Поняття екстремуму функціоналу

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАВДАННЯ

на виконання контрольної роботи

Вступ

У першій частині даної роботи розглянуто поняття екстремуму функціоналу (максимуму та мінімуму), його розрахунок для різних типів функціоналів. Для наочності наведено кілька прикладів знаходження екстремумів функціоналів.

У другій частині розраховано оптимальний закон керування об'єктом методом варіаційного числення.

Варіаційне числення -- це розділ функціонального аналізу, який займається диференціюванням функціоналів. Задачею цього метода є знаходження екстремуму функціонала через рівняння Ейлера.

За розрахованими коефіцієнтами отримано оптимальний закон керування,

1. Поняття екстремуму функціоналу

Визначення: Функціонал має локальний максимум при , якщо для будь-якої функції близької до виконується нерівність . Якщо близькість нульового порядку, то максимум називається сильним, якщо першого й вище, то слабким. Аналогічно визначається мінімум функціонала.

Як і для функцій необхідними умовами існування екстремуму безперервного функціонала, що має варіацію, є рівність нулю варіації функціонала.

Дійсно, нехай екстремальне значення функціонала досягається на кривій , а крива близька к. Розглянемо сімейство функцій

На кривих цього сімейства функціонал буде просто функцією змінної , тобто

З огляду на необхідні умови локального екстремуму функції однієї змінної при одержимо Оскільки відповідно до подання (1) для варіації функціонала

звідси треба необхідна умова екстремуму функціонала, а саме при локального екстремуму варіація функціонала повинна бути рівної нулю

(2)

Рівняння Ейлера. Розглянемо знаходження екстремуму функціоналів виду

для функцій з умовами

Для розглянутого функціонала функція буде мати вигляд

,

а її похідна по змінній буде відповідно такий

(3)

Розглянемо окремо похідні, що входять в (3)

(4)

З огляду на другу рівність (4), одержимо

У силу граничних умов варіація на границях, тобто при Тому умова рівності нулю варіації функціонала , згідно (3) прикмет вид

Оскільки ця умова повинне виконуватися для довільної варіації , звідси треба рівняння

(5)

ейлер функціонал екстремум

або в розгорнутому виді

. (5')

Рівняння (5), це одне з основних рівнянь варіаційного обчислення - рівняння Ейлера для знаходження функцій, на яких функціонал приймає екстремальне значення. Розглянемо кілька прикладів використання рівняння Ейлера.

Приклад 1. Знайти екстремальні криві функціонала

Знаходимо: Звідси рівняння Ейлера в даному конкретному випадку буде мати вигляд Екстремальні криві , а рішення нашого завдання

Приклад 2. Знайти криву, що проходить через дві задані на площину точки за умови мінімуму часу руху матеріальної точки по даній кривій у поле сил ваги, уважаючи зв'язок ідеальної (тертя немає) Рис 1.

Рис. 1

З огляду на, що одержимо для часу руху функціонал

Умови екстремуму функціонала приводять до рівняння

Підстановка приводить до послідовних результатів:



Це крива із сімейства циклоїд. По такій кривій рухається точка обіду колеса при коченні по прямій без проковзування.

Функціонал від декількох змінних ( наприклад ). Екстремум визначається аналогічно Екстремуму функції декількох змінних. Спочатку розглядається , потім У кожному із цих випадків виходить своє рівняння Ейлера, а разом вони дають систему двох звичайних диференціальних рівнянь:

(6)

Екстремум функціонала, що залежить від похідних більше високого порядку, чим перший.

Якщо взяти варіацію даного функціонала й проінтегрувати її частинами n раз, одержимо з урахуванням рівності нулю на границях варіацій

,

з якого отримуємо рівняння Ейлера - Пуассона

(7)

Розглянемо екстремум функціонала

.

Функціонали від функцій декількох змінних:

Розглянемо сімейство функцій

Як і раніше будемо користуватися поданням варіації функціонала у формі

Введемо позначення:

тоді

,

З урахуванням уведених позначень варіацію функціонала можна представити у вигляді

(8)

Скористаємося тим, що

(9)

Підстановка виражень із (12) в (11) дає

(10)

де означає повну похідну по при й аналогічно повну похідну по при Якщо розписати ці похідні, одержимо

Використовуючи формулу Остроградського



а також те, що на контурі варіація в силу граничних умов, одержимо

Тоді з (8),(10) треба, що

(11)

З умови рівності нулю варіації одержимо рівняння Остроградського:

(12)

Це рівняння в частинних похідних з відповідною граничною умовою дозволяє визначити екстремаль функціонала

Приклад 1. Знайти екстремаль функціонала

У розглянутому випадку

У такий спосіб екстремаль функціонала представляє рішення завдання Дірихле для рівняння Лапласа.

Приклад 2. Знайти екстремаль функціонала

Рівняння Остроградського дає

У такий спосіб екстремаль функціонала в цьому випадку представляє рішення рівняння Пуассона для даної області.

Екстремум функціонала при наявності зовнішніх зв'язків.

Складемо нову функцію ( невизначені множники Лагранжа) і будемо шукати екстремум функціонала

У результаті одержимо систему рівнянь Ейлера

доповнену рівняннями зв'язків

2. Знайти оптимальний закон керування для об'єкту , математична модель якого має вид

x"'(t) + (3n+n/10)x"(t) + (n/2+3n²/10)x'(t) + n²/20x(t) = 30u(t) (2.1)

згідно критерію якості

I(x(t), u(t)) = J (ax² +bu²)dt (2.2)

використовуючи метод варіаційного числення;

1) - математична модель об'єкту керування; критерій якості ;

2) - оптимальний закон керування - результат розрахунку;

3) - задана математична модель щодо збурення;

4) - задана математична модель виконавчого пристрою;

5) на інтервалі 0ч5 сек. - заданий програмний вплив;

6) - вихідний сигнал;

7) - заданий збурюючий вплив.

¦ а = п/(п+2) -- параметр критерію якості,

¦ b = п/(п+4) - параметр критерію якості.

Для виконання завдання необхідно виконати наступне.

Перетворити задану MM OK в аналітичний спосіб у MM простору станів, потім з простору станів у передатну функцію.

Використовуючи MM у просторі станів знайти оптимальний закон керування.

Дослідити дію одержаного закону керування на оптимальність, для чого виконати наступне:

скласти в аналітичний спосіб математичні моделі одержаної динамічної системи щодо програмного та збурюю чого впливів (з урахуванням MM виконавчого пристрою W₂(s)) згідно наведеної схеми (рис.1); дослідити криві перехідних процесів відносно та (, у, м у програмний спосіб); дослідити криві ЛАЧХ, ЛФЧХ відносно та (у програмний спосіб); побудувати реакцію ДС на заданий програмний вплив (згідно варіанту) з урахуванням дії збурюючої перешкоди (у аналітичний та програмний спосіб).

Перетворимо диференційне рівняння в модель просторі станів:

Запишемо диференційне рівняння 3-го порядку у вигляді системи рівнянь:

(2.3)

В цьому випадку матриця A і B матимуть вигляд:

; .

Тоді математична модель динамічної системи у просторі станів матиме вигляд:

;

Щоб знайти передаточну функцію динамічної системи при нульових початкових умовах використаємо наступний алгоритм:

де Х(s) - вектор стану, А - матриця системи, U(s) - вектор керування, В - матриця керування.

Це рівняння приведемо до вигляду:

Вирішимо відносно :

Перетворимо по Лапласу друге рівняння отримаємо

де С - матриця виходу.

Підстановка в останнє рівняння дасть нам:

Звідси передатна функція системи матиме вид:

Звідки передатна функція динамічної системи.

Знайдемо оптимальний закон керування:

Підінтегральні функції функціоналів, що містять похідні більш високих порядків, чим перший, однієї незалежної змінної

для реалізації екстремуму повинні задовільняти одному диференціальному рівнянню порядку n Ейлера-Пуассона:

де

Для рівняння з похідними 3го порядку

.

Для функціоналу вигляду

 (2.4)

Система рівнянь:

Перейдемо до операторного вигляду:



За допомогою команди ilaplace виконаємо зворотне перетворення Лапласа:

Отже одержимо функцію оптимального керування:



Модель зовнішніх збурень:

Виконавчий привід:

Передаточна функція прямих ланок:

Передаточна функція замкненої системи:

Передаточна функція розімкнутої системи:



Передаточна за зовнішнім збуренням:

Дослідження системи.

Перехідна характеристика розімкнутої системи

Перехідна характеристика по помилці регулювання



Перехідна характеристика по зовнішньому впливу

ЛАЧХ розімкнутої системи



ЛАЧХ розімкнутої системи

ЛАЧХ по зовнішньому впливу



Вплив синусоїдою

Вплив імпульсами



Вплив імпульсом по збуренню

Размещено на Allbest.ru

...