Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейная алгебра

1. Матрицы и определители

1.1 Матрицы. Основные понятия. Виды матриц

Накопление и обработка числовой информации наиболее эффективны, если она представлена в виде числовых таблиц - матриц.

Упорядоченная система m·n действительных (или комплексных) чисел aij, записанная в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов

называется матрицей размера m Ч n.

Матрицы будем обозначать прописными буквами А, В, С, … латинского алфавита.

Строки и столбцы матрицы называют еще ее рядами и нумеруют соответственно сверху вниз и слева направо. Числа, составляющие матрицу, называют ее элементами и обозначают строчными буквами aij, bij, cij,... латинского алфавита. Индексы i и j элемента aij указывают соответственно номера строки и столбца, на пересечении которых этот элемент расположен.

Иногда для краткости матрицу обозначают символом (aij) mxn , где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Рассмотрим виды матриц.

1. Матрица (аi1)mx1, состоящая из одного столбца, называется одностолбцовой матрицей или вектор-столбцом. Количество элементов m такой матрицы называют высотой столбца. Пишут:

 или (а11 а21 … аm1)T.

2. Матрица (а11 а12 ... а1n), состоящая из одной строки, называется однострочной матрицей или вектор - строкой. Число n ее элементов называют длиной строки.

3. Матрица (аij)mxn называется прямоугольной, если m > 1, n > 1, m?n. Например, матрица прямоугольная, она состоит из трех строк и четырех столбцов.

4. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов и равно числу n1, то ее называют квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратной матрицей первого порядка является число - единственный элемент матрицы.

5. Совокупность элементов квадратной матрицы (аij)nxn , для которых i = j, называют главной диагональю матрицы. Элементы а1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 образуют побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы А называется следом матрицы А и обозначается trA.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю,а среди элементов главной диагонали есть отличные от нуля, называется диагональной матрицей.

6. Диагональная матрица, главная диагональ которой состоит только из единиц, называется единичной матрицей. Обозначается единичная матрица буквой E или En , если нужно указать порядок n этой матрицы.

Пример: - единичная матрица четвертого порядка.

Введем символ Кронекера: дij= . Тогда можно записать Е=(дij).

7. Матрица (0ij)mxn, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

8. Квадратная матрица (aij)nxn называется симметрической, если Пример:

9. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные по одну сторону главной ее диагонали, равны нулю, то матрицу называют треугольной.

Например, матрица , где все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.

1.2 Действия с матрицами

Становление теории матриц относится к середине XIX века и до сих пор она остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным к вопросам практики.

Знакомство с алгеброй матриц начнем с рассмотрения элементов матричного исчисления, имеющего широчайшие приложения, особенно в условиях применения компьютерной техники.

Для матриц, как и для чисел, определены следующие основные алгебраические операции: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу.

Две матрицы A=(aij)mxn и B=(bij)mxn называют равными, если они имеют одинаковые размеры, и соответственные их элементы равны: . Пишут А = В.

— Линейные операции над матрицами.

Суммой двух матриц A=(aij)mxn и B=(bij)mxn одинаковых размеров называется матрица С=(сij)mxn того же размера, элементы которой равны сумме соответственных элементов матриц А и В, т. е. сij = аij + bij.

Сложение матриц, как и сложение чисел, коммутативно (A+ B = B +А) и ассоциативно ((A + B) + C = A + (B + C)). Кроме того, A +(0ij)= A, т. е. при сложении матриц нулевая матрица играет такую же роль, как и число нуль при сложении чисел.

Произведением матрицы A=(aij)mxn на действительное число называется матрица B=(bij)mxn того же размера, каждый элемент которой равен соответствующему элементу матрицы А, умноженному на число , т. е. . Пишут B = .

Свойства операции умножения матрицы на число непосредственно вытекают из определения. Для любых чисел м и м/ и любых матриц А и В одинакового размера имеют место равенства:

1. мА= Ам

2. (м ?м/)А=м (м/?А)

3. (м+м/)А= мА+м/ А.

4. м(А+В) = мА+мВ.

5. 1?А = А

6. 0?А = (0ij)

7. м?(0ij) = (0ij)

Матрица обозначается -А и называется противоположной матрице А.

Сумму A + (-B) матриц одинаковых размеров называют разностью матриц A и B и пишут A - B. В частности, сумма противоположных матриц равна нулевой матрице.

Задача 0.1. Какую матрицу нужно прибавить к матрице Р=2А-3В+4Е, чтобы получить единичную матрицу, если А= и В=?

Решение. Полагаем, что Р+X = Е, тогда X = Е-Р = Е-2А+3В-4Е = -2А+3В-3Е = = -2А+3(В-Е). Выполним действия с матрицами.

- 2?А = -2? = ;

В-Е = - = ;

3? (В - Е) = 3? =;

-2?А+3?(В - Е) = + =.

Ответ: X =

-- Умножение матриц.

Произведением матрицы A=(aij)mxn на матрицу B=(bij)nxp называют матрицу С=(сij)mxр, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т. е. . Пишут .

Определение предполагает, что произведение не существует, если число столбцов матрицы А отлично от числа строк матрицы В.

Для матриц и найдем произведения АВ и ВА.



=.

Очевидно, что результаты этих двух умножений различны, т. е. АВ ? ВА, и умножение матриц в общем случае не коммутативно. В связи с этим произведение AB называют произведением матрицы А на матрицу В справа, а произведение BA называют произведением матрицы А на матрицу В слева.

Если все же окажется, что AB = BA, то матрицы A и B называют перестановочным (или коммутирующими).

Например, матрицы и перестановочны, т. к.

= и

= , т. е. MN = NM.

Умножение матриц, если оно определено, обладает следующими свойствами.

1. м(АВ) = (мА)В = А(мВ)

2. A (BC) = (AB)C.

3. A (B+C) = AB+AC и (A+B)C = AC + BC.

4. Аmxn? Enxn = Emxm? Amxn = Amxn, т. е. при умножении матриц единичная матрица играет такую же роль, как число 1 при умножении чисел. Если же A и Е квадратные матрицы одного порядка, то они перестановочны.

5. Аmxn? (0ij)nxp = (0ij)mxn? Anxp = (0ij)mxp , т. е. при умножении матриц нулевая матрица играет такую же роль, как число 0 при умножении чисел. Если же А и (0ij) - квадратные матрицы одного порядка, то они перестановочны.

Заметим, что произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице. Например, если и , то

Частным случаем умножения квадратных матриц одного порядка является их возведение в натуральную степень. По определению полагают , А1=А, А2= А?А А3= = А?А?А, … А тогда можно показать, что

и .

Не следует считать, что если An=(0ij), то A=(0ij). Например:

.

Рассмотрим произвольный многочлен по переменной x:

f(x)= a0+ a1x+ a2x2+ … +anxn , где a0, a1, a2, …,an - действительные числа.

Выражение a0E+ a1A+ a2A2+ … +anAn называется многочленом от матрицы А или матричным многочленом. Значением f(A) матричного многочлена является матрица.

--Транспортирование матриц.

Для матрицы транспортированной называют матрицу AT=(aji)nxm , столбцами которой являются соответствующие им строки матрицы А. Иначе говоря, если

, то .

Операция транспортирования матриц обладает следующими свойствами:

1. (АT)T= А.

2. (мА)T= м · АT, м R.

3. (А + В)T = АT+ВT .

4. АT= А, если А - симметрическая матрица.

5. (А·В)T=ВT·АT, если , Действительно, каждый элемент

6. матрицы (А·В)T равен соответствующему элементу . матрицы ВT · АT.

Задача 0.2. Найти матрицу Р = АВ0 - АT + В2, если А= и В= .

Решение. Т.к. В0 = Е, АВ0 = АЕ =А и матрица А симметрическая, т.е. АT = А, то АВ0 - АT = А - А = (0ij) и тогда Р = (0ij) + В2 = В2 = ? = .Ответ: Р= .

Задача 0.3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей А = .

Решение. Полагаем, что искомая матрица имеет вид В = Найдем два произведения АВ и ВА:

АВ = , ВА = .

Если матрицы А и В перестановочны, то АВ = ВА и соответственные элементы равных матриц равны между собой, т.е. имеет место система из 9 уравнений:

=, =, =, =, =, =, =, =, = .

Эта система равносильна системе: а1 = b2 =с3; 2а2 = 3b3 =c1; 6a3 = =3b1 = 2c2. Обозначив а2 = 3а, запишем матрицу В.

В =

Выполним проверку умножением матриц.

АВ = =

ВА = =

Таким образом, АВ = ВА и матрицы А и В перестановочны.

Ответ: В =

1.3 Линейно зависимые и линейно независимые ряды матрицы

Каждый столбец матрицы в свою очередь является вектор-столбцом:

Aj= , j=1,2,…,n

Выберем n произвольных действительных чисел м1, м2, … , мn и по правилу умножения матрицы на число столбец А1 умножим на число м1, столбец А2 - на число м2 и т.д. и, наконец, столбец Аn - на число мn . Сложив по правилу сложения матриц новые столбцы, получим вектор-столбец

м1 А1 + м2 А2 + … +мn Аn = ,

называемый линейной комбинацией столбцов матрицы А. Числа м1, м2, … , мn называют в этом случае коэффициентами линейной комбинации. Очевидно, что каждому набору таких чисел соответствует своя линейная комбинация столбцов матрицы А.

Пусть теперь наряду со столбцами матрицы А нам задан вектор-столбец
S = (s1, s2, … , sm)T такой же высоты m. Предположим, что столбец S является линейной комбинацией столбцов матрицы А, т.е. существует такой набор чисел м1, м2, … , мn , что верно равенство м1 А1 + м2 А2 + … +мn Аn = S. Тогда по определению равенства матриц имеет место система числовых тождеств

a11м1 +a12м2 + … +a1nмn = s1 ,

a21м1 +a22м2 + … +a2nмn = s2 ,

am1м1 +am2м2 + … +amnмn = sm

и в этом случае говорят, что столбец S линейно выражается через столбцы матрицы А или столбец S является линейной комбинацией столбов матрицы А.

Из полученных тождеств следует, что если м1 = м2 = … = мn = 0, то
S = (0, 0, … , 0)T. Это означает, что нулевой столбец всегда линейно выражается через любой набор столбцов той же высоты.

В свою очередь любой столбец матрицы А можно рассматривать как линейную комбинацию столбцов этой же матрицы:

Ак = 0?А1 +…+ 0?Ак-1 + 1?Ак + 0?Ак+1 + … +0?Аn .

При работе с линейными комбинациями следует иметь ввиду, что свойства линейных операций позволяют преобразовывать выражения, составленные из линейных комбинаций, по обычным правилам алгебры: можно раскрывать скобки, приводить подобные, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком, делить обе части равенства на отличное от нуля число и т.д.

Столбцы А1 , А2 , … , Аn матрицы A=(aij)mxn называют линейно зависимыми, если существует равная нулевому столбцу линейная комбинация

м1 А1 + м2 А2 + … +мn Аn =(0ij)mx1,

в которой по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Если же равенство (1) выполняется только тогда, когда м1 = м2 = … = мn = 0, то столбцы матрицы А называют линейно независимыми.

Теорема. Столбцы матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть столбцы Aj , j=1,2,…,n матрицы A=(aij)mxn линейно зависимы, тогда существуют числа м1, м2 , … , мn не все равные нулю такие, что выполнено равенство (1). Если при этом мк ? 0, то из (1) получаем

,

т.е. столбец Ак линейно выражается через остальные столбцы матрицы А.

Достаточность. Если ненулевой столбец Ак линейно выражается через остальные столбцы матрицы А, то из равенства (2) следует равенство (1), в котором мк ? 0. А тогда по определению столбцы матрицы А линейно зависимы.

Следствие 1. Если некоторые из столбцов матрицы А линейно зависимы, то линейно зависима и вся система столбцов матрицы А.

Следствие 2. Каждая подсистема линейно независимой системы столбцов сама линейно независима.

Чтобы установить, являются ли столбцы матрицы А линейно зависимыми или нет, запишем равенство (1) в виде системы уравнений с неизвестными м1, м2 , … , мn и найдем ее решение. Если система имеет только одно нулевое решение, то столбцы матрицы А линейно независимы. Если же система имеет ненулевые решения, то столбцы матрицы линейно зависимы по определению.

Следует подчеркнуть, что все сказанное о линейных комбинациях столбцов матрицы в равной мере справедливо и по отношению к строкам матрицы.

Столбцы (и строки) единичной матрицы n-го порядка линейно независимы, т.к. единственным решением системы уравнений

относительно неизвестных м1, м2 , … , мn является нулевое решение м1 = м2 = … = мn = 0.

Любой вектор-столбец высоты n является линейной комбинацией столбцов единичной матрицы n-го порядка. Действительно, по правилам сложения матриц и умножения матрицы на число имеем:(а1 а2 …аn)T = (а1 0 … 0)T +(0 а2…0)T + … +(0 0 … аn)T = а1(1 0 … 0)T + а2(0 1 … 0)T + ... + аn(0 0 … 1)T

Коэффициентами линейной комбинации в этом случае являются элементы столбца (а1 а2 … аn)T.

Задача 0.4. Являются ли линейно зависимыми столбцы матрицы

А = ?

Решение. Линейную комбинацию столбцов матрицы А приравняем к нулевому столбцу

и запишем это равенство в виде системы уравнений с неизвестными м1, м2 , м3 , м4.

Система уравнений имеет бесчисленное множество решений вида (-4м4, 7м4, 0, м4) , м4 € R; существуют ненулевые решения и столбцы матрицы А линейно зависимы по определению.

Ответ: Да.

Заметим, что подсистема, состоящая из первых трех вектор-столбцов, линейно независима, т.к. система уравнений



имеет только одно нулевое решение м1 = м2 = м3 = 0.

А четвертый столбец матрицы А является линейной комбинацией первых трех столбцов:

1.4 Перестановки

Рассмотрим n первых натуральных чисел: 1, 2, 3, …, n -1, n. Выпишем эти числа в любом порядке: 1, 2,…, n. В этой записи числа 1, 2,…, n суть те же самые числа 1, 2, …, n, но записанные, быть может, в ином порядке. Всякое расположение n первых натуральных чисел назовем перестановкой. Количество таких различных перестановок равно n!=1? 2? 3? … ? (n -1)? n.

Если в естественном расположении первых n натуральных чисел 1, 2, …, n какое-либо число перенесено на новое место и в какой-либо паре чисел большее число оказалось левее меньшего, то говорят, что эта пара чисел образует инверсию (беспорядок).

Перестановка считается четной, если общее количество инверсий четно, и - нечетной, если общее количество инверсий нечетно. Например, в перестановке 2, 3, 1, 5, 4 из пяти первых натуральных чисел инверсию образуют пары (2, 1), (3, 1), (5, 4). Общее число инверсий равно трем и перестановка считается нечетной.

Два соседних числа в перестановке поменяем местами. Такой шаг приведет к изменению четности перестановки. Четное же число k таких шагов не изменяет четности перестановки.

Рассмотрим произведение элементов квадратной матрицы А = (аij) n - го порядка

,

взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и расположенных в порядке возрастания их первых индексов 1, 2, … , n, образующих четную перестановку.

Рассмотрим также произведение тех же элементов матрицы АT

Выполним k шагов, меняя на каждом шаге местами два соседних числа в произведении (т), до тех пор, пока это произведение не примет вид

и перестановка из первых индексов 1, 2, … , n окажется четной.

Сравним четности перестановок и . Перестановка получена из четной перестановки 1,2,..., n за k шагов, а четная перестановка 1,2,..., n в (r) за те же k шагов получена из перестановки . Следовательно, перестановки и имеют одну и ту же четность.

Таким образом, в произведении (а) элементов матрицы А и в произведении (r) (тех же) элементов матрицы АT четность перестановки из вторых индексов одна и та же.

Задача 0.5. Задана перестановка 1, 5, 3, 2, 4 из первых пяти натуральных чисел. Выяснить, является ли перестановка четной или нечетной.

Решение. Выпишем пары чисел, образующих инверсию: (5, 3), (5, 2), (5, 4), (3, 2). Общее число инверсий - четыре, т.е. четное число, и перестановка четная.

Ответ: Перестановка четная.

1.5 Определитель квадратной матрицы. Алгебраические дополнения и миноры

Основной числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель. Определителем матрицы первого порядка называется единственный элемент этой матрицы. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А=(аij) n-го порядка (n>1) называется число, обозначаемое символом detA или , а если нужно выписать элементы матрицы, - символом

Из элементов квадратной матрицы А=(аij) n-го порядка, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, составим произведение вида

для каждой из n! перестановок вторых индексов j1, j2,…, jn

Определение. Значение определителя detA равно алгебраической сумме n! слагаемых вида (а), распространенной на всевозможные перестановки вторых индексов j1, j2,…, jn:

При этом, если в произведении (а) множители расставлены в порядке возрастания их первых индексов, то p=0, если перестановка j1, j2,…, jn четная, и р=1, если - нечетная.

Элементы, строки и столбцы матрицы А называют соответственно элементами, строками и столбцами определителя detА; порядок матрицы называют порядком определителя; каждое слагаемое вида (-1)р называют членом определителя.

Если в определителе detА n-го порядка выделить произвольный элемент аij и удалить из определителя строку и столбец, содержащие этот элемент, то получим определитель Мij порядка n-1, называемый минором элемента аij в определителе detА.

Минором элемента в определителе 2-го порядка является число.

Произведение (-1)i+j ? Mij обозначается символом Аij и называется алгебраическим дополнением элемента аij в определителе detА.

Задача 0.6. Вычислить определитель квадратной матрицы А = и найти алгебраическое дополнение А32 элемента а32 = 5.

Решение.

По определению

detА = = (-1)0?(-4)?1?7 +(-1)1?(-4)?4?5+(-1)0?0?4?3+(-1)1?0?9?7+(-1)0?(-2)?9?5+(-1)1?(-2)?1?3 = - 28+80 + 0 + 0 - 90 +6 = - 32

Вычислим минор М32 элемента а32=5.

= (-1)0 · (-4) · 4 + (-1)1 · (-2) · 9 = -16 + 18 = 2.

По определению А32= (-1)3+2 ? М32= -1? 2 = -2 Ответ: detА = -32; А32 = -2.

1.6 Разложение определителя по элементам его ряда

Пользуясь определением, вычислим определитель второго порядка:

Для каждого элемента запишем его алгебраическое дополнение:

Тогда вычисление определителя принимает один из видов:

Каждое из полученных выражений принято называть разложением определителя по элементам его ряда. В этом случае определитель 2-го порядка равен сумме произведений элементов какого-либо его ряда на их алгебраические дополнения.

Пользуясь определением, вычислим определитель третьего порядка.



Выполним группировку слагаемых по элементам какого-либо ряда, например, по элементам второй строки.

В каждой скобке получено алгебраическое дополнение стоящего перед этой скобкой элемента:

Следовательно, и определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какого-либо его ряда на их алгебраические дополнения.

Справедливо и более общее утверждение: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какого-либо его ряда на их алгебраические дополнения.

Задача 0.7. Вычислить определитель:

Решение. Разложим определитель по элементам его первого столбца.

Каждый из определителей 3-го порядка разложим по элементам первой строки.

Каждый из определителей 2-го порядка вычислим по определению:

Ответ:

Задача 0.8. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(х1,у1), В(х2,у2) и С(х3,у3).

Решение. При заданном на рисунке расположении точек площадь треугольника АВС равна площади четырехугольника QABC без площади треугольника QAC. Но , поэтому

и мы получили разложение определителя третьего порядка по элементам его первого столбца.

В общем случае, при любом расположении вершин треугольника его площадь равна модулю числа



Следствием полученного результата является условие, при котором точки А, В и С координатной плоскости лежат на одной прямой:

=0

В этом случае площадь треугольника АВС равна нулю.

Замечание. Если полагать координаты точки С(х; у) переменными, то равенство =0 является уравнением прямой, проходящей через две данные точки А (х1 ; у 1) и В (х2; у2).

1.7 Свойства определителя n-го порядка

1. При транспонировании матрицы n-го порядка ее определитель не меняется, т.к. в этом случае ( с учетом четности перестановок) оба определителя состоят их одних и тех же членов с одинаковыми знаками.

Указанное свойство свидетельствует о полном равноправии строк и столбцов определителя, т. е. если некоторое утверждение справедливо относительно строк, то аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов и наоборот.

2. Определитель с нулевой строкой равен нулю, т. к. нулем оказывается разложение определителя по элементам нулевой строки.

3. При перестановке двух соседних столбцов определителя его знак меняется на противоположный, т. к. в каждом члене определителя меняется четность перестановки из вторых индексов 1, 2, …, n.

4. При умножении любой строки определителя на произвольное число сам определитель умножается на это же число, т. к. на умножается разложение определителя по элементам выбранной строки. Следовательно, общий делитель 0 всех элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя в качестве множителя.

Заметим, что если А-квадратная матрица n-го порядка то det( А) = n det A.

5. Если каждый элемент i-той строки является суммой двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, один из которых содержит в i-той строке первые слагаемые, а второй - вторые слагаемые. Действительно, разложив такой определитель по элементам указанной i-той строки, получаем

.

6. Определитель равен нулю, если соответственные элементы двух его строк равны либо пропорциональны.

Не нарушая общности, запишем доказательство для определителя третьего порядка.

Поменяем первые две строки местами. Тогда Д= -µ. Но определитель не изменился, следовательно, Д= - Д, откуда Д=0.

7. Если к какой-либо строке квадратной матрицы прибавить линейную комбинацию остальных ее строк, то определитель матрицы не изменится.

В самом деле,

Отсюда, в частности, следует, что если к некоторой строке определителя прибавить другую его строку, умноженною на некоторое число, то определитель не изменится.

8. Если строки матрицы линейно зависимы, т.е. какая-либо строка матрицы является линейной комбинацией остальных ее строк, то определитель такой матрицы равен нулю.

Справедливость утверждения становится очевидной, если в доказательстве свойства 7 полагать а11 = а12 = а13 = 0.

9. Определитель диагональной либо треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, т. к. все остальные члены определителя содержат нулевой множитель.

10. Сумма произведений всех элементов некоторой строки определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другой строки этого определителя равна нулю, т.к. такая сумма оказывается разложением определителя, содержащего две одинаковые строки.

11. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. det (AB) = det А? det В, где А и В - квадратные матрицы одного порядка.

В частности для матриц А= и В = имеем: det (AB)

=

=

Задача 0.9. Вычислить определитель

Решение. Общий делитель элементов первой строки вынесем за знак определителя в качестве множителя.

Ответ: 4682.

Задача 0.10. Вычислить определитель

Решение. Общий делитель 2 всех элементов первой строки вынесем за знак определителя в качестве множителя.

Каждый элемент первой строки, умноженный на -3, сложим с соответствующим элементом второй строки.

К каждому элементу третьей строки прибавим соответствующий элемент второй строки, умноженный на -1.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

Ответ:

1.8 Вычисление определителя

На практике определитель второго порядка вычисляется по определению:

=а11а22 - а12 а21.

Для вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться «правилом треугольников», согласно которого произведения элементов главной (побочной) диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали, берут со знаком «плюс» («минус»).

При вычислении по определению определителя порядка больше третьего объем вычислений резко возрастает. Поэтому предпочтительнее разлагать определитель по элементам какого-либо его ряда и при этом от определителя порядка n перейти к определителям порядка n-1. В этом случае объем вычислений можно еще сократить за счет увеличения количества нулевых элементов в выбранном ряду. Этого добиваются использованием свойств определителя n-го порядка.

Задача 0.11. Вычислить определитель:

Решение. Воспользуемся правилом треугольников. Получим:

Д=2?3?2 + 4?1?1 + +0?0?1 - 4?3?0 - 2?0?1 -2?1?1 =14.

Ответ: Д = 14.

Задача 0.12. Вычислить определитель:

Решение. К первой строке определителя прибавим четвертую строку, умноженную на -2 , ко второй - умноженную на 1, к третьей - умноженную на -4.

Разложим определитель по элементам 1-го столбца

К третьей строке определителя прибавим 1-ю строку

Разложим определитель по элементам 1-го столбца и вычислим его.

Ответ: Д = -46.

Задача 0.13. Вычислить определитель

Решение. Перенесем 3 - й столбец на место первого. Знак определителя изменится дважды, т.е. не изменится.

Тем самым добиваемся равенства а11 =1.

К каждому элементу 2 - й строки прибавим соответственный элемент 1- й строки.

К каждому элементу 3 - й строки прибавляем соответственный элемент 1 - й строки, умноженный на -2.

К каждому элементу 4 - й строки прибавляем соответственный элемент 1 - й строки, умноженный на -1.

Мы добились того, что все элементы 1 - го столбца (кроме а11) оказались нулями.

К каждому элементу 3 - й строки прибавим соответственный элемент 2 - й строки.

К каждому элементу четвертой строки прибавим соответственный элемент 2 - й строки, умноженный на 2.

Все элементы второго столбца, расположенные ниже элемента а22 = -1, оказались нулями. линейный матрица вектор определитель

К каждому элементу 4 - й строки прибавим соответственный элемент 3 - й строки, умноженный на -1.

.

Получен определитель треугольной матрицы и он равен произведению элементов главной диагонали: . Ответ: .

Замечание. Определитель треугольной относительно побочной диагонали матрицы n-го порядка равен произведению элементов этой диагонали, умноженному на число (-1)n(n-1) /2.

1.9 Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы

В матрице А = (аij)mxn выделим k строк и k столбцов (k ? min (m; n)). Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называют минором k-го порядка матрицы А.

Выбирая всевозможными способами по k строк и k столбцов, получаем миноров k-го порядка матрицы А. Матрица А обладает, таким образом, минорами различных порядков. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы. Максимально возможный порядок миноров равен наименьшему из чисел m и n.

Любой минор k + 1-го порядка в разложении по элементам какого-либо его ряда выражается через миноры k-го порядка и если все миноры k-го порядка равны нулю, то и все миноры больших чем k порядков тоже равны нулю.

Рассмотрим в матрице А все миноры всех возможных порядков и выделим те из них, которые отличны от нуля.

Определение. Наибольший порядок отличного от нуля минора называется рангом матрицы А (и обозначается Rg А).

Если Rg А = r, то это означает, что матрица А содержит отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор большего чем r порядка равен нулю.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.

Строки и столбцы матрицы, которые участвуют в образовании базисного минора, также называют базисными и они линейно независимы, т.к. в противном случае базисный минор оказался бы равным нулю.

Теорема о базисном миноре.

Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).

Доказательство проведем для строк. Для столбцов оно аналогично.

Запишем базисный минор М порядка r матрицы А = (aij)mxn. Не нарушая общности рассуждений, для удобства полагаем, что в его образовании участвуют первые r строк и первые r столбцов матрицы А. Дополним этот минор до минора М0 порядка r+1 произвольным элементом aij матрицы и соответствующими минору М элементами i-той строки и j-го столбца.

Если аij содержится в каком-либо базисном ряду, то М0= 0 как определитель с двумя одинаковыми рядами. Если же аij не содержится в базисном ряду, то опять же М0 = 0, т. к. его порядок равен r + 1.

Разложим равный нулю определитель М0 по элементам приписанного j-го столбца. Получим:

т.е. произвольный элемент i-той строки является линейной комбинацией элементов j-го столбца, расположенных в базисных строках. При замене элемента любым другим элементом i-той строки коэффициенты Аkj , k=1, 2 ,…, r линейной комбинации остаются неизменными, поэтому вся i-тая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк с теми же коэффициентами Аkj, k = 1,2,…, r.

Теорема о ранге матрицы.

Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы А совпадает с рангом матрицы.

Доказательство проведем для строк. Для столбцов оно аналогично.

Пусть Rg А = r ? 1, тогда в матрице А существует базисный минор порядка r.

Базисные строки матрицы А линейно независимы, т. к. в противном случае базисный минор был бы равен нулю как определитель с линейно зависимыми строками. Таким образом, существуют r линейно независимых строк.

Покажем, что если m > r, то m строк матрицы А линейно зависимы. Эти m строк образуют матрицу В, которая является частью матрицы А, а потому Rg B ? Rg A = r<m, т.е. Rg B < m и хотя бы одна строка матрицы В по теореме о базисном миноре линейно выражается через остальные строки. А это и означает линейную зависимость любых m строк матрицы А, если m > Rg A.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Следствие 2. Если определитель матрицы А n-го порядка равен нулю, то строки (столбцы) такой матрицы линейно зависимы, т.к. Rg A < n. Если же det A ? 0, то Rg A = n и строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.

Задача 0.14. Вычислить ранг матрицы

Решение. Очевидно, что 1? Rg A ? 3. Рассмотрим все миноры 3-го порядка. При этом заметим, что миноры, содержащие первые два столбца, равны нулю как определители с пропорциональными столбцами.

;

;

;

.

Последующие миноры 3-го порядка получаются из уже рассмотренных заменой 1-го столбца на ему пропорциональный 2-й столбец и потому также равны нулю. Следовательно, 1? Rg A ? 2. Остается заметить, что

 и Rg A = 2.

Ответ: Rg A = 2.

1.10 Эквивалентные матрицы

Основываясь на свойствах определителя n-го порядка, можно утверждать, что порядок базисного минора и, следовательно, ранг матрицы не изменится в результате следующих преобразований матрицы.

1. Изменение порядка строк.

2. Умножение каждого элемента строки на отличное от нуля число.

3. Прибавление к элементам строки соответственных элементов другой строки.

4. Удаление из матрицы строки, являющейся линейной комбинацией остальных ее строк. В частности, удаление одной из двух одинаковых или пропорциональных строк, либо нулевой строки.

5. Транспонирование матрицы.

Аналогичные преобразования матрицы через ее столбцы также не изменяют ее ранг.

Определение. Две матрицы А и В называют эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью конечного числа преобразований, не изменяющих ранг матрицы.

Пишут А ~ В. Такие матрицы не являются, вообще говоря, равными, но они имеют один и тот же ранг. Следовательно, для определения ранга матрицы достаточно определить ранг эквивалентной ей матрицы.

Если все r элементов главной диагонали в ступенчатой матрице отличны от нуля, то ранг матрицы равен r , т.е. равен порядку отличного от нуля минора.

Пример. Вычислить ранг матрицы



Решение. Матрица А имеет размер 4Ч3, поэтому Rg А ? 3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем матрицу А к ступенчатому виду.

Транспонируем матрицу А и меняем местами 2 - ю и 3 - ю строки.

~

Умножив 1 - ю строку на (-1), прибавим ее ко 2 - й и 3 - й строкам.

Умножим 2 - ю строку на (-3) и прибавим ее к 3- й строке.

На главной диагонали полученной ступенчатой матрицы расположены три ненулевых элемента, а потому Rg А = 3; эта матрица содержит ненулевой минор 3 - го порядка:



При вычислении ранга матрицы зададимся целью привести матрицу к так называемому упрощенному виду методом Гаусса.

Пусть задана матрица А = (aij)mxn , содержащая отличные от нуля элементы. Преобразуем ее в эквивалентную матрицу, содержащую столбцы единичной матрицы. Для этого выберем какой-либо отличный от нуля элемент aij (назовем его разрешающим) и разделим на него все элементы i-той строки. А к каждой из остальных строк, содержащих в j-том столбце элемент aкj , к= 1, 2, … , i-1, i+1, … , m, прибавим i-тую строку, умноженную на -aкj . Получим матрицу, эквивалентную матрице А, j-тый столбец которой является столбцом единичной матрицы.

Выбирая отличный от нуля разрешающий элемент каждый раз в другой строке и в другом столбце, повторяем описанное преобразование матрицы до тех пор, пока все строки будут исчерпаны.

После последнего преобразования удалим из матрицы нулевые строки и столбцы и получим эквивалентную исходной матрицу упрощенного вида, содержащую столбцы единичной матрицы. Ранг такой матрицы равен количеству столбцов единичной матрицы и равен рангу исходной матрицы А.

Задача 0.15. Определить ранг матрицы:

Решение. Выделим разрешающий элемент а22=1 и прибавим к 1-й строке 2-ю, умноженную на -1.

 ~

Выделим элемент а33 = 1 и ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на -2, а к 4-й - умноженную на -1.

А ~

Выделим элемент а44 =-1 и разделим 4-ю строку на -1. А ~

К 1-й, 2-й и 3-й строкам прибавим 4-ю строку, умноженную соответственно на -1, 7 и -4.

А ~

Выделим элемент а15 = 2 и первую строку разделим на 2.

А ~

К 2-й, 3-й и 4-й строкам прибавим 1-ю строку, умноженную соответственно на 15, -10 и 2.

А ~

Все строки матрицы исчерпаны, и матрица содержит 4 столбца единичной матрицы.

Если учесть, что при описанных преобразованиях определитель квадратной матрицы делится на разрешающий элемент, когда на этот элемент делится строка матрицы, и определитель не изменяется при сложении строки матрицы с линейной комбинацией остальных ее строк, то описанный способ можно применить к вычислению определителя (невырожденной) квадратной матрицы. Определитель с точностью до знака окажется равным произведению разрешающих элементов.

Задача 0.16. Вычислить определитель матрицы

Решение. Преобразуем матрицу А в эквивалентную упрощенного вида.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Чтобы получить единичную матрицу, соседние строки матрицы поменяем местами 5 раз, тогда det A = (-1)5?1?1?11?7 = -77. Ответ: det A = -77.

1.11 Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Пусть задана квадратная матрица n-го порядка. Обратной матрицей по отношению к матрице А называется матрица , которая, будучи умноженной (как справа, так и слева) на матрицу А, дает единичную матрицу:

.

По определению матрица А является обратной по отношению к матрице

Если по отношению к матрице А существует обратная, то матрицу А называют обратимой, а нахождение обратной матрицы называют обращением матрицы А.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной (особенной).

На место каждого элемента матрицы А запишем его алгебраическое дополнение. Получим матрицу . Выполним транспонирование матрицы и новую матрицу назовем присоединенной (или союзной) для матрицы А.

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.

Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Доказательство. Проверим, что по определению матрица с элементами является обратной по отношению к матрице А. По правилу умножения матриц элементом произведения является , а т. к. то А тогда Аналогично убеждаемся, что . Следовательно, матрица по определению обратная по отношению к матрице А.

Для доказательства единственности обратной матрицы предположим, что существуют две различные обратные матрицы и по отношению к матрице А. Тогда по определению и обе части этого равенства умножим на слева. Получим:

, что опровергает предположение о существовании двух различных обратных матриц по отношению к матрице А. Теорема доказана.

Для каждой обратимой матрицы А n-го порядка наряду с натуральными степенями рассматривают и ее целые отрицательные степени, полагая по определению

А-2 = А-1 А-1, А-3 = А-1 А-1 А-1, …

Для любой обратимой матрицы А и любых целых (не обязательно положительных) чисел m и n имеют место обычные правила действий со степенями:

АmAn = Am+n; (Am)n = Amn.

Если же матрицы А и В одного порядка обратимы и перестановочны, то (АВ)n = AnBn.

Рассмотрим свойства обратных матриц.

1.

2. , т. е.

матрица, обратная произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке.

Для доказательства воспользуемся сочетательностью умножения матриц.

Поменяем множители местами: . Таким образом, по определению матрица обратная по отношению к матрице АВ и потому

Заметим, что в общем случае и потому:

,

,

т. е. матрица, транспонированная к обратной матрице, совпадает с матрицей, обратной к транспонированной.

Для доказательства воспользуемся свойством транспонированного произведения матриц.

и , т. е.

по определению матрицы и обратны по отношению друг к другу и верно равенство .

5. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы. Действительно, из того, что и следует, что , и .

Задача 0.17. При м = 5 обратить матрицу А = . При каких значениях м матрица А необратима?

Решение. Если м = 5, то матрица А обратима, т.к. . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А и составим матрицу (Аij).

А11 = 1, А12 = -1, А13 = -2, А21 = -3, А22 = -6, А23 = 6, А31 = 1, А32 = 17, А33 = -11. . Транспонируя матрицу (Аij), получим присоединенную для матрицы А матрицу и, следовательно, искомая обратная матрица имеет вид .

Контроль:

.

Если полагать, что матрица А = необратима, то det A = 0, т.е. 16-5м = 0, м = 3,2.

Ответ: и матрица А необратима при м = 3,2.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Задача 0.18. Обратить матрицу А = методом Гаусса.

Решение. Составим матрицу В из матриц А и Е3.

Выполним преобразования матрицы В, при которых матрица А приводится к упрощенному виду. Если при этом матрица А обратится в единичную матрицу, то матрица Е3, записанная в правой части матрицы В, обратится в матрицу А-1, обратную по отношению к матрице А. Если же конечным числом преобразований матрицу А невозможно обратить в единичную, то матрица А-1 не существует.

~~~ ~

Контроль: =.

Ответ: .

1.12 Упражнения

№ 1.Приведите примеры матриц: одностолбцовой; однострочной; прямоугольной; квадратной; диагональной; единичной; симметрической; треугольных.

№ 2. Какую матрицу надо прибавить к матрице Р= 2АT + В - 2АВ0, чтобы получить матрицу С = , если А = и В = .

Ответ: .

№ 3. Найти все натуральные степени матрицы

А = .

Ответ: Аm= , m N.

№ 4. Найти все натуральные степени матрицы:

А= .

Ответ: , Аm = (Оij) при m N.

№ 5. Упростите выражение и найдите матрицу Р = (2АС + 2ВСА0)T - 2С2, если

А = , В = и С = .

Ответ: Р = С.

№6. Найти значение матричного многочлена В = 3А3 - 4А2 + 2Е, если А= .

Ответ: .

№ 7. Найти значение матричного многочлена С = К3 - К2 + 2Е, если

.

№ 8. Доказать, что матрицы А= и В= перестановочны.

№ 9. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей А = , при n 1.

№ 10. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей В = .

, а R, b R.

№ 11. Заданы матрицы А= , В=, С= . Найти матрицу:

а) D= (АВ)T - С2Е ; б) Р= 2ЕT + АT ВT - Е.

Ответ: ; .

№ 12. Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми столбцы матрицы

А = , где n 0.

Ответ: Столбцы матрицы линейно независимы.

№ 13. Выяснить, является ли линейно независимой или нет система:

а) одностолбцовых матриц

А= , В= и С= ;

б) однострочных матриц М = (3 -6 6), N = (1 0 5) и К = (-1 2 -2);

в) столбцов матрицы А = ; г) строк матрицы

N = .

Ответ: а) Да. б) Нет. в) Да. г) .

№ 14. Сколько перестановок можно составить из первых шести натуральных чисел?

Ответ: 6! = 720.

№15. Установить четность либо нечетность перестановки: а) 2, 1, 5, 3, 4; б) 3, 5, 1, 4, 2; в) 1, 3, 2, 5, 4.

Ответ: а) Нечетная. б) Четная. в) Четная.

№ 16. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов главной диагонали? побочной диагонали?

Ответ: 1) Со знаком «плюс»

2) Со знаком .

№17. Является ли произведение а33?а16?а72?а27?а55?а61?а44 членом определителя? Если да, то каков его знак?

Ответ: «Плюс».

№18. Выбрать значения индексов i и к так, чтобы произведение а62?аi5?а33?аk4?а46?а21 входило в определитель шестого порядка со знаком «минус».

Ответ: i = 5; k = 1.

№19. Найти члены определителя четвертого порядка, содержащие элемент а32 и входящие в определитель со знаком «плюс».

№20. Вычислить определитель по определению:

; ; .

Ответ:

№21. Пользуясь определениями, вычислить определитель квадратной матрицы А= и найти алгебраические дополнения элементов а23 = 2 и а31 = 4.

Ответ:

№ 22. Пользуясь определениями, вычислить определитель квадратной матрицы

А =

и найти алгебраические дополнения элементов а23 = -n и а31 =-n.

Ответ: det A = 3, A23 = -n, A31 = -6n.

№ 23. Вычислить определитель , разложив его по элементам второго столбца.

Ответ: Д = n2 +3.

№ 24. Вычислить определитель:

1) разложив его по элементам какого-либо ряда:

;;;

2) разложив по элементам 2 - й строки:

;

3) разложив по элементам 2 - го столбца:

.

Ответ:

№25. Сравнить определители матриц А и АТ, если А=

№ 26. Лежат ли точки А(2;n), В(-1;-2) и С(3;n) на одной прямой? Если не лежат, то какова площадь треугольника АВС?

Ответ: Не лежат.

; ;



Ответ:

№ 28. Вычислить определители:

.

Ответ: Д1 = n2; Д2 =274( n - 10); Д3 =- n2 -n.

№ 29. Найти корни уравнения:

1). 2). 3).

4). 5).; 6).;

7)..

Ответ: 1) х = 0 или х = 2.

2) х = 0 или х = 1/3.

3) х = 0 или

4) х = при n 6 и х при n = 6.

5) х = 2 или х = n - 6.

6) х = 2 или х = , при n 0.

7) х = -1 или х = 1

№ 30. Доказать, что справедливо равенство:

а).

б).

№ 31. Вычислить определители:

;

.

Ответ:

№ 32. Сколько миноров 3-го порядка содержит матрица А = (aij)4 x 6?

Ответ: 80.

№ 33. Вычислить определитель квадратной матрицы

А= ; В= ; С= ; Д =

и найти алгебраическое дополнение элемента а22. Найти ранг матрицы. Доказать, что столбцы матрицы С линейно независимы.

№ 34. Матрицу А= преобразовать в эквивалентную треугольную матрицу и найти ее ранг.

Ответ: А ~ ; RgA = 3.

№ 35. Определить ранг матрицы, преобразуя ее в эквивалентную упрощенного вида:

А= ; В= ; С= ;

Д=

Ответ: RgA = 3; RgB = 3; RgС = 3; RgD = 4.

№ 36. Определите ранг матрицы А = , преобразовав ее в эквивалентную матрицу упрощенного вида по методу Гаусса.

Ответ: Rg A = 3 при n 0 и Rg A = 2 при n = 0.

№ 37. Определите ранг матрицы

А = ,

преобразовав ее в эквивалентную матрицу ступенчатого вида.

Ответ: Rg A = 3.

№ 38. Сколько строк матрицы линейно независимы:

А= ; В= С=

Д =

Ответ: Две. Две. Три. Три.

№ 39. Обратить матрицу

А =; В =; С =;

N=; Д = К =

Ответ: ; ; ;

; ; .

№ 40. При м = 2 обратить матрицу А методом Гаусса. При каких значениях м матрица А необратима?

1). А = ;

2). А = .

Ответ: 1);

1. 2);

№ 41. Найти матрицу Р = - (ВT •А)-1 + (n + 1)•А-1•(В-1)T - А-1•С, если

А = , В = и С = , где n 0.

Ответ: .

№ 42. Даны матрицы

А = , В = и С = .

Найти матрицу Р, если:

а) Р = -5 АВ-1 + 2АT;

б) Р = -2(АВ)T + 2А-1;

в) Р =4А-2 - ВT;

г) Р = -2СT + 25 В-2;

д) Р = 2(ВА-1)T + 2(АT)-1 +4А-2;

е) Р = -3 (ВTАT)-1 + 2 (А-1)T (В-1)T - В-2.

Ответ: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

е) .

1.13 Контрольная работа № 1

Задача № 1.

Выполнить действия с матрицами , и и найти матрицу Х = 2А - 3 (В-С).

Задача № 2.

В определителе найти минор и алгебраическое дополнение элемента а32 = 4. Вычислить определитель, разложив его по элементам второй строки.

Задача № 3.

С помощью определителя вычислить площадь треугольника с вершинами А (-2; -2), В (0; -4) и С (n; 0).

Задача № 4.

Определить ранг матрицы , преобразовав ее в эквивалентную матрицу упрощенного вида. Выписать базисный минор.

Задача № 5.

Обратить матрицу методом Гаусса и найти след матрицы А-1.

Задача № 6.

Упростите выражение Х = (АВ-1)Т + (А-1ВТ)-1 - n? (В-1)Т, где А и В - симметрические матрицы.

Размещено на Allbest.ru

...