Краевая задача для смешанного уравнения с перпендикулярными линиями изменения типа

Размещено на http://www.allbest.ru/

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

Лесев Вадим Николаевич, к.ф.-м.н., доцент

Кабардино-Балкарский государственный

университет им. Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия

В работе исследована нелокальная краевая задача для смешанного параболо-гиперболического уравнения второго порядка с негладкими условиями сопряжения. Доказаны единственность и существование решения данной задачи

Ключевые слова: СМЕШАННОЕ УРАВНЕНИЕ, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Краевые задачи для смешанных уравнений образуют особое направление в теории дифференциальных уравнений. Доказательство существования и единственности решений для таких задач отличается применением специальных методов (например [1-5]), практически не имеющих аналогов для классических уравнений. В настоящей работе представлены результаты исследования однозначной разрешимости задачи для модельного уравнения параболо-гиперболического типа в характеристической области с нелокальными краевыми условиями и разрывными условиями сопряжения на линии изменения типа.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа

(1)

где - область ограниченная отрезками АВ, ВС, СО и ОА прямых , , , соответственно; и - характеристические треугольники, причем - ограничен отрезком ОА оси абсцисс и двумя характеристиками АЕ: , ОЕ: уравнения (1), выходящими из точек А, О и пересекающимися в точке Е; - ограничен отрезком ОС оси ординат и двумя характеристиками СD: , DО: уравнения (1), выходящими из точек С,О и пересекающимися в точке D; - заданная непрерывная функция в .

Пусть , , , , , , , , .

Задача 1. Найти регулярное в решение уравнения (1) из класса (), удовлетворяющее краевым условиям

, (2)

, (3)

, (4)

условиям сопряжения:

(5)

(6)

и обладающее тем свойством, что .

Введем обозначение

, ,

где , (при , а при ).

2. Доказательство единственности решения задачи

Для задачи 1 справедлива следующая

Теорема 1. Если выполнены условия:

, (7)

, (8)

то задача 1 не может иметь более одного решения.

Пусть - решение задачи 1, тогда функциональные соотношения между и , имеют вид

, (9)

где ; при , а при .

Соотношения (9) содержат неизвестные постоянные , (), которые легко определить. Действительно, поскольку , то . Следовательно, с учетом (2) и (3), будем иметь:

,

, .

Далее, интегрируя тождество

(10)

по области , в случае однородной задачи, будем иметь:

. (11)

Переходя к пределу при , в области , получаем

. (12)

С учетом (12), будем иметь

. (13)

Теперь, докажем справедливость неравенств:

. (14)

Действительно, интеграл с учетом (5) и (6), представим в виде

. (15)

Для определения знака выражения (15) будем рассматривать каждое слагаемое отдельно. Принимая во внимание (9), получим

. (16)

Равенство (16) может быть преобразовано к виду

. (17)

Применяя к (17) интегрирование по частям, приходим к равенству:

Теперь, очевидно, что при выполнении неравенств (7), будет справедливо неравенство , а неравенство будет справедливо при выполнении условия (8). Таким образом, доказано неравенство . Отсюда, принимая во внимание (13), получим , но так как , то или .

Следовательно, из (11) с учетом (14) получаем, что в . Значит, , но так как , то . Отсюда следует, что в области справедливо тождество . В областях и как решение задачи Коши с нулевыми начальными данными. Таким образом, в и решение задачи 1 единственно.

3. Доказательство существования решения задачи

Для доказательства существования решения задачи 1, в отличие от работы [4] применим метод функции Грина.

Решение (если оно существует) должно удовлетворять условию (12), которое можно переписать в виде .

Здесь - дифференциальный оператор, , .

Непосредственным вычислением, с учетом (5) и условий теоремы 1, получаем

, ,

, .

Введем новые неизвестные функции

, .

Легко видеть, что

. (18)

Пусть - функция Грина оператора с областью определения . Тогда, для задачи (18), можем записать

. (19)

Из (9), принимая во внимание (5), получим второе соотношение между и :

(20)

,

.

Из (20), с учетом (19), будем иметь

, (21)

где и - выражаются через заданные функции по аналогии с и .

Полагая и применяя дифференцирование, перепишем уравнение (21) в виде

. (22)

Таким образом, при , в силу теоремы 1, однозначно находим как решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода (22), а - из соотношения (18). Функции и определяем из условий сопряжения (5). Очевидно, что теперь решение задачи 1 в области находим как решение задачи Коши для уравнения (1).

Чтобы определить и воспользуемся решением первой краевой задачи для уравнения (1) в , которое, как известно [6], имеет вид:

, (23)

,

- функция Грина первой краевой задачи уравнения теплопроводности.

Выпишем решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода (23) с помощью резольвенты ядра , получим

(24)

,

,

, .

Дифференцируя по равенство (24), а затем, переходя в полученном равенстве к пределу при , будем иметь

(25)

где , а штрих после знака суммы означает суммирование по всем указанным n кроме n=0.

Равенство (25) представляет собой функциональное соотношение между и , принесенное из области на единичный интервал ОС. Перепишем это соотношение в виде

, (26)

,

Теперь, представим условия сопряжения (6) в виде

, (27)

. (28)

Из равенства (27), принимая во внимание соотношение (9), будем иметь

. (29)

Продифференцировав равенства (9), (27), получим

, (30)

(31)

Подставляя соотношения (9), (31) в равенство (30), будем иметь

, (32)

где - выражаются через заданные функции.

Из (28), с учетом (9), находим

. (33)

Здесь - также известны.

Принимая во внимание равенства (29), (32) и (33), из (26), будем иметь

(34)

В результате ряда преобразований, равенство (34), примет вид

, (35)

, .

Принимая обозначение

представим уравнение (35) в виде

. (36)

Заключение. В силу свойств функций , и единственности решения задачи 1, интегральное уравнение Фредгольма второго рода (36) однозначно разрешимо. Обращая это уравнение через резольвенту ядра , находим , а - из равенства (33). После определения функций , из соотношений (9) и (29) решение задачи 1 в области находим как решение первой краевой задачи для уравнения (1), а в областях , как решение соответствующих задач Коши.

Таким образом, доказана однозначная разрешимость исследуемой нелокальной краевой задачи.

Список литературы

краевая задача смешанный уравнение

1. Елеев В.А., Лайпанова А.М. О существовании и единственности решения задачи Ф.И. Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия КБНЦ РАН. 2000. № 2(5). - С. 50-56.

2. Елеев В.А., Лесев В.Н. О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа // Владикавказский мат. журнал, 2001. - Т3. Вып.4. - С. 9-22.

3. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия смоленского государственного университета, 2013. №3 (23). - С. 379-386.

4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. - № 3 (106). - С. 52-56.

5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения с разрывными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. 2012. № 3 (19). - С. 392-399.

6. Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа // Дифференциальные уравнения, 1977. Т.13, №1. - С. 56-63.

Размещено на Allbest.ru