Классическая задача для нагруженного гиперболо-параболического уравнения второго порядка

Особенность использования свойств гипергеометрической функции Гауса и классических методов интегральных уравнений. Характеристика получения двухточечной краевой задачи для обыкновенного нагруженного интегро-дифференциального математического равенства.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 20.05.2017
Размер файла 77,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Введение

В современной научной литературе имеется немало работ посвященных краевым задачам для смешанных уравнений (например [1-6]). Вместе с тем, развитие фундаментальных основ данной теории базирующееся на практически важных проблемах физики и механики и в значительной степени усиливает интерес к изучению нагруженных уравнений в классических и нелокальных задачах.

В настоящей работе представлены результаты исследования однозначной разрешимости задачи для нагруженного параболо-гиперболического уравнения в односвязной области с классическими краевыми условиями и разрывными условиями сопряжения для следа производной искомой функции на линии изменения типа.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

в конечной односвязной области , ограниченной отрезками прямых и характеристиками

уравнения (1) при - заданная непрерывная функция, причем

или .

Пусть - параболическая и гиперболическая части области соответственно.

Исследуем следующую задачу.

Задача 1. Найти функцию , обладающую свойствами:

1)

2) - регулярное решение уравнения (1) в ;

3) на линии вырождения типа (1) выполняются условия склеивания

;

4) удовлетворяет краевым условиям

,

где - заданные непрерывные функции, а - дважды непрерывно дифференцируемая заданная функция.

2. Доказательство однозначной разрешимости задачи 1

Пусть ,

где .

Известно [7], что решение уравнения (1) в полуплоскости , удовлетворяющее начальным данным:

,

единственно и имеет вид

,

.

Используя краевое условие (4), нетрудно получить функциональное соотношение между и , принесенное из гиперболической части на линию y=0 в виде

,

где

, .

Дифференцируя равенство (7) дважды по , получим

.

Переходя теперь к пределу в уравнении (1) при получим второе функциональное соотношение между и , принесенное из параболической части на линию y=0 в виде:

Исключая из уравнений (8) и (9) функцию , получаем относительно интегральное уравнение Вольтерра второго рода

.

С учетом непрерывности функции на , единственное решение уравнения (10) можно записать в виде

,

где

функция типа Миттаг-Леффлера.

Подставляя в (7) значение , а затем, применяя формулы перестановки Дирихле-Фубини, получим

Принимая во внимание [8]:

равенство (12) можно записать в виде

Производя замену во внутреннем интеграле (13), будем иметь

Таким образом, правая часть равенства (13) совпадает с выражением

Подставляя значение из (12) в (14), получим:

Полагая в равенстве (15), приходим к соотношению

Из последнего равенства, при выполнении условия

однозначно находим

.

После определения в области приходим к задаче (1), (3) и . Решение этой задачи дается формулой [9]:

,

,

- функция Грина указанной выше задачи для уравнения теплопроводности [9].

Переходя к пределу при в равенстве (17), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции :

где представляется через и функцию .

Интегральное уравнение (18) однозначно разрешимо в требуемом классе функций.

Следовательно, решение исходной задачи в гиперболической части может быть найдено как решение задачи Дарбу.

Рассмотрим теперь случай, когда , т.е. при

Решение задачи Коши (1), (5) в этом случае имеет вид [7]:

Удовлетворяя (19) краевому условию (4), получаем

или, заменяя на и полагая будем иметь

Отсюда, применив известную формулу обращения интегрального уравнения Абеля, приходим к соотношению:

,

где

Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле в правой части (21), а затем, вводя новую переменную интегрирования и, используя формулу интегрального представления гипергеометрической функции, находим

Далее, применяя последовательно к последнему равенству формулы [8]:

, ,

.

Принимая во внимание следующие, легко устанавливаемые соотношения:

,

с учетом того, что , окончательно получим:

.

Таким образом, функциональное соотношение между и , принесенное из гиперболической части на линию , имеет вид (23).

Исключая из уравнений (10) и (23) функцию , получаем двухточечную краевую задачу для обыкновенного нагруженного интегро-дифференциального уравнения

,

, .

Интегрируя (24) от 0 до , находим

.

Преобразуем двойные интегралы в последнем равенстве. Будем иметь:

.

Отсюда, в результате несложных преобразований получим:

гипергеометрический интегральный уравнение дифференциальный

Считая правую часть равенства (27) известной и равной , относительно получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

,

.

Обращая полученное уравнение (28), будем иметь:

,

где - резольвента ядра уравнения (28).

Учитывая в (29) значение , можем записать:

,

где

,

,

, .

Интегрируя (30) от 0 до , будем иметь:

.

Полагая в (31) , однозначно определяем :

,

при условии что выражение, стоящее в знаменателе (32) отлично от нуля.

Затем, подставив это значение в (31), полностью определим .

Заключение

Таким образом, в работе для различных случаев параметра определяющего порядок вырождения гиперболического уравнения доказана однозначная разрешимость нагруженного уравнения смешанного типа.

При этом вопрос разрешимости исходной задачи 1 был эквивалентно редуцирован методом интегральных уравнений к вопросу разрешимости задачи с краевыми условиями (3) и для параболического уравнения в области , и вопросу разрешимости первой или второй задач Дарбу в области соответственно.

Список литературы

1. Елеев В. А. О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа /В.А. Елеев, В.Н. Лесев// Владикавказский мат. журнал, 2001. - Т3. Вып.4. - С. 9-22.

2. Лесев В.Н. Задача со смещением и негладкими условиями сопряжения для смешанного уравнения второго порядка/В.Н. Лесев// Сборник научных трудов SWorld, 2013. - Т. 4. № 4. - С. 66-68.

3. Лесев В.Н. Краевая задача для смешанного уравнения с перпендикулярными линиями изменения типа /В.Н. Лесев// Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ, 2014. - № 98 (04). - С. 105-125.

4. Лесев В.Н. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения / В.Н. Лесев, А.О. Желдашева// Известия смоленского государственного университета, 2013. №3 (23). - С. 379-386.

5. Лесев В.Н. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области / В.Н. Лесев, А.О. Желдашева// Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. - № 3 (106). - С. 52-56.

6. Лесев В.Н. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения с разрывными условиями сопряжения / В.Н. Лесев, А.О. Желдашева// Известия Смоленского государственного университета. 2012. № 3 (19). - С. 392-399.

7. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов // Москва: Высшая школа, 1985. - 304 с.

8. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение / А.М. Нахушев / - Нальчик: изд-во КБНЦ РАН. 2000. - 299 с.

Аннотация

КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Лайпанова Аида Манафовна к.ф.-м.н., доцент,

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), Россия, 127994, Москва, Новосущёвская, 22

Башиева Анжела Хамидовна

Северо-Кавказская государственная гуманитарно-технологическая академия, Россия, 369000, КЧР, Черкесск, Ставропольская, 36,

В работе поставлена и исследована корректная краевая задача для смешанного нагруженного параболо-гиперболического уравнения второго порядка в ограниченной области. Краевые условия носят классический характер. На линии изменения типа, которая также является линией параболического вырождения для гиперболического уравнения, рассматриваемого в нижней полуплоскости, задано непрерывное условие склеивания для самой функции и разрывное условие для следа производной. Основным результатом работы является доказательство ее однозначной разрешимости в требуемом классе функций. В частности, на основе свойств операторов дробного интегро-дифференцирования и с учетом соотношений определяющих решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, вопрос разрешимости исходной задачи был эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости соответствующего интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В гиперболической части области, вопрос разрешимости задачи также был редуцирован к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода. При этом были использованы свойства гипергеометрической функции Гауса, а также классические методы интегральных уравнений. Таким образом доказаны единственность и существование решения исходной классической задачи

Ключевые слова: НАГРУЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ, ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ТИП, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

A CLASSICAL PROBLEM FOR LOADED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION OF SECOND ORDER

Laipanova Aida of Manafovna Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor

Moscow State University of Communications, Moscow, Russia,

Bashiyeva Anzhela Khamidovna

North Caucasian state humanitarian and technological academy, Russia, Cherkessk,

The investigated and correct boundary value problem for mixed hyperbolic-parabolic equation of second order in a bounded domain is posed and studied in this work. Boundary conditions are of a classical nature. On line of type changes, which is also the line of the parabolic degeneracy for hyperbolic equations considered in the lower half-plane, a continuous bonding condition for the function itself and the breaking condition for the trace of the derivative is given. The main result is the proof of its unique solvability in the required class of functions. In particular, based on the properties of the operators of fractional integro-differentiation and in view of the ratio of the first boundary value problem for the heat equation, the question of the solvability of the original problem was equivalently reduced to the problem of solvability of the corresponding integral equation of the Voltaire second kind. In the hyperbolic part of the region, the question of solvability of the problem has also been reduced to the problem of solvability of the integral equation Voltaire second kind. The properties of the hypergeometric function of Gauss, aswell as classical methods of integral equations were used. Thus it is proved the uniqueness and the existence of classical solution to the initial problem

Keywords: LOADED EQUATION, HYPERBOLIC- PARABOLIC TYPE, BOUNDARY VALUE PROBLEM, EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTION, INTEGRATED EQUATIONS

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.

    контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013

  • Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.

    курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012

  • Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.

    курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015

  • Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.

    реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009

  • Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013

  • Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.

    курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011

  • Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.

    методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010

  • Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.

    задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013

  • Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.

    дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013

  • Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.

    контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012

  • Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

    лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012

  • Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015

  • Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.

    реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013

  • Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.

    курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011

  • Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013

  • Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.

    реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015

  • Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.

    контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013

  • Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.

    курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013

  • Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.

    контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009

  • Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.

    контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.