Алгебра матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ТАРАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Реферат

на тему: «Алгебра матрицы»

Группа: М-14-2

Выполнила: Нунузова Г. К.

Проверил: ст. препод. Сманов К. Ж.

Тараз 2014

Содержание

Ведение

1. Алгебра матрицы

1.1 Матрица. Основные определения

1.2 Действия над матрицами

1.3 Обратная матрица

1.4 Применение матрицы и ее функции

Заключение

Список используемой литературы

Ведение

Численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.

Среди задач Л. а. наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраических уравнений и определение собственных значений и собственных векторов матрицы.

Другие часто встречающиеся задачи: обращение матрицы, вычисление определителя и нахождение корней алгебраического многочлена, как правило, не имеют самостоятельного значения в Л. а. и носят вспомогательный характер при решении основных задач Л. а.

Любой численный метод в Л. а. можно рассматривать как некоторую последовательность выполнения арифметических операций над элементами входных данных. Если при любых входных данных численный метод позволяет найти решение задачи за конечное число арифметических операций, то такой метод наз. прямым. В противоположном случае численный метод наз. итерационным.

1. Алгебра матрицы

1.1 Матрица. Основные определения

Матрицей А=( аij ) m,nназывается прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Числа aij составляющие данную матрицу, называются её элементами; i - номер строки матрицы, j - номер столбца. Она называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы, в которых все диагональные элементы равны, т.е. называются скалярными матрицами.

1.2 Действия над матрицами

Две матрицы называются равными, А=В, если их соответствующие элементы равны, т.е.

аij = bij , (i 1, m; j 1, n).

Суммой двух матриц называется матрица

C=A+B,

элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, т.е.

Для суммы матриц справедливы следующие свойства:

A+B=B+A - коммутативность;

A+(B+C)=(A+B)+C - ассоциативность;

A+О=A.5

матрица алгебра математический

Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы С, необходимо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В результате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов - с числом столбцов второго сомножителя.

Для произведения матриц справедливы следующие свойства:

1. A(BC) = (AB)C 3. (A + B)C = AC + BC

2. (AB) = (A)B 4. C(A+B) = CA + CB

Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений. Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ ВА.

Если

АВ=ВА,

то матрицы А и В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем

АЕ=ЕА=А.

Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы, стоящего на ее главной диагонали, на единичную матрицу того же порядка:

А=Е.

Легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно.

Квадратную матрицу А можно возвести в степень n , для чего ее надо умножить на саму себя n раз, т.е.

Транспонирование матрицы - это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами:

1.3 Обратная матрица

Пусть задана квадратная матрица A (aij ) порядка n.

Определение. Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению A1 A AA1 E

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А*, каждый элемент Aij которой есть алгебраическое дополнение элемента aij транспонированной матрицы А, т.е.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. Определитель е. |A-1|= 1 .A

2. Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и AB1 B1 A1 .

3. Если матрица А невырожденная, то A1 1 A .

4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной

1.4 Применение матрицы и ее функции

Матрица как предмет вычисления и анализа данных используется не только в математике. Матрица анализ возможностей и угроз предназначена для суммирования и оценки внешних экономической, политической, социальной, культурной, демографической, правовой, технологической, конкурентной и общественной информации. Для составления данной матрицы необходимо выявить возможности и угрозы развития компании для этого можно использовать матрицу анализа внешних стратегических факторов матрицу определения приоритетных внешних факторов и лист анализа конкуренции.

В МПВК(многопроцессорный вычислительный комплекс) с перекрестной коммутацией все связи осуществляются с помощью специального устройства - коммутационной матрицы. Коммутационная матрица позволяет связывать друг с другом любую пару устройств, причем таких пар может быть сколько угодно - связи не зависят друг от друга. Коммутационная матрица выполняет передачу данных между процессорами и памятью, а также между процессорами ввода-вывода и памятью.

Профильная матрица конкурентов определяет основных конкурентов, анализируемой компании, а так же их сильные и слабые стороны по отношению к ней. В процессе анализа анализируются не только внешние, но и внутренние факторы. В общем, данная матрица помогает получить важную стратегическую информацию для анализа компании. Матрица анализа слабых и сильных сторон позволяет суммировать и проанализировать основные слабые и сильные стороны компании. Так же как и матрица анализа возможностей и угроз матрица анализа слабых и сильных сторон не является объективным инструментом, так как построена на предположениях аудитора. Так мы приходим к пониманию рекламной матрицы, как схемы, позволяющей понять плюсы и минусы конкретного рекламного сообщения и скорректировать свои действия. Данная матрица позволяет не только проанализировать конкретное рекламное сообщение на эффективность, но и определить ту точку, в которой в настоящее время находится бренд с точки зрения восприятия потребителем его коммуникационной активности и выбрать нужный вектор изменений рекламной стратегии. Матрица рентабельности как средство управления ассортиментом. Матрицу рентабельности можно изобразить в виде электронной таблицы. Назначение матрицы рентабельности предназначена для оперативного, а не стратегического управления. При ее построении используется только внутренняя информация, которая уже имеется в компании и позволяет вычислить необходимые показатели с высокой степенью точности

Заключение

Различают полную проблему собственных значений, когда ищутся все собственные значения, и частичную проблему, когда отыскивают некоторые из них, возникающих при аппроксимации дифференциальных и интегральных уравнений. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Эти методы дают решение системы в виде предела последовательности некоторых векторов; построение их осуществляется посредством единообразного процесса, наз. процессом итераций.

Основные итерационные процессы для решения системы (1) могут быть описаны посредством единообразного процесса следующей общей схемой.

Строится последовательность векторов

по рекуррентным формулам

где - некоторая последовательность матриц, x⁽⁰⁾ - начальное приближение. Различный выбор последовательности матриц H^(k) приводит к различным итерационным процессам.

Выбор матрицы H для стационарного процесса и матриц H^(k) для нестационарного может осуществляться различными способами.

Возможно построение матриц H^(k) таким образом, чтобы итерационный процесс сходился к решению и по возможности быстро для широкого класса систем уравнений.

Возможен и противоположный подход, когда при построении матриц H^(k) максимально используются частные особенности данной системы для получения итерационного процесса с наибольшей скоростью сходимости Второй способ построения матриц H^(k) является наиболее распространенным.

Список используемой литературы:

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968;

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, 1971;

3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984;

4. Демидович Б.П. и Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966;

5. Блох Э.Л, Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. - М.: Высшая школа, 1971;

6. Линейная алгебра: учебное пособие/Балюкевич Э.Л.,

Горбовцов Г.Я., Громенко Т.С., Ковалева Л.Ф., Мокеева И.К.; Моск. эконом.-стат. ин-т. - М., 1988

Размещено на Allbest.ru