Нахождение высших асимптотических разложений краевой задачи модели ЗОМ
Асимптотическое решение краевой задачи, моделирующей перенос ионов соли в камере обессоливания электродиализного аппарата. Условие разрешимости следующего приближения в области пространственного заряда для однозначной разрешимости текущего приближения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.05.2017 |
| Размер файла | 576,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
16
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
16
http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/35.pdf
Нахождение высших асимптотических разложений краевой задачи модели ЗОМ
Коваленко Анна Владимировна,
к. э. н., доцент кафедры прикладной математики
Уртенов Махамет Хусеевич,
д. ф. - м. н., профессор кафедры прикладной математики
Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
Хромых Анна Алексеевна,
преподаватель кафедры информатики и математики
Краснодарский университет МВД России, Краснодар, Россия
Чубырь Наталья Олеговна,
к. ф-м. н., старший преподаватель кафедры прикладной математики
Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия
В работе предлагается асимптотическое решение краевой задачи, моделирующей перенос ионов соли в камере обессоливания электродиализного аппарата. Для этого область камеры обессоливания разбивается на две подобласти: электронейтральности и пространственного заряда, в каждой из которых, асимптотическое разложение имеет свой вид. В области пространственного заряда для однозначной разрешимости текущего приближения используется условие разрешимости следующего приближения
Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, БИНАРНЫЙ ЭЛЕКТРОЛИТ, СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ НЕРНСТА-ПланКА-ПУАССОНА, ФУНКЦИЯ ХЭВИСАЙДА, ОБЛАСТЬ ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТИ, ОБЛАСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 13-08-96519-p_юг_а, 13-08-96525-р_юг_а и № 13-08-00464 А.
Введение
Электродиализ - это процесс опреснения воды с использованием ионообменных мембран под действием электрического тока, является достаточно развитой технологией и широко применяется уже в течение более 60 лет. Новые идеи из других областей знаний, а именно, из микро - и нанофлюидики, позволяют предложить новые концепции электромембранных устройства для опреснения воды, использующие обширный пространственный заряд в качестве барьера для переноса ионов. В связи с этим существует значительная потребность как в фундаментальных, а так же в прикладных научных исследований в целях совершенствования этих процессов. Электродиализный аппарат имеет периодическую структуру, состоящую из чередующих камер обессоливания и концентрирования, а также двух электродных камер. Изменение концентрации в камере концентрирования можно учесть в граничных условиях. Таким образом, основной задачей является моделирование переноса в камере обессоливания. Пусть - соответствует условной межфазной границе анионообменная мембрана/раствор, - соответствует условной межфазной границе катионообменная мембрана/раствор, - входу, а - выходу из камеры обессоливания, - заданная скорость прокачивания раствора.
Для математического моделирования явлений переноса для бинарного электролита в таких условиях, как правило, используется краевая задача для системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона, которая достаточно сложна для аналитического и численного решения. Нами в работе [1] из системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона была выведена упрощенная модельная задача ЗОМ (обобщенный закон Ома) и показано, что она достаточна адекватна. В данной работе предлагается асимптотическое решение соответствующей краевой задачи.
асимптоматическое решение приближение разрешимость
1. Постановка задачи
Модельная задача ЗОМ имеет безразмерный вид [1,2]:
, (1)
, (2)
, (3)
где - искомая напряженность, , - концентрации катионов и анионов, - обобщенная общая "концентрация", - плотность тока, - функция тока для плотности тока , т.е. , , - безразмерный малый параметр, равный удвоенному квадрату отношения Дебаевской длины к ширине канала, , - число Пекле, - заданная скорость протока электролита в камере обессоливания, - длина канала, - кососимметрическое скалярное произведение.
Краевые условия имеют вид:
, , , , (4)
, , , , (5)
, , (6)
где функции , , , , , , , считаются известными, - ток в цепи. Выбор конкретных функции зависит от целей физико-химического исследования, здесь мы рассматриваем общий случай.
Из физического смысла функции следует, что в допредельном режиме при . В предельном случае при и . В запредельном режиме она меняет свой знак дважды, т.е. , что
Нами показано, что из этого следует, что функция имеет три области знакопостоянства, причем область , где она положительно является областью электронейтральности, а отрицательно - пространственного заряда (см. рис.1).
Рис. 1. Области знакопостоянства функции .
В соответствии с этим для нахождения функций , и нами предлагается асимптотический метод, имеющий ряд особенностей:
1) Исходная область (камера обессоливания) разбивается на подобласти: электронейтральности, пространственного заряда и промежуточных слоев, в каждой из которых, асимптотическое разложение имеет свой вид.
2) В области пространственного заряда, состоящей, в свою очередь, из двух подобластей, примыкающих к ионообменным мембранам, для однозначной разрешимости текущего приближения используется условие разрешимости следующего приближения.
3) Промежуточные слои служат для сращивания решений из областей электронейтральности и пространственного заряда.
2. Асимптотическое решение в области электронейтральности
2.1 Асимптотическое разложение
Для асимптотического решения в области положительности функции используем следующие разложения:
,
, (7)
.
Ниже приведены первые два приближения и показан алгоритм их решения. Уравнения произвольного приближения выписываются и решаются аналогично, и здесь не приводятся из их громоздкости.
2.2 Алгоритм решения начального и первого приближения
Для начального приближения получается следующая система уравнений:
, ,
Эта система уравнений может быть получена из исходной системы уравнений (1), (2), (3), если формально положить , что соответствует выполнению условия электронейтральности [1].
Таким образом, можно считать область, где областью электронейтральности, и соответственно, область где - областью пространственного заряда.
После ряда преобразований получаем:
(8)
(9)
(10)
Вначале находится решение уравнения (8), затем (10) и (9). Для приближения первого порядка получаем систему уравнений (11-13)
(11)
(12)
(13)
Для решения этой системы выразим из уравнения (12) через :
(14)
Подставим (14) в (13), тогда:
(15)
Система уравнений (11), (14), (15) решается последовательно, - сначала решается уравнение (11), затем (15) и (14).
3. Асимптотическое решение в области пространственного заряда
3.1 Асимптотическое разложение
Сделаем замену: , и используем в области отрицательности функции для асимптотического решения следующие разложения:
, , (16)
,
Здесь, также как и выше, мы ограничиваемся нахождением решения первых двух приближений.
3.2 Алгоритм решения начального и первого приближения
Система уравнений для начального приближения имеет вид
(17)
(18)
(19)
Система уравнений для первого приближения имеет вид
(20)
(21)
(22)
Ниже будет показано, что нам для решения приближения первого порядка потребуется система уравнений для второго приближения для , которая имеет вид:
(23)
Из (18) следует (24). поскольку решение не является физически корректным. С учетом (24) уравнения (17) и (19) преобразуются к (25).
, (24)
(25)
(26)
Уравнение (24) не позволяет однозначно находить . В то же время уравнение (21) для с учетом (24) запишется в виде:
или (27)
(28)
Введем в рассмотрение матрицу (29), тогда система уравнений (28) запишется в (30).
(29)
(30)
Определитель матрицы равен нулю (). Условие разрешимости системы (30) имеет вид:
. (31)
Это уравнение совместно с уравнением (24) позволяет однозначно определить через :
(32)
Рассмотрим теперь уравнение (34). В этом уравнении нужно заменить выражение , для этого воспользуемся равенством (27).
Умножим его скалярно на , тогда получим равенство:
.
Откуда следует
или с учетом (32) получаем:
(33)
С учетом (32) и (33) уравнение для запишется в виде:
или (34)
(35)
Уравнение (35) при является уравнением параболического типа, при - уравнением гиперболического типа, при - уравнением эллиптического типа.
Теперь система уравнений для начального приближения может быть решена последовательно: сначала решается уравнение (25), затем (35), а вычисляется по формуле (32).
Найдем первое приближение, для этого рассмотрим систему уравнений (27). Уравнение (27) не позволяет однозначно находить .
Найдем условие разрешимости из следующего приближения (23), которое с учетом условия (24) можно записать в виде:
(36)
С учетом (29), получаем (37), где (38) - условие разрешимости (37).
(37)
, (38)
Причем (38) после некоторых преобразований может быть записана в виде:
. Это уравнение совместно с уравнением (27) позволяет однозначно определить через :
, где, (39)
(40) Уравнение (22) с учетом (24), (33) запишется в виде:
(41)
В этом уравнении нужно заменить выражение , для этого воспользуемся равенством (36).
Умножим его скалярно на , тогда получим равенство:
или
С учетом формулы (33), имеем
(42)
Подставим полученное равенство в (41), тогда
С учетом (39), (40), получим (43).
или (43)
, где (44)
,
, , .
(45)
Уравнение для с учетом (24) примет вид (45).
Таким образом, для нахождения первого приближения необходимо решить систему уравнений (45), (39), (44). Причем, тип уравнения (47) аналогичен типу уравнения (35).
4. Промежуточные слои
Из асимптотических решений, приведенных выше, следует, что они не могут быть справедливыми в окрестности , т.е. в некоторых областях (промежуточных слоях): , причем , при . Для построения асимптотического разложения в этих областях воспользуемся малостью функции , тогда для нулевого приближения получим систему уравнений:
(46)
(47)
Из уравнения (46) следует, что , где (48)
Таким образом, формула (48) примет вид: (49)
Уравнение (47) с учетом (48) после ряда преобразований приводится к (50)
(50)
Полученное уравнение при является квазилинейным уравнением параболического типа, а при - эллиптического типа. Из условия сращивания решений из области электронейтральности и промежуточного слоя, а также из области пространственного заряда и промежуточного слоя следует, что , где некоторые постоянные.
5. Вычисление граничных условий
Подставляя асимптотические разложения в области пространственного заряда (16) в краевые условия (4), (5), (6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем краевые условия для уравнений первого приближения:
, , , , (51)
, , , , (52)
, , (53)
Для следующих приближений получает однородные граничные условия.
6. Алгоритм численного решения начального приближения
Используя, предложенное выше асимптотического решение для численного решения краевой задачи (1) - (6) предлагается следующий алгоритм.
1. Объединяя уравнения для функции в области электронейтральности, промежуточного слоя и области пространственного заряда, получаем, что эта функция удовлетворяет уравнению:
, или ,
где функция Хэвисайда [4]. Уравнение для функции не зависит от неизвестных функций и . Решая это уравнение вместе с краевыми условиями (51) и (53) однозначно определяем функцию . Для численного решения использовалась неявная разностная схема.
2. Для численного нахождения функции , вводится в рассмотрение дифференциальный оператор , который определяется следующим образом:
Решая уравнение: , вместе с краевыми условиями (52), (53) однозначно находим функцию . Для численного решения этой краевой задачи использовались метод установления и явная разностная схема.
3. Плотность тока находится по формуле .
4. Напряженность электрического поля вычисляем по формуле:
(54)
5. Для нахождения концентраций и решаем систему алгебраических уравнений, состоящую из уравнения обобщенной общей "концентрации" и уравнения Пуассона [1] и получаем:
На основе данного алгоритма численного решение был разработан комплекс программ [5] для численного анализа краевой задачи (1) - (6).
На рис. 2 приведены графики решений краевой задачи для функции обобщенной концентрации и плотности тока .
а)
б)
Рис. 2. Графики решений краевой задачи: а) , б) при некотором .
Заключение
1. Численное решение исходной краевой задачи (1) - (6) при значениях малого параметра меньше встречает большие сложности, поскольку она относится к классу жестких задач. В то же время реально меняется в пределах от до . Предлагаемый выше алгоритм численного решения, основанный на асимптотическом приближении первого порядка, позволяет провести численный анализ краевой задачи при произвольно малых значениях параметра .
2. Если функции , , , , , , , зависят от и имеют асимптотическое разложение согласующееся с (4) - (6), то алгоритм асимптотического решения сохраняется с небольшими видоизменениями. Метод асимптотического решения, предложенный выше, может быть обобщен и на более общие, чем (4) - (6), краевые условия.
Литература
1. Чубырь Н.О., Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах (численный и асимптотический анализ): монография - Краснодар: ФГБОУ ВПО "КубГТУ", 2012. - 132с.
2. Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Узденова А.М., Чубырь Н.О., Хромых А.А., Барсукова В.Ю. Анализ краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, №77 (03), 2012 года http://ej. kubagro.ru/2012/03/pdf/57. pdf.
3. Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Узденова А.М., Чубырь Н.О., Хромых А.А., Барсукова В.Ю. Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, №77 (03), 2012 года http://ej. kubagro.ru/2012/03/pdf/58. pdf.
4. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. B. C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 228 с.
5. Коваленко А.В., Чубырь Н.О., Хромых А.А., Узденова А.М., Уртенов М.Х. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ "Программный комплекс для моделирования процессов переноса в мембранных системах в двумерном случае" № 2012613903 от 26 апреля 2012.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области. Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций, а также решение конкретных примеров задач.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 20.05.2013Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.02.2013Диаграмма рассеивания как точки на плоскости, координаты которых соответствуют значениям случайных величин X и Y, порядок ее построения и назначение. Нахождение коэффициентов и построение графика линейного приближения, графика квадратичного приближения.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 03.05.2011Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного. Асимптотическое решение интегралов. Асимптотическое вычисление суммы ряда. Приложения символа "О". Основные определения, примеры.
дипломная работа [151,2 K], добавлен 13.06.2007Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Особенности нахождения связи между величинами (функциями). Понятие, сущность, свойства и характерные особенности дифференциальных уравнений, а также анализ их разрешимости. Характеристика и методика решения задачи Дидоны, ее графическое изображение.
курсовая работа [897,4 K], добавлен 02.04.2010Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
курсовая работа [165,8 K], добавлен 12.10.2009Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Понятие функционала и оператора. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, и необходимые условия его минимума. Связь между вариационной и краевой задачами. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Вариационные задачи с подвижными границами.
курсовая работа [313,3 K], добавлен 23.05.2010Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Сопряженный оператор. Сопряженная однородная задача. Условия разрешимости. Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.
реферат [61,1 K], добавлен 29.05.2006
