобиана. В заключение реферата делаются краткие выводы на основании всей изложенной информации.



ПРОБЛЕМА ЯКОБИАНА

1. Основные понятия

В данной главе мы дадим определения математических понятий, используемых ниже. Сначала введем понятие якобиан.

Якобиан - определитель матрицы Якоби - функциональный определитель специального вида, составленный из частных производных первого порядка.

Предположим, что функций

являются решением системы функциональных уравнений

.

Рассмотрим функций , ,…, , стоящих в левых частях этой системы и составим из частных производных этих функций следующий определитель

.

Данный определитель называется определителем Якоби или якобианом функций , ,…, по переменным и кратко обозначается символом [3].

Якобиан часто применяется при анализе неявных функций, при переходе их одной системы координат в другую, при исследовании отображений.

Рассмотрим пример перехода элемента элементарной площади

от декартовых координат к полярным

.

Матрица Якоби имеет следующий вид

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным является определитель матрицы Якоби:

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых координат к полярным будет иметь следующий вид:

Полином или многочлен n-й степени от неизвестного называется выражение вида

+

Множество всех действительных чисел обозначается буквой , множество же комплексных чисел принято обозначать буквой [4].

В заключении определим, что такое отображение и каким оно бывает.

Рассмотрим в некоторой окрестности точки функций

.

Рассматриваемые функций осуществляют отображение указанной окрестности точки на некоторое множество -мерного пространства переменных .

Полиномиальным называется отображение, заданное полиномом [3].

Инъективное отображение множества в множество - отображение ,

при котором различные элементы из имеют различные образы в . Инъективное отображение называется также взаимно однозначным отображением множества в множество , или вложением.

Сюръективное отображение множества в множество  - отображе-ние такое, что .

Биективное отображение, множества в множество  -  отображение , при котором различные элементы из имеют различные образы

Другими словами,  -  взаимно однозначное отображение на , или отображение, являющееся одновременно иньекцией и сюръекцией [5].

Мы не преследуем цель выписать все определения из учебников по математическому анализу, мы хотим лишь, чтобы в формулировке гипотезы якобиана не было непонятных или не точно определенных слов. В остальных главах также даны определения некоторых, возникающих по ходу повествования терминов.

2. Формулировка проблемы якобиана

Рассмотрим набор полиномов

` (2.1)

Предположим, что система уравнений

имеет единственное решение для любого набора ,

причём существуют такие многочлены ,

что каждое .

Предположим, что многочлены не зависят от набора свободных членов .

Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из однозначно представляется в виде многочлена от (и от ).

Система (2.1) задаёт полиномиальное отображение , при котором

(2.2)

Отображение является взаимно однозначным (или биективным). Кроме того, обратное отображение , переводящее в

также является полиномиальным.

Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2.2) квадратную матрицу размера , в которой на месте стоит частная производная . Эта матрица называется якобианом отображения .

Зададим другое полиномиальное отображение и - их композиция (произведение). Из анализа известно, что . Вычисляя определители, получаем, что .

В частности, если заданы полиномиальные отображения и , то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица  , и, следовательно, является ненулевой константой.

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение вида (2.2), причем является ненулевой константой.

Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из в виде многочлена от [1]

Запишем кратко гипотезу якобиана:

невырожденное.

Это утверждение не верно для отображений с характеристикой . Можно увидеть, что уже для , не имеет обратного отображения.

Для аналитических отображений это утверждение также является ложным, например с , , .

Посмотрим пример с полиномиальным отображением.

Пример 1

,

Существует две формулировки для проблемы якобиана. Первая называется общей. Её формулировку мы приводили выше, но сформулируем её ещё раз более кратко.

Общая гипотеза якобиана:

Пусть полиномиальное отображение. Если для любого , то отображение является биекцией и обратное отображение тоже полиномиально.

Здесь следует сделать замечание. Если , то условие эквивалентно тому, что якобиан постоянный для любого . В случае непостоянства якобиана имеется полином степени не меньше единицы, который принимает значение 0 в некоторой точке.

В случае существуют непостоянные полиномы, принимающие значения одного знака.

На основании этого замечания сформулируем гипотезу якобиана.

Пусть полиномиальное отображение. Если для любого , то отображение является биекцией и обратное отображение тоже полиномиально.

Условие эквивалентно условию , т.к. всегда есть возможность разделить определитель или полином на произвольную константу.

Двумерную проблему якобиана можно сформулировать в терминах доступных ученику младших классов: доказать, что для любых двух многочленов из таких, что якобиева матрица, составленная из их частных производных по , невырожденна, имеет место равенство . Теория о неявной функции утверждает, что в этом случае отображение, переводящее в , обратимо формально. Проблема якобиана состоит в том, чтобы доказать, что оно действительно обратимо, причем обратное отображение также полиномиально [1].

Много интересных теорем можно доказать, предположив, что гипотеза якобиана верна. Например, можно легко доказать теорему автоморфизмов плоскости [8].

Гипотезу якобиана можно рассматривать и для более сложных случаев, для трех и более переменных, но убедительных результатов для этих случаев пока нет.

Проблема якобиана понятна любому математику, в какой бы сфере он не работал. Следовательно, её изучали во многих дисциплинах, особенно в алгебре, анализе, комплексной геометрии. Опубликованы сотни работ, посвященной данной проблеме. В следующем параграфе мы сделаем обзор методов, используемых для доказательства гипотезы якобиана.

3. Методы решения проблемы якобиана

В этом параграфе мы перечислим методы, использующиеся для доказательства гипотезы якобиана.

Первым рассмотренным нами методом будет K-теория или метод стабильности, который был разработан Бассом, Коннеллом и Райтом. В этом методе согласуются коэффициенты полиномов со степенями полиномов и размерностью пространства. В конце концов, они показали, что если размерность пространства может быть сколь угодно большой, то степени многочленов должны быть ограничены до трех. Отметим, что С. Ванг показал, что гипотеза якобиана верна для квадратичных уравнений любой размерности.

Второй подход заключается в следующем. Классическая гипотеза Якобиана для степенного ряда, предполагает, что

Таким образом, мы имеем для степенного ряда. Для общего случая, если гипотеза якобиана верна то , должны быть полиномами. Чтобы доказать гипотезу якобиана, достаточно показать, что F и G-многочлены. Это метод начали разрабатывать Абхянкар и Басс.

Третий метод состоит в изучении двух кривых над полем и кривой над полем , наиболее интересны особенности этих кривых в бесконечности. Этот метод изучали и применяли Абхянкар и Мо [8].

Четвертый метод, предложенный Мейсером, сводит проблему якобиана к дифференциальным уравнениям.

Также существует метод сведения проблемы якобиана к алгебре Вейля [9].

Сейчас разрабатывается и применяется для вычислений метод квантизации [10].

В следующем параграфе мы проследим за историей доказательства гипотезы якобиана.

4. История гипотезы якобиана

Гипотеза якобиана была сформулирована немецким математиком

О.-Г. Келлером, как проблема, связанная с преобразованием Кремона. Сначала эта проблема носила имя Келлера, как первооткрывателя, затем, поскольку проблема заключается в преобразовании якобиана, ей было дано название «проблема якобиана» или «гипотеза якобиана». Келлер рассматривал отображения с целыми коэффициентами. Он проверил гипотезу в бирациональном случае.

Для гипотеза является тривиальной.

Так как и [15].

Случай, когда рассматривается подробно в конспектах лекций Абхянкара, где он рассматривает галуа случаи: является галуа над . Он также показывает, что гипотеза эквивалентна поведению кривых , которые имеют всего одну особенность на бесконечности в . Он доказывает, что они не могут иметь более двух особенностей на бесконечности. Этот результат также доказан Макар-Лимановым.

Накаи и Баба, обобщая результат Магнуса, доказывают гипотезу, в случае, когда одна из - простая или если , где - нечетное простое число. Кроме того Мо, используя характерные пары и компьютерный анализ, доказал гипотезу когда .

Райт показал, что обратима, если является произведением элементарных и диагональной матриц в . Другие подходы в случае обсуждаются в работах Витушкина, Фридмана, Разара.

Интересное обсуждение по , в котором проблема сводится к дифференциальным уравнениям, дается Мейстерсом.

Для общего случая , многие промежуточные результаты суммируются в следующие теоремы.

(1.1) теорема. Пусть поле и пусть морфизм с матрицей Якоби невырожденной. Рассмотрим следующие следствия этой теоремы.

(a) обратимо, т. е. [] = [X].

(b) бирационально, т. е. [] = (X).

(c) является инъективным.

(d) интегральное замыкание из в [X]. является разветвлённым над .

(e) [X] является конечно порожденным -модулем.

(е') F является правильным.

(f) [X] является проективным -модулем.

(g) [X] является галуа над .

Если характеристика поля char() = 0, то эти условия являются равнозначными. Тогда, мы имеем

за исключением того, что должно быть бесконечным для (c) (б).

Взаимосвязь (d) (a)и (g) (a) следует из простого подключения , для которой гипотеза при характеристике не верна (покрытие Артин-Шрайера).

Ситуацию с характеристикой прояснил Ноусиайнен.

(1.2) теорема (Ноусиайнен). Пусть поле с характеристикой p > 0 и пусть морфизм. Следующие условия эквивалентны.

(1) J(F)является невырожденной.

(2) (т.е. )

(3) мономы образуют свободный базис .

Ноусиайнен приводит следующий пример, чтобы показать, что может не быть конечно порожденным -модулем (при J(F) невырожденном), таким образом отрицая одну гипотезу Ванга.

Пример 2. Рассмотрим ,

(пишем X и Y для ). Тогда:

,

является невырожденной, . И уравнение минимальной степени от Y над : , так что Y не порожденное поле над .

Ноусиайнен также исследовал инвариантны

,

определенные для любого поля .

Гипотеза Якобиана утверждает, что , если . Если , и .

Наиболее существенным результатом теоремы (1.1) является следствие (g) (a). Оно было впервые доказано Кэмпбеллом, который также замечает ряд других эквивалентностей. Он использует метод нескольких комплексных переменных.

Как говорилось выше Абхянкар доказал это утверждение для случая . Алгебраические доказательства (g) (a) можно найти у Разара, Райта, и Ода. Райт дает алгебраическое доказательство простым подключением , а также вытекающих из этого утверждения, дифференциальных критериев для гипотезы Якобиана, обнаруженных независимо П. Ноусиайненом. Рассмотрим более подробно этот случай.

Определим производные

.

Если предположить, что получим

.

Таким образом, коммутируют в , и, следовательно, также коммутируют в . Наконец, обратим внимание, что , локально нильпотентной в .

(1.3) Предположение. Если производные локально нильпотентны (в и [х]), тогда .

Производные могут быть использованы, для того чтобы свести гипотезу Якобиана к проблеме алгебры Вейля . На это указали нам Л. Васерстейн и В. Кац. Здесь мы рассматриваем как алгебру линейных операторов над ., отождествляться с умножением на . Тогда у нас есть отношения:

Причем эти отношения определяют представление .

Неизвестно, является ли каждый эндоморфизм C-алгебры автоморфизмом. Если бы это было так, то гипотеза Якобиана была бы доказана.

Поставим перед собой такой вопрос:

Пусть для некоторых , , таких что .Следует ли из этого, что для некоторого

В настоящее время мы не знаем ответ на данный вопрос для .

Такой вопрос возник не случайно. На самом деле этот вопрос является изменением формулировки гипотезы якобиана.

Гипотеза якобиана (: Предположим, что полиномиальное отображение, производная которого в каждой точке невырождена (или эквивалентное условие . Тогда невырожденное (т.е. имеет обратное своему значению в каждой точке пространства, что справедливо и для полиномиального отображения).

Для того чтобы увидеть, что сформулированный выше вопрос действительно эквивалентен проблеме якобиана приведем следующий результат Бялински-Бируля и Розенлихта.

(1.4) Теорема (Бялински-Бируль, Розенлихт) Пусть алгебраически замкнутое поле с нулевой характеристикой. Пусть полиномиальное отображение. Если невырожденно, тогда сюръективное и невырожденное полиномиальное преобразование, т.е. является полиномиальным автоморфизмом.

Следовательно, мы видим, что гипотеза якобиана эквивалентна следующему утверждению: если для всех , тогда невырожденно или эквивалентное утверждение: если для некоторых , , тогда для некоторого [13].

Следующий пример показывает, что для некоторых отображений, доказательство теоремы 1.4 почти очевидно.

Пример 3. ,

якобиан гипотеза геометрия алгебраический

Обозначим . Рассмотрим якобиан

.

Найдем обратное отображение, вычислив его координатные функции.

,

,

.

Итак,

Заметим, что матрица Якоби отображения треугольная, , где матрица также треугольная и с нулевой главной диагональю. Линейные отображения, определяемые такими матрицами нильпотентны, в рассмотренном случае .

Отметим, наконец, следующий значимый результат.

(1.5) теорема (Ванг). Пусть K поле с характеристикой 2. Пусть имеет невырожденную матрицу Якоби J(F). Предположим, что . Тогда F является невырожденным.

Этот результат был переоткрыт С. Ода, с гораздо более простым доказательством, чем у Ванга.

Из этой теорема напрашивается один вывод, который делает Ода, что гипотеза якобиана может быть верна, для полей с характеристикой для морфизмов F с размерностью . Однако, это не может быть верным. Мы покажем ниже, что гипотеза Якобиана (для полей с любой характеристикой) верна, только для морфизмов с размерностью не больше трех [9].

(1.6) Теорема (Басс, Коннелл, Райт, Ягжев) Если гипотеза якобиана выполняется для всех и все такие, что , то гипотеза якобиана выполняется и в общем случае.

Фактически, они доказали, что достаточно доказать гипотезу якобиана для всех и для всех вида

(1) ,

где каждый либо нулевой, либо однородный со степенью три.

Позже этот результат был улучшен Дружковским:

Если гипотеза якобиана выполняется для всех и все имеют вид

(2) ,

то гипотеза якобиана выполняется в общем случае.

Что известно о гипотезе якобиана для отображений вида (1) и (2)?

В 1993 году Райт показал, что в случае гипотеза Якобиана верна для всех вида (1).

В 1994 году Хабберс для доказательства гипотезы якобиана решил большую систему полиномиальных уравнений с помощью мощного компьютера. В своей работе он показал, что гипотеза якобиана выполняется в случае для всех вида (1). Фактически он полностью классифицировал все отображения вида (1) с . Основным результатом его работы является теорема.

(1.7) теорема (Хабберс) Пусть кубическое однородное полиномиальное отображение с размерностью четыре, такое что .

Тогда существует некоторое c , имеющее одну из следующих форм:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Объединяя этот результат с результатом, полученным ранее Дружковским, он утверждает, что:

(1.8) Следствие (Хабберс) Гипотеза якобиана выполняется для всех вида (2), если [13].

Проиллюстрируем последний теоретический результат примером.

Пример 4.

Пусть ,

где многочлен степени не выше и .

Якобиан отображения есть сумма произведений многочленов, степени не выше .

Положим .

Тогда, в силу того, что , в каждой строке матрицы Якоби найдется отличный от нуля элемент, это значит, каждая координатная функция содержит член первой степени.

Еще один замечательный результат был получен Цзе Юй Тай (1995). Для того чтобы описать этот результат нам понадобится некоторая подготовка. Пусть полиномиальное отображение. Тогда рассмотрим отображение определенное как

.

Известно, что .

Из этого следует, что если и только если . Тогда инъективно, если и только если инъективно. Следовательно, если гипотеза якобиана выполняется для всех полиномиальных отображений (с действительными коэффициентами) , для всех , тогда гипотеза якобиана верна в общем случае. Таким образом, изучение проблемы якобиана не ограничивается лишь рассмотрением полиномиальных отображений , таких что . Конечно, мы можем также предположить, что , а Тогда можно записать

(3)

в виде его однородного разложения.

(1.9) Определение Полиномиальное разложение вида (3) называется положительным (отрицательным), если все его ненулевые коэффициенты положительны (отрицательны).

Сейчас мы можем рассмотреть два результата.

(1.10) теорема: Если для всех и всех положительных отображениях c , инъективно, тогда гипотеза якобиана верна для общего случая.

Ю не сумел доказать иъективности для положительных отображений, однако он пришел к следующему утверждению:

(1.11) теорема (Ю) Для всех и всех отрицательных отображений c гипотеза якобиана верна. [13].

Пинчук в 1994 году опубликовал пример отображения с положительным якобианом, которое не является биекцией. Пример Пинчука показал, что общая гипотеза якобиана не верна для , а следовательно, и для любого [14].

В настоящее время продолжается продуктивная работа над проблемой якобиана. Постоянно публикуются работы, связанные с гипотезой якобиана. Канель-Белов пытается решить данную проблему используя принципы квантовой физики [10].

Пихтильков в 2013 году опубликовал свои исследования посвященные доказательству гипотезы якобиана, где были представлены промежуточные доказательства [6].

В следующей главе мы рассотрим еще несколько примеров, а также отображение Дружковского и теоремы, связанные с ним.

5. Отображение Дружковского. Примеры.

В этой главе мы рассмотрим ещё несколько примеров, а также отображения Дружковского.

Пример 5. Рассмотрим якобиан отображения плоскости.

Пусть

, где .

Последнее равенство показывает, что отображение имеет якобиан тождественно равный единице тогда и только тогда, когда

. (5.1)

Условие (5.1) позволяет строить примеры полиномиальных отображений с якобианом равным единице. Построение сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Построим полиномиальное отображение степени 2.

Пусть .

Тогда ,

Так как многочлен из (5.2) всюду равен нулю, имеем систему уравнений:

(5.2)

В системе (5.2) пять уравнений и шесть неизвестных. Множество решений не пусто, например векторы и входят в это множество.

Заметим, что система строк

линейно зависима, так как все определители второго порядка, составленные из элементов этой системы равны нулю (2 5 уравнения из (5.2)). Поэтому существует : .

Предположим, что строка ненулевая.

Если , то и из первых двух уравнений системы (5.2) следует, что ,

следовательно, и

(5.3)

Если же , то первое уравнение дает , а второе .

Положив , находим, что , и

Так как и являются параметрами, выражения для и можно упростить, умножив на , тогда получим:

(5.4)

Заметим, что формулы (5.4) включают все рассмотренные случаи. Итак, полиномиальное отображение пространства с якобианом, равным единице, имеет вид

,

где и произвольные действительные числа.

В предыдущем примере отображение таково, что .

Возникает вопрос: возможно, все полиномиальные отображения обладают таким свойством?

Следующий пример показывает, что это не так.

Пример 6.

На следующем примере мы покажем, что если полиномиальное отображение обратимо, то обратное не обязательно является полиномиальным.

Пример 7.

, , .

Тогда обратное отображение имеет координатные функции , .

Пример 8.

В этом примере мы рассмотрим следующее утверждение:

Полиномиальное отображение степени два инъективно, если якобиан при всех [16].

Обозначим через X множество действительных или комплексных чисел.

Лемма 1. Пусть - однородный многочлен степени 2, определенный в . Тогда для произвольных и выполнено равенство

где - вектор градиента функции в точке , точка между выражениями означает скалярное произведение.

Доказательство. Многочлен есть сумма слагаемых вида

или .

Рассмотрим разности

.

(5.5),

(5.6).

Возьмем среднее арифметическое от равенств (5.5) и (5.6):

.

Следствие. Пусть - полиномиальное отображение, координатные функции которого суть однородные многочлены второй степени. Тогда для любых выполнено:

,

- производная Фреше отображения в точке , матрица линейного оператора , это матрица Якоби.

Следствие. Пусть - полиномиальное отображение, координатные функции которого суть многочлены второй степени, не обязательно однородные. Тогда для любых выполнено

.

Доказательство. Любое полиномиальное отображение второй степени представимо в виде , где - постоянное отображение, - линейный оператор, - полиномиальное отображение, чьи координатные функции являются однородными многочленами второй степени. Рассмотрим разность:

.

Так как , приходим к выводу, что

.

Теорема (Wang, 1980). Пусть - полиномиальное отображение второй степени, такое, что для любого . Тогда инъективно.

Доказательство. Пусть и . Согласно следствию 2 к лемме 1

.

Так как , линейный оператор невырожденный, поэтому правая часть в последнем равенстве отлична от нуля (в силу того, что ).

Использование формулы определителя при исследовании отображения Дружковского

Предположение. Пусть и -- квадратные матрицы одного и того же порядка . Определитель суммы матриц и равен сумме всех различных определителей порядка , которые получаются из определителя матрицы заменой некоторых столбцов матрицы соответствующими столбцами матрицы , [2].

Пример 9.

, , .

Согласно предположению

.

Сумма определителей равна

.

Пусть квадратная -матрица и . В дальнейшем будем рассматривать определители специального вида

(5.7).

Матрица этого определителя есть сумма единичной матрицы и матрицы

Определение. Пусть квадратная матрица . Главным минором порядка матрицы называется любой минор, полученный вычеркиванием строк и столбцов, с одинаковыми номерами.

Например, главные миноры порядка 1, это элементы главной диагонали, минор порядка , это определитель матрицы .

Предположение 2. Определитель из (5.7) вычисляется по формуле , где - сумма главных миноров матрицы , умноженных на произведение чисел , соответствующих строкам, полученным после вычеркивания.

Например, для , имеем:

Доказательство. Применим формулу вычисления определителя суммы матриц к матрицам и . Для этого, чтобы убедиться в том, что утверждение верно, достаточно рассмотреть случай .

Определитель есть сумма следующих определителей

Напомним определение отображений Дружковского. Пусть , линейные функционалы . Матрицу с элементами обозначим .

Положим , Отображением Дружковского называется отображение вида . В развёрнутом виде

Для доказательства гипотезы якобиана достаточно проверит, что для любого отображение Дружковского с якобианом, равным 1, инъективно (Дружковский).

Рассмотрим якобиан отображения Дружковского

Согласно предположению 2

.

Обозначим через многочлен переменных , записанный после 1 в (). Слагаемые, содержащие в качестве множителей миноры порядка образуют сумму, которую обозначим . Таким образом, -- многочлен степерни .

Предположение 3. Отображение Дружковского имеет якобиан равный 1, всюду тогда и только тогда, когда каждый из многочленов , , равен нулю тождественно.

Доказательство. Из равенства () следует, что многочлен равен нулю тождественно.

Если содержит член степени , то этот член обязательно входит и в многочлен . Так как все члены равного тождественно нулю многочлена равны нулю, заключаем, что многочлен равен нулю тождественно.

Следствие. Если равен 1, то матрица имеет определитель равный нулю.

Доказательство. Многочлен равен нулю тождественно, следовательно, среди функционалов есть нулевой или . То есть, отсутствие нулевых функционалов влечет равенство . Если же один из является нулевым, то также .

Теорема 2. Отображение Дружковского, с якобианом, равным 1 принимает значение 0 только при .

Доказательство. Рассмотрим координатную функцию с номером отображения Дружковского.

.

Тогда

,

Где -- квадратная матрица:

Покажем, что определитель матрицы равен 1. Те же соображения, что и при рассмотрении якобиана Дружковского (см. 9), приводят к равенству

Используя принятые обозначения, имеем

.

Согласно предположению (3) все многочлены тождественно равны 0, следовательно .

Предположим, что при некотором выполнено равенство . В матричной форме это запишется так

.

Так как вектор является ненулевым решением однородной системы (10), приходим выводу, что . Это противоречит тому, что . Таким образом, сделанное предположение ложно.

Теорема доказана.

Рассмотрим отображение Дружковского при

Преобразуем выражение для разности .

,

.

Обозначим . Тогда

.

Подобным образом доказываются равенства

.

.

Определим матрицу

.

Выражение разности в матричной форме примет вид

(12)

Лемма 2.

Если отображение Дружковского ) имеет якобиан тождественно равный нулю, то при всех и истинны следующие равенства.

,

,

.

Доказательство.

Доказательство первого равенства.

Заметим, что

Согласно предположению (). Кроме того, суммы в первой и второй скобках, также по предположению (),. Равны нулю, следовательно

(13)

При любых и .

Рассмотрим многочлен .

Суммы в первой, второй и третьей скобке равны нулю при любых и

Первое равенство доказано.

Доказательство второго равенства.

Рассмотрим сначала многочлен . Для сокращения записей определители, присутствующие в его представлении (см. 9) будем обозначать , и . Итак,

Обозначим ,

,

,

,

,

,

.

Вычисления показывают, что

И

По лемме 1 и , поэтому

(14)

И

(15)

Вычислим многочлен

Из равенства (15) следует , получаем равенство

Таким образом, задача свелась к доказательству равенства нулю при всех многочлена .

Теперь воспользуемся тем, что функционалы линейно зависимы.

Ранг равен 1. Пусть , . В этом случае

.

Следовательно

(16)

Тогда

С учетом (16), заключаем, что при всех .

Ранг равен 2. Для упрощения записей переобозначим , , тогда , В новых обозначениях

.

Так как переменные и независимы, последнее равенство означает, что

(17)

Перейдем к вычисленю многочлена

Учитывая (17), получим .

Третье равенство следует из того, что определитель матрицы

Лемма доказана.

Теорема 3. Если отображение Дружковского имеет якобиан равный единице всюду в , то инъективно.

Доказательсьво.

Пусть для любого . Тогда по лемме 2 многочлены

, для любых .

Пусть . Согласно (12)

,

где

По формуле определителя для суммы матриц

для любых , следовательно Таким образом, если , то и , то есть отображение инъективно.

6. Неудавшиеся доказательства гипотезы якобиана

Закончим мы наш исторический обзор перечислением неудачных доказательств гипотезы якобиана. Несмотря на то, что автором не удалось решить проблему якобиана, их работы были значимы для развития данной проблемы и математической теории в целом. Кроме того доказать, что эти работы неверны было довольно трудно.

У. Энгель в 1955 году утверждал, что доказал случай, когда . Витушкин в 1975 указал на две существенные ошибки в аргументах Энгеля.

Б. Сегре опубликовал три неполных доказательств гипотезы якобиана. Первая публикация вышла в 1956 году. Во второй своей работе Сегре сформулировал и доказал Лемму: Если и в C[T] непостоянны по T и генерируют полиномиальную алгебру C[T], тогда ни одна из степеней deg(f) и deg(g) не делит другую.

Каналс и Льюис позже указали на ошибки в доказательстве леммы и опубликовали исправления.

Фундаментальная работа Абхянкара и Мо, вложение линии в плоскость, называет Лемму Сегре его «основной теоремой». В этой публикации показано, что не только лемма Сегре не верна, но исправления Каналса и Льюиса ошибочны. Но в этой работе нет упоминания о том, что Сегре пытался доказать гипотезу якобиана на основании своей леммы, и Абхянкар и Мо воспользовались его наработками для корректного доказательства гипотезы якобиана.

В 1960 году Сегре предложил третье доказательство гипотезы Якобиана выраженное в топологических терминах. Он полагал, что возможно найти чисто алгебраическое доказательство гипотезы Якобиана.

Гребнёр выступил доказательством гипотезы якобиана в 1961 году. Но рецензент статьи Барзотти указал на ошибку в вычислениях.

В 1967 году Шафаревио также опубликовал работу с неудачным доказательством гипотезы Якоби.

С. Ода предпринял попытку доказать гипотезу Якоби. При написании своей работы он опирался на заведомо ложные леммы, которые он цитировал из Кайра, что привело его к неверным результатам [8].

В 2004 году появилось сообщение о том, что Каролина Дин решила проблему якобиана, но уже через неделю автор сама нашла ошибку в своей работе [6].



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе мы постарались дать полный обзор имеющихся результатов связанных с гипотезой якобиана.

Мы рассматривали следующую ситуацию. Пусть или и полиномиальное отображение, то есть, каждая из координатных функций является полиномом переменных .

- матрица Якоби,

- якобиан.

Сформулируем Общую гипотезу якобиана: Пусть полиномиальное отображение. Если для любого , то отображение является биекцией и обратное отображение тоже полиномиально.

Здесь следует сделать замечание. Если , то условие эквивалентно тому, что якобиан постоянный для любого . В случае непостоянства якобиана имеется полином степени не меньше единицы, который принимает значение 0 в некоторой точке.

В случае существуют непостоянные полиномы, принимающие значения одного знака.

На основании этого замечания сформулируем гипотезу якобиана.

Пусть полиномиальное отображение. Если для любого , то отображение является биекцией и обратное отображение тоже полиномиально.

Условие эквивалентно условию , т.к. всегда есть возможность разделить определитель или полином на произвольную константу.

Гипотеза якобиана была выдвинута в 1939 году немецким математиком О.-Г. Келлером для полиномиальных отображений в с целыми действительными коэффициентами.

Доказательство этой гипотезы стало популярным занятием среди математиков в 50 годы 20 века. Было сделано много ошибочных доказательств. Стойкость гипотезы привела к открытию новых свойств полиномиальных и других отображений. До сегодняшнего дня она в общем случае не доказана.

Гипотеза якобиана находится в списке проблем Смейла под номером шестнадцать.

Здесь мы приведем краткий список достигнутых результатов в изучении проблемы якобиана:

-1962 A. Bialynicki-Birula, M. Rosenlicht

Если инъективно, то сюръективно.

-1980 г. S Wang

Если координатные функции отображения полиномы степени 2 и , то f биекция.

-1980 г. А.В. Ягжев; 1982 г. H. Bass, E. Connel, D. Wright

Если для любого 3 гипотеза верна для отображений вида

, координатные функции являются однородными многочленами третьей степени, то она верна и в общем случае

-1983 L. M. Druzkowski

Если для любого 3 гипотеза верна для отображений вида

, координатные функции , где , то она верна и в общем случае

-1994 С. И. Пинчук опубликовал пример отображения с положительным якобианом, которое не является биекцией.

Пример С. И. Пинчука показал, что общая гипотеза якобиана не верна для 2, а следовательно и для любого .

-1995 Jie-Tai Yu

Для всех и всех отрицательных отображений c гипотеза якобиана верна.

-1994 E. Hubbers

Гипотеза якобиана выполняется для всех вида , координатные функции , где , если .

Наконец, перечислим методы, использующиеся для доказательства гипотезы якобиана.

· K-теория или метод стабильности, была разработана Бассом, Коннеллом и Райтом.

· Сведение классической гипотезы Якобиана к степенному ряду.

· Метод нескольких комплексных переменных (Кэмпбелл).

· Изучение двух кривых над полем и кривой над полем (Аюхянкар, Мо).

· Сведение проблемы якобиана к дифференциальным уравнениям (Мейсер).

· Метод сведения проблемы якобиана к алгебре Вейля (Васерстейн, Кац).

· Метод квантизации (Белов, Концевич).



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110 - 113.

2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М, Наука, Физматлит, 1999.

3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть 1: Учеб.: Для вузов. - 7-е изд. - М.: Физматлит, 2005.

4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. -- М., 1968.

5. Математическая энциклопедия / ред. И.М Виноградова, М.: Советская энциклопедия, 1977-1985. Т 2.

6. Пихтильков С.А. О гипотезе Якобиана // Чебышевский сборник Том 14, выпуск 3 (2013), с 92-99.

7. Проблема якобиана решена для двух переменных [Электронный ресурс] //Живой журнал адрес доступа http://ru-math.livejournal.com/184784.html.

8. Abhyankar S.S. and Moh T.T., Embeddings of the line in the plane, J. Reine

Angew. Math. 276 (1975), 148-166.

9. Bass H., Connell E.H., Wright D. The Jacobian Conjecture // Bull. Amer. Math. Soc., 1982, vol. 7, № 2, с. 287-330.

10. Belov-Kanel A., Kontsevich M., The Jacobian Conjecture is stably equivalent to the Dixmier Conjecture [Электронный ресурс]: http://arxiv.org/abs/math/0512171.

11. Bialynicki-Birula A., Rosenlicht M., Injective morphisms of real algebraic varieties, Proceedings of the American Mathematical Society 13 (1962), 200I,I203.

12. Druzkowski L.M., An effective approach to Kellers Jacobian Conjecture, Math. Ann. 264 (1983) 303I,I313.

13. Essen A. Polynomial Automorphisms and the Jacobian

Conjecture \\ progress of Mathematics. Basel: Birkhauser Verlag. 2000 Vol. 190.

14. Pinchuk S.A counterexample to real Jacobian Conjecture // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 1997. Vol. 55, №4. P.283-290.

15. Jagzev A.V. On Keller's problem, Siberian Math. J.21 (1980), 141-150.

16. Wang S.S.-S.A Jacobian criterion for separability, J.of Algebra 65 (1980).

Размещено на Allbest.ru

...