О распределении значений сумм характеров абелевых групп и коротких показательных сумм

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

В настоящей работе мы продолжаем исследования, начатые в [1-14]. В [15] была доказана теорема о распределении абсолютных значений сумм характеров абелевых групп, а в [16] получено распределение значений короткой показательной рациональной тригонометрической суммы. Возникают вопросы об оценке скорости сходимости к предельному распределению. Данная статья посвящена ответу на эти вопросы.

Рассмотрим бесконечную последовательность конечных абелевых групп , таких что где -- количество примарных циклических подгрупп в разложении группы и величину вида где суммирование ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы , а -- характер абелевой группы . Обозначим через порядок группы .

Пусть -- моменты рассматриваемой случайной величины. Докажем справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть -- величина определенная выше Тогда для имеет место асимптотическая формула

абелевый группа сумма распределение

где .

Доказательство. Вычислим момент порядка случайной величины для каждого :

Имеет место равенство

Тогда

Найдем количество решений уравнения В силу однозначности разложения на примарные сомножители набор чисел является перестановкой . Если -- различные, то таких наборов будет ровно , а число решений уравнения равно .

Если среди чисел есть хотя бы два одинаковых, то число таких наборов не превосходит . Соответственно, число решений уравнения среди таких наборов не превосходит .

Пусть теперь . Обозначим

Поделив это равенство на и прологарифмировав его, получаем

Так как верно неравенство то и, считая, что , заключаем

Поскольку то с учетом полученного выше неравенства имеем

Из последнего неравенства следует

А с учетом того, что , получаем неравенство

Таким образом, для верна формула

где . Теорема доказана.

Заметим, что при верно, что

где .

Оценим меру больших значений суммы , где суммирование, как и прежде, ведется по образующим примарных циклических подгрупп в разложении группы . Здесь и -- количество для которых выполняется неравенство в скобках.

Теорема 2. Для меры больших значений суммы верно неравенство

Доказательство. Очевидно, что при будет верно, что . Поэтому можно считать, что . Рассмотрим . Тогда

Пусть . Воспользовавшись тривиальной оценкой , получим

откуда следует, что

Для верны неравенства .

С учетом данных неравенств получаем:

Если , то воспользуемся тривиальной оценкой . Так как при таких оценка верна, то теорема доказана.

Справедлива следующая теорема о скорости сходимости распределения рассматриваемой случайной величины.

Теорема 3. Пусть -- величина определенная выше Тогда найдется такое что для любого справедливо равенство

где -- функция распределения величины и

Доказательство. Согласно доказанному выше, при верно

Положим Очевидно, что . Таким образом, применив следствие 1 теоремы 1 ([17, 20]), получим утверждение теоремы.

Докажем справедливость следующей теоремы о дробных моментах.

Теорема 4. Пусть -- величина определенная выше Тогда найдется такое что для любого и справедливо равенство

где -- гамма-функция Эйлера, и

Где

Доказательство. Воспользуемся тем, что при верно равенство

где .

Положим . Поскольку

то можно применить теорему 1 из [18, 20].

В нашем случае , и , откуда получаем требуемое утверждение.

Далее рассмотрим сумму вида и нормированную случайную величину , где -- простое, , -- первообразный корень по модулю , -- натуральные числа, . Также и .

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема

Теорема 5. Пусть -- последовательность натуральных чисел такая что -- фиксированное натуральное число, -- растущее натуральное число -- натуральное число, для которого верно неравенство -- количество решений диофантова уравнения

в целых числах Тогда при

где .

Доказательство теоремы см. в [19] (стр. 19).

Далее, как и прежде, -- моменты рассматриваемой случайной величины. Верна следующая теорема.

Теорема 6. Пусть -- величина определенная выше. Тогда существует такое , что для всех и для имеет место асимптотическая формула

где .

Доказательство. Вычислим момент порядка случайной величины для каждого . При этом будем следовать доказательству из [16].

Поскольку пробегает приведенную систему вычетов по модулю , а -- первообразный корень, то тоже пробегает приведенную систему вычетов по модулю

Имеет место следующее равенство:

Поэтому

где -- количество решений сравнения

а

Поскольку вместо сравнения

можно рассмотреть равенство

Применим теорему 5. В нашем случае , соответственно, , , . Все условия теоремы 5 выполняются, а значит при и имеем

где .

Тогда и

Положим . Так как , то и, таким образом, для

Тогда существует такое , что для всех и можно записать

Теорема доказана.

Оценим меру больших значений суммы . Здесь где -- количество для которых выполняется неравенство в скобках.

Теорема 7. Для меры больших значений суммы верно неравенство

Доказательство. Очевидно, что при будет верно, что . Поэтому можно считать, что . Рассмотрим . Тогда

В ходе доказательства теоремы 6 было получено, что

где -- количество решений уравнения

В [19, стр. 17] было показано, что уравнение такого типа имеет не более решений, где . Так как , то и, таким образом, верна оценка

откуда получаем, что

Для верны неравенства .

С учетом данных неравенств получаем:

Если , то воспользуемся тривиальной оценкой . Так как при таких оценка верна, то теорема доказана.

Для дальнейших рассуждений положим . Для верны неравенства

Существует такое , что для всех верно неравенство . Таким образом, с учетом теоремы 6, при , где и при имеет место следующее выражение:

где .

Справедлива следующая теорема о скорости сходимости распределения рассматриваемой случайной величины.

Теорема 8. Пусть -- величина определенная выше, где Тогда найдется такое что для любого справедливо равенство

где -- функция распределен

ия величины и

Доказательство. Согласно доказанному выше, при верно

Пусть . Поскольку , то можно воспользоваться следствием 1 теоремы 1 из [17, 20], из которого следует требуемая теорема.

Теорема 9. Пусть -- величина определенная выше, где Тогда найдется такое что для любого и справедливо равенство

где -- гамма-функция Эйлера, и

Где

Доказательство. Воспользуемся тем, что при и при верно равенство

где

Положим . Поскольку

то можно применить теорему 1 из [18, 20].

В нашем случае , и , откуда получаем требуемое утверждение.

Литература

1. Бояринов Р.Н., Чубариков В.Н. О распределении значений функций на последовательности Фибоначчи// ДАН. 2001. Т.379. № 1. С. 9-11.

2. Бояринов Р.Н. Центральная предельная теорема для равномерного распределения дробных долей быстрорастущих последовательностей// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2001. № 5. С. 52-54.

3. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О новых метрических теоремах в методе А. Г. Постникова// Актуальные проблемы теории чисел: Труды IV Межд. Конф.; Тульский государственный педагогический университет. Тула. 2002. С. 5-31.

4. Бояринов Р.Н. О распределении значений сумм, связанных с быстрорастущими последовательностями// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2003. № 2. С. 57-58.

5. Boyarinov R.N., Chubarikov V.N., Ngongo I.S. Asymptotic formulas for fractional moments of special sums// Чебышевский сборник , т. 4, вып. 4. 2003. С.173-183.

6. Бояринов Р.Н. О распределении значений аналога дзетовой суммы// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2004. № 3. С. 55-56.

7. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению// Чебышевский сборник , т. 6, вып. 1. 2005. С.50-57.

8. Бояринов Р.Н. Аргумент дзета-функции Римана// Чебышевский сборник, т. 11, вып. 1. 2010. С. 54-67.

9. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости к предельному распределению// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2011. № 2. С. 20-27.

10. Бояринов Р.Н. Вероятностные методы в теории аргумента дзета-функции Римана// Теория вероятностей и ее применения, Т.56. № 2. 2011. С. 209-223.

11. Бояринов Р.Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы// Дискр. матем. Т.4, № 1. 2012. С. 26-29.

12. Тимергалиев И.С. О распределении значений сумм Клостермана// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2013. № 5. С. 37-41.

13. Тимергалиев И.С., Бояринов Р.Н. О распределении абсолютных значений тригонометрической суммы на коротких интервалах// Чебышевский сборник т.14, вып 2. 2013. С. 154-163

14. Тимергалиев И.С., Бояринов Р.Н. О распределении значений неполных сумм Гаусса// Чебышевский сборник Т.14, вып 3. 2013 С.132-138

15. Бояринов Р.Н., Нгонго И.С., Чубариков В.Н. О моделировании случайных величин на последовательности конечных абелевых групп// Вестник МГУ. Сер.1, мат. мех. 2004. № 2. С. 69-71.

16. Нгонго И.С. О распределении значений коротких сумм: Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2002, 82 с.

17. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости распределений случайных величин// ДАН.2010. Т.435. № 3. С. 295-297.

18. Бояринов Р.Н. О дробных моментах случайных величин// ДАН.2011. Т.436. № 3. С. 299-301.

19. Бояринов Р. Н. О распределении значений сумм арифметических функций: дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2002, 84 с.

20. Бояринов Р. Н. Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана: дисс. доктора физ.-мат. наук. М., 2012, 277 с.

Размещено на Allbest.ru