Функциональные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru

ВВЕДЕНИЕ

Основная образовательная цель школьного курса математики заключается в передаче учащимся определенную систему знаний, умений и навыков по математике. В школьный курс входят такие разделы математики как основы тригонометрии, алгебра, а в высших классах знакомятся с началами анализа и основами математического анализа.

В систему ряда важных элементов по математике входят такие понятия как уравнения, функция, прогрессия и т.д. Среди представленных понятий системообразущим элементом в сознании ученика немаловажную роль играет понятие функция.

В свою очередь, ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. И всё же главная преследуемая цель - развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Достижение целей, изложенных выше, с помощью одних только стандартных задач крайне не достаточно, даже невозможно. Необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемами умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу.

Данная курсовая работа рассказывает о функциональных уравнениях, о методах их решения, также о месте и роли, значимости и актуальности данной темы в школьном курсе математики.

Актуальность данной темы трудно переоценить, учитывая сегодняшние темпы развития мира в целом. На сегодняшний день наблюдается, причем ярко, акселерация детей, что приводит к проблеме полного переосмысления системы образования на всех этапах обучения. Особо выражены видные изменения именно в системе образования.

Изучение и решение функциональных уравнений являются самыми эффективными «средствами» для достижения целей изложенных выше. В школьном курсе математики понятие функциональные уравнения не изучаются. Однако учащиеся встречаются с некоторыми видами данных уравнении, под именем «четность и нечетность функций». Функциональные уравнения также на низком уровне используются студентами высших учебных заведений. Авторы Арзамасцев А. Л. и Гомонов С. А., в статье «Вечные невидимки школьного курса математики, или функциональные уравнения в школе вчера, сегодня и завтра», причинами парадоксального «забвения» данной темы в системе образования считают следующие три аспекта: «во-первых, это может быть традиционное отсутствие соответствующего определения в школьном курсе математики при одновременном весьма широком использовании самого понятия. Именно в этом весьма странном положении оказалось такое важное математическое понятие, как «функциональное уравнение», так как использование данного вида уравнений в школьном курсе математики имеет место, а вот соответствующего определения и самого термина «функциональное уравнение» нет. Во-вторых, плохая услуга процесса качественного изучения ряда фундаментальных понятий оказывает устоявшаяся упрощенная символика, которая может стать источником недоразумений и даже ошибок»[1]. функциональный уравнение математика школьный

Возвращаясь к теме об актуальности данной работы важно отметить следующее. Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, но этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. Это очень плачевно. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Так как эта тема в школьном курсе не изучается в виду её сложности, однако при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в части на ЕНТ такие задачи встречаются.

Тема «функциональные уравнения» изучаются только в специализированных школах с уклоном в математику. Это может быть Назарбаев школы, специализированные физико-математические гимназии.

В настоящее время практически нет никаких пособий, обучающих решению функциональных уравнений, или же их катастрофически мало.

Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать читателю со скромной математической подготовкой весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений.

Функциональные уравнения оказались до такой степени забыты, что были сделаны попытки использовать данный термин в качестве имени для «обычного» уравнения вида, где и - обозначения для некоторых функций.

Цель работы - выяснить, что является функциональным уравнением их системами, найти способы решения и составить сборник задач для использования математическими классами.

Задачи исследования:

1. изучение и анализ литературы;

2. поиск способов решения функциональных уравнений и их систем;

3. решение функциональных уравнений

4. составление сборника

Объект исследования: функциональные уравнения

Предмет исследования: изучение свойств и способов решения функциональных уравнений.



Дадим определение понятию функциональное уравнение.

Определение: Функциональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная при помощи образования сложной функции с известными функциями (т.е. неизвестная функция связана с известными с помощью операции композиции).

Определение: Решением функционального уравнения называется всякая функция, при подстановке которой в функциональное уравнение вместо неизвестной функций получаем истинное равенство двух функций.

С некоторыми функциональными уравнениями учащиеся знакомятся в школьном курсе математики, f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций.

Если начать искать истоки появления функциональных уравнений в истории, то искать таковые труды в трудах античных математиков, пожалуй, не стоит - во времена Евклида и Архимеда просто не сформировалось еще само понятие «функция».

Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 - 1857) нашёл общие решения , , этих уравнений, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 - 1856) из функционального уравнения

(2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792--1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) - произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)



Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

f (x+y) = f(x)+f(y), (4)

f (x+y) = f(x)·f(y), (5)

f (xy) = f(x)+f(y), (6)

f (xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения, Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Известно, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией).

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

В конце концов, такие бурные исследования в сфере функциональных уравнений со временем затихли, и даже почти угасли.

Далее приведем примеры простейших задач на тему функциональные уравнения.

Пример 1

Пусть функция у = f(х) возрастает на R. Решите:

а) уравнение f(3х + 2) = f(4х² + х);

б) неравенство f(3х - 48) ? f(-х² + х).

Решение:

а) f(3х + 2) = f(4х² + х)

Есть такая теорема: если функция возрастает на промежутке Х, то каждое своё значение она принимает, в единственной точке. Поэтому,

3х+2 = 4х² + х;

4х² -2х-2=0;

2х² -x-1=0;

х₁=1 и х₂= -0,5

Ответ: х₁=1 и х₂= -0,5.

б) f(3х - 48) ? f(-х² + х);

3х-48 ? -х² + х;

х² + 2х - 48 ? 0;

х₁=6 и х₂= -8:

Ответ: [-8;6].

Пример 2

Пусть функция у =f(х) убывает на R. Решите неравенство:

f(2x-3)>f(х+2)

Решение:

Решаем также как и в предыдущем задании, только меняем знак у неравенства, так как функция убывает на R.

2х-3<х+2

x<5

Ответ: (-?; 5).

Немного примеров из школьного курса. Четность и не четность. Это и есть примеры функциональных уравнений с одним переменным.



Пример 3

1) Пусть

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3) Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

Тогда

Пример 4

1) Заменим в уравнении x на 1-x, получим .

2) Умножим обе части исходного уравнения на (-2) и сложим с уравнением, получим:

Пример 5

1. Пусть тогда уравнение принимает вид: .

2. Заменим в уравнении на , получим .

3. Умножим уравнение на (-2) и сложим с уравнением, получим .

Таким образом, f(x)=0



Пример 6

1) Заменим в уравнение x на , .

2)Умножим уравнение на a и вычтем из уравнения , получим -

, где

Пример 7

, x?0

1)Заменим в уравнении x на получим .

2)Выразим из исходного уравнения , получим или .

3)Подставим в уравнение , получим .

Выполним преобразования

Пример 8

f(x)+xf(1-x)=1+x

1. Заменим x на 1-x, получим f(1-x)+(1-x)f(x)=1+1-x

2. Умножим обе части уравнения f(1-x)+(1-x)f(x)=2-x на x и вычтем из уравнения f(x)+xf(1-x)=1+x, получим

Пример 9

2f(3-x)+3f(x-1)=2x-1

1)Пусть x=3-t, тогда уравнение принимает вид:

2•f(3-3+t)+3f(3-t-1)=2(3-t)-1

2•f(t)+3f(2-t)=5-2t

2)Пусть x=t+1, тогда исходное уравнение принимает вид:

2f(3-t-1)+3f(t+1-1)=2t+2-1

2f(2-t)+3f(t)=2t+1

3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:

-5f(t)=10-4t-6t-3

-5f(t)=7-10t

f(t)=2t-1,4

Ответ: f(x)=2x-1,4

Пример 10

1) Заменим x на , получим или

.

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

получаем:

Задачи для самостоятельной работы

1) f(5х - 120) > f(-х² + х).

2)

3) 5f(3-x)-6f(x-1)=2x+1

4) . , x?0

К различным методам решения функциональных уравнений можно отнести следующие приемы, такие как метод подстановки, поиск подстановок, использование однозначности функции, сюръективность и замена переменной, использование значений функции в некоторых точках, уравнение относительно f(x) и т.д.

Решение функциональных уравнений методом подстановки.

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций.

Пример 11

Найдите все функции, определённые на множестве

(-?;1)?(1;+?), удовлетворяющие соотношению

Решение:

Придадим x значение . Получим

Отсюда

Получим систему

Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2).

Отсюда



Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению

x=x - верно.

Ответ: f(x)=2x+1.

Пример 12

Решение:

1) Пусть

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3)Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:



4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

Тогда

Пример 13

Пусть a?±1 - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ? 1 и удовлетворяющую уравнению

,

Где g - заданная функция, определённая при x ? 1.

Решение: При замене

,

получаем систему

.

решением, которой при a² ? 1 является функция

Ответ:

Пример 14

Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):

Решение: В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом



и первое уравнение принимает вид:

Или

В результате получаем систему уравнений:

,

решение которой g(x) = , f(x) = x+1.

Ответ: g(x) = , f(x) = x+1.

Задачи для самостоятельной работы

1)

2)

3)

4)

Рассмотрим более сложные примеры функциональных уравнений. Решим задачи на тему функциональные уравнения с двумя переменными.

Пример 15

Найти все функции f: R>R, которые при всех х, у ? R удовлетворяют уравнению

f(х+у)=х+уf(х)+(1-х)у (1)

Решение. Пусть f - функция, удовлетворяющая (1). Поскольку (1) выполняется при всех значениях переменных х и у, то оно будет выполнятся и при конкретных значениях этих переменных. Подставив, к примеру, у равное 0 в исходное уравнение, мы получим f(х)=х. это равенство должно выполняться при любом действительном х.

Таким образом, (1)? f(х)?х не может удовлетворять уравнению (1). Это, тем не менее, не доказывает, что функция f(х)=х является решением функционального уравнения (1). Непосредственная проверка показывает, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению при всех х,у?R.

Чтобы показать необходимость выполнения проверки найденного методом подстановок решения, рассмотрим следующий пример.

Пример 16

Найти все функции f: R>R, которые при всех х, у ? R удовлетворяют уравнению

f(x+y)=x+yf(x)+(1-sinx)y (2)

Решение. Точно так же как и в предыдущем примере, устанавливаем, что для функции f, которая удовлетворяет (2), должно выполнятся тождество f(х)? х. Однако, подставив функцию f(х)= х в (2), мы тождества не получим. Поскольку никакие другие функции также не могут быть решениями (2), то данное уравнение решений не имеет.

Задачи для самостоятельной работы

1)

2)

3) f(x)cosy+f(р/2-x)siny=sin(x+y).

4) (x+y)f(x+y)=xf(x)+

Следующим методом решения функциональных уравнений является поиск подстановок.

Пример 17

Найти все функции f: R>R, которые при всех х, у ? R удовлетворяют уравнению

(3)

Решение. Поскольку требуется получить выражение f(х), попробуем избавиться от слагаемого под знаком функции. Уравнение имеет одно решение у=-1. Подставляя у=-1 в (3), получаем f(х)=. Необходимо сделать проверку.

Решим еще один пример на метод поиска подстановки, для лучшего понимания.

Пример 18

Найти все функции f: R>R, которые при всех х, у ? R удовлетворяют уравнению

(4)

Решение. Также поступим с данным примером, и здесь необходимо получить под знаком функции свободную переменную (х или у). в данном случае, очевидно, проще получить у. Решив уравнение относительно х, получаем . Подстановка любого из этих значений в (4) дает нам . Проверка также необходима.

Задачи для самостоятельной работы

Согласно классическому определению функция каждому элементу из области определения ставит в соответствие единственный элемент из области значений, т.е. является однозначной.

Данной свойство можно использовать при решении функциональных уравнений, подбирая подстановки так, чтобы получать одинаковые выражения под знаком функции.



Пример 19

Найти все функции f: R>R, которые при всех х, у ? R удовлетворяют уравнению

f(x+y)=xy. (5)

Решение. Задачу можно переформулировать так: найти такие функции, которые по сумме двух действительных чисел восстанавливают их произведение. Интуитивно ясно, что это невозможно - сумма и произведение двух чисел являются «независимыми», в то время как равенство (5) (если бы искомая функция f существовала) как раз выражало бы такую зависимость.

Действительно, система уравнений

Имеет решения при любых u и v таких, что , то есть при заданной сумме u двух чисел их произведение v может принимать бесконечно много значений.

Чтобы быстро и наглядно показать отсутствие решений уравнения (5), достаточно подставить в него две пары чисел х, у с равной суммой и разными произведениями. Например, подстановка х=0, у=2 дает f(2)=0, а подстановка х=у=1 дает f(2)=1. Из полученного противоречия следует, что искомых функций f не существует.

Рассматриваемый прием особенно полезен для исследования функциональных уравнений с одной переменной, т.к. рассмотренные ранее приемы для них не работают.

Функция f: A>B называется сюръективной, если она принимает все значения из B, т.е. ?у?B ?х?A: у=f(х).

Пример 20

Решить уравнение

(6)

Решение. Попробуем найти значение функции f в точке t ? R. Для этого найдем такое х, что х+1=t: х=t-1. Далее нужно подставить х=t-1 в исходное уравнение:

Это равенство выполняется для всех t ? R и поэтому искомая функция

f. Остается сделать проверку. В окончательном результате переменную t можно переименовать в х:

Этот пример может быть обобщен. Введем обозначения:. Тогда уравнение (6) может быть переписано в виде

f()= (7)

где и - некоторые известные функции. Ключевую роль здесь играет сюръективность функции . Действительно, если окажется, что функция ни при каком х?R не принимает значения у, то вычислить f(y) нельзя - уравнение (7) не содержит такой информации. На практике это проявится в том, что уравнение , выполняя замену которой, будет иметь решение не при всех t.



Пример 21

Решить уравнение .

Решение. Это уравнение получается из (7) при = =. Функция = принимает лишь неотрицательные значения и поэтому не выполняет сюръективного отображения R на R. Тем не менее, если рассматривать как функцию из R в [0,+?), то она будет сюръективна. Для t?0 замена t= реализуется подстановкой х= которая дает .

Что же делать с t<0? Исходное уравнение не накладывает никаких ограничений на значения f в точках t<0, поэтому их можно задавать произвольным образом. Ответ удобно записать в виде множества:

Сделаем проверку. Для любого х?R и поэтому для любой функции из указанного множества выполняется равенство f(

Пример 22

Решить уравнение

Решение. Обозначим t=. Тогда легко заметить, что правая часть выражается через t: Остается заметить, что когда х пробегает все R, t = пробегает множество [-1/2;+?). Поэтому ответом будет множество функций {f: f(x)=2x+1, x?-1/2}. В обязательном порядке следует проверка.

Задачи для самостоятельной работы

1)

2)

3)

4)

5)

Решение функциональных уравнений методом Коши.

Пример 23

Найдите функцию f(x), определённую на множестве натуральных чисел, удовлетворяющую условию f(x+1)=f(x)+d, где d - некоторое действительное число.

Решение:

1. Найдём выражения для x=1,2,3,... Получим

f(2)=f(1)+d,

f(3)=f(2)+d=f(1)+d+d=f(1)+2d, f(4)=f(3)+d=f(1)+2d+d=f(1)+3d.

2. Этот “эксперимент” подсказывает, что f(n)=f(1)+(n-1)d, где n?N.

3. Проверим, действительно ли выполняется равенство

f(x)=f(1)+(x-1)d, где x?N. Применим для доказательства метод математической индукции.

1. Проверим, выполняется ли равенство при x=1: f(1)=f(1) - верно.

2. Предположим, что равенство верно при x=n-1, где n?2, n?N, т.е.f(n)=f(1)+(n-1)d- верно.

3. Докажем, что из этого следует равенство для x=n. Т.к. f(x+1)=f(x)+d, то при x=n получим

f(n+1)=f(n)+d или f(n+1)=f(1)+(n-1)d+d; f(n+1)=f(1)+nd.

Значит, равенство верно для любого натурального n. Таким образом, решением заданного функционального уравнения будет функция f(x)=f(1)+(x-1)d, где f(1)- произвольное число.

Пример 24

Найдите все непрерывные функции, удовлетворяющие условию

f (x+y)=f(x)+f(y).

Решение:

Будем находить решение функционального уравнения постепенно, т.е. сначала найдём его решение, если является натуральным числом, затем - целым, потом рациональным и, наконец, - действительным.

1. Пусть y=x. Тогда f(2x)=2f(x).

2. При y=2x, 3x,... , получим f(3x)=3f(x), f(4x)=4f(x),…

3. Докажем методом математической индукции, что при натуральных значениях f(nx)=nf(x) (докажите это самостоятельно). (1)

4. При x=1 получим f(n)=nf(1). f(1) - постоянное число. Обозначим его через . Значит, для n?N, имеем f(x)=.

5. Положим в равенстве

(1) x=, где>0, получим

f(m)=nf. Отсюда или.

Обозначив через , получим ,

Значит, при положительном и рациональном x мы получим f(x)=.

Предполагая, что функция f(x) - непрерывна, получим f(x)=,

При x?R, x>0.

6. Возьмём в равенстве y=-x. Получим f(0)=f(x)+f(-x).

Отсюда f(0)=0.

1. Возьмём в этом равенстве y=-x.

Получим

f(0)=f(x)+f(-x) или f(-x)=-f(x) т.к. f(x)= то f(-x)=, т.е. f(-x)=.

Итак, для любого действительного решением уравнения будет функция

y=-Cx.

Ответ: f (x+y)=f(x)+f(y) - уравнение называется уравнением Коши.

Пример 25

Найдите непрерывные функции f(x), удовлетворяющие условию

. (1)

Решение:

Попробуем свести это уравнение к функциональному уравнению Коши

f (x+y)=f(x)+f(y)

с непрерывным решением f(x)=.

Пусть у=0, тогда .

Так как - постоянное число, обозначим его через и получим.

Придадим теперь х значение x+y.

Получим.

Из уравнения (1)

Получим

или

f(x+y)=f(x)+f(y)- (2).

Решением уравнения (1) является функция

y=

Значит, решением уравнения (2) будет функция

y=.

Ответ:

Пример 26

Найдите все непрерывные решения уравнений Коши:

a) f (хy) = f(x) + f(y) (x, y € R \ {0});

б) f(x + y) = f(xy) (x, y€ R);

в) f(x + y) = f(x)f(y) (x, y€. R).

Решение:

а)Пусть вначале x > 0. Положим g(x) = f(e^х).

Тогда g(x + y) = f(e^х+у) = f(e^хe^у) = f(e^х) + f(e^у) =g(x) + g(y), т. е. g(x) удовлетворяет аддитивному уравнению Коши. Так как e^х и f(x) непрерывны, то и g(x) непрерывна и имеет вид cx, где c- const. Тогда f(x) имеет вид c ln x.

В частности, f(1) = 0.

Положив x = y = -1, получаем f(1) = 2f(-1),откуда f(-1) = 0.

Для произвольного x < 0 получаем

f(x) = f(-x) + f(-1) = f(-x).

Отсюда f(x) = c ln |x| для произвольного x ? 0.

б) Положив y = 0, получаем f(x) = f(0), т.е. f(x) ? const.

Очевидно, что любая константа подходит.

в) Если f(x) = 0 для некоторого x, то f(z) = f(x)f(z-x) = 0 для любого z.

В противном случае функция, будучи непрерывной, всюду имеет один и тот же знак. Так как

f(2x) = (f(x))²,

то этот знак положителен и можно рассмотреть непрерывную функцию g(x):= lnf(x).

Имеем g(x+y) = ln(f(x)f(y)) = ln f(x)+ln f(y) =g(x)+g(y),

т.е. выполнено аддитивное уравнение Коши. Отсюда g(x) = cx для некоторого c, и f(x) = e^сх.

Таким образом, либо f(x)? 0, либо f(x) ?е^сх.



Задачи для самостоятельной работы

1) 2f (хy) = f(x)- f(y) (x, y € R \ {0});

2) f(x + y) =3 f(xy) (x, y€ R);

3) 3f(x - y) =7 f(x)f(y) (x, y€. R).

4) f(y+f(x))=x+y

5) f(y-f(x))=

Использование значений функции в некоторых точках.

Иногда бывает невозможно найти подстановку, которая бы значительно упрощала вид уравнения. Однако, если зафиксировать одну из свободных переменных, некоторые члены уравнения могут также оказаться фиксированными. Для них можно ввести удобные обозначения и использовать при решении как обычные константы. Если эти константы войдут в ответ, проверка покажет, какие их значения являются допустимыми. Часто при таком методе решения бывает полезен метод замены переменных.

Пример 27

Решить уравнение f(x+f(y))=xy.

Решение. Подстановка y=0 дает f(x+f(0))=0. На первый взгляд пользы мало, так как неизвестно, чему равно f(0). Обозначим f(0)=c, тогда получаем f(x+c)=0. Сделав замену переменной t=x+c (подстановка x=t-c), получаем f(t)=0, но такая функция очевидно не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому решений нет.

Пример 28

Решить уравнение f(x+f(y))=x+y.

Решение. Снова сделаем подстановку y=0 и обозначим c=f(0), получим f(x+c)=x. Замена t=x+c дает f(t)=t-c. Несмотря на то, что точное значение c нам неизвестно, мы уже знаем, что лишь функция вида f(x)=x-c, где c=const, могут удовлетворять уравнению при всех x,y. Чтобы найти c, подставим найденную функцию в исходное уравнение (заодно таким образом сделаем проверку):

f(x+f(y))=f(x+(y-c))=(x+(y-c))-c=x+y-2c.

Отсюда видим, что равенство f(x+f(y))=x+y выполняется для всех x,y при c равном 0 и только при нем. Поэтому ответ f(x)=x.

Пример 29

Решить уравнение f(x-f(y))=x-y.

Решение. Решая это уравнение аналогично предыдущему, получим f(x)=x+c. Если теперь сделать проверку, окажется, что

f(x-f(y))=f(x-(y+c))=(x-(y+c))+c=x-y

для всех x,y,c ?R. Поэтому ответом будет семейство функций f(x)=x+c, c?R.

Задачи для самостоятельной работы

1) f(x+y)=f(x)+y

2) f(x+y)=f(x)-y

3) f (x+y)=y-f(x)

4) f(x+y)=f(f(x))+y

Решим функциональные уравнения методом уравнения относительно f(x).

Пример 30

Найти все f: R>R такие, что

. (9)

Решение. Рассматривая это как уравнение относительно неизвестного f(x), получаем

(10)

Может показаться, что ответом будет две функции, f(x)?1 и f(x)?-1. Однако, это не так.

Рассмотрим, например, функцию

f(x)=

Несложно видеть, что такая функция удовлетворяет уравнению. Какой же смысл придать совокупности (10)? Поскольку исходное равенство (9) должно выполняться для всех x?R, то и совокупность (10) также должна выполняться для всех x?R, то есть для каждого х имеет место одно из равенств. Однако неверным будет предположение, что одно из равенств выполняется сразу для всех х. как видно на примере, для одних х может выполняться одно из равенств, а для других - другое.

Попробуем охарактеризовать множество функций, задаваемое уравнением (9). Пусть A- множество тех х, для которых выполнено первое равенство. Тогда для всех остальных х должно быть выполнено второе. Видно, что множество A однозначно задает функцию f:

f(x)=

Остается проверить, что при любом A?R для всех x?R функция указанного вида удовлетворяет равенству (9).

Ответ также может быть записан в виде E(f)={±1}, где E(f) обозначает множество значений функций f.

Пример 31

Найти все f: R>R такие, что

Решение. Подстановка x=y=0 дает f(0)=0.

Подставим теперь y=0. Получим

Как мы уже знаем, для каждого x?R существуют две возможности: f(x)=x или f(x)=-x. Однако в данном случае не все функции f с f(x)=±x будут решениями.

Именно, докажем, что лишь функции f(x)?x и f(x)?-x удовлетворяют условию.

Если f не совпадает ни с одной из этих функций, то найдутся такие x,y?0, что f(x)=x, f(y)=-y. Тогда, подставив их в исходное уравнение, получим , откуда следует, что xy=0. Получили противоречие.

Остается проверить, что указанные функции удовлетворяют уравнению при всех x,y?R.

Задачи для самостоятельной работы

Графическое решение функционального уравнения.

Пример 32

При каких а и b для функции f(х)=a|x-b| +3a|x-b | выполнено условие при всех действительных х : f(х)=f(f(х)) ?

Решение:

1. При а=0 функция f(х)=0, и уравнение, очевидно, удовлетворяется.

пусть а>0, тогда при больших х>0 функция

f(х)=а(х-b)+3a(x-b )=4ax-a(b+3b )>0

По рис.1 определяем, что возможно только равенство f(х)=х, если значения х достаточно велики и х>0. Конкретно, х>max{b;b }.

Следовательно, возможные значения для параметров a и b определяются из системы:

Которая имеет два решения:

,

При а=1/4, b=-1/3 получаем функцию

Ее график (рис.2) является графическим решением уравнения

f(х)=f(f(х))

2. Теперь предположим, что а<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

Следовательно, возможные значения для параметров а и b определяются из системы

Которая имеет два решения:

,

Если a=-1/4, b=0,

то функция f(х)=-|х| удовлетворяет уравнению f(х)=f(f(х))

Если a=-1/4, b=-1/3, тогда получаем функцию

А вот ее график (рис. 3) не является графическим решением уравнения f(х)=f(f(х)).

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

1) f(9x-7)<f(8х-2)

2) f(14х + 2) = f(4х² +12х)

3) f(7х - 48) ? f(-х² + 5х)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

58)

59)

60)



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и некоторые способы их решения. Работа была сделана в виде учебного пособия, в которой имеются упражнения для самостоятельного решения. Были рассмотрены также различные методы решения функциональных уравнений с несколькими переменными. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения - это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Данный вид уравнений позволяет развивать математическое мышление у учащихся, развивать логику и дедукцию. Доказательством этого суждения может служить любой пример функциональных уравнений. Решая функциональные уравнения, учащиеся исследует поведение функции, начинает понимать смысл подстановки и учится правильно находить замены переменных. Поэтому изучение функциональных уравнений должно является приоритетом не только ученых, но и главным образом студентов.

Все поставленные в данной работе цели и задачи выполнены.

Если кто-то возьмется за изучение функциональных уравнений, он добьется очень многого. Так как функциональные уравнения таят в себе очень много интересного, данная тема является связующим звеном всей науки математики.

Как было отмечано выше, учебные пособия по решению функциональных уравнений очень малы. В ходе изучения нашлись немногие авторы, в лице Просветова Г. И., Арзамасцев А. Л., Гомонов С. А., Андреев А.А., Лихтарников Л.М., Савин А.Н., Саушкин И.Н., которые изучают данный раздел математики.

На конец, напомним, что и знаменитые последовательности Фиббоначи- это решения функционального уравнения вида F(x+2)=F(x+1)+F(x), x?N, и что вообще-то сами функциональные уравнения и некоторые методы их решения (метод подстановки, метод Коши, метод «сведения на себе» и др. )- прекрасная тема для цикла занятий школьного математического кружка или даже целого элективного курса, тем более что задачи на исследование функциональных уравнений - обычные гости математических олимпиад самого высокого уровня.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арзамасцев А. Л., Гомонов С. А. Вечные невидимки школьного курса математики, или функциональные уравнения в школе вчера, сегодня и завтра//Научно-методический электронный журнал «Концепт».-2015.-№1 (январь).- С. 6-10. -URL: http://e-koncept.ru/2015/15002.htm.

2. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. - Самара: В мире науки, 1999

3. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. - К.: Высшая школа. Головное издательство, 1983. - 96 с

4. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 - 120

5. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.- СПб.: Лань, 1997. - 160 с

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. - М.: Наука, 1968, c. 157 - 162

7. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения.- М.: «Высшая школа», 2005,с.190-199



ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Размещено на Allbest.ru

...