Система расчета равновесного состояния упругой среды, ослабленной плоской симметричной трещиной
Решение интегро-дифференциального уравнения задачи о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве. Построение рекуррентного процесса для определения последовательных приближений функции Гельдера. Использование формулы Адамара и Лагранжа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.05.2017 |
| Размер файла | 74,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Донской государственный технический университет
СИстема расчета равновесного состояния упругой среды, ослабленной плоской симметричной трещиной
Авторы:Волошин А.Г., студент ДГТУ;
Ступина М.В. студентка ДГТУ
Научные руководители:
Соболь Борис Владимирович,
заведующий кафедрой Информатика ДГТУ,
профессор, д. т. н.;
Рашидова Елена Викторовна,
преподаватель кафедры Информатика ДГТУ,
доцент, к. физ.-мат. наук.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что в настоящее время в промышленности находят широкое применение конструкции, содержащие оболочки, одной из главных причин разрушения которых является наличие неоднородностей, например, трещин. Поэтому задача расчёта элементов конструкций, содержащих неоднородности достаточно широко встречаются в теории упругости и строительной механике [1ч3].
Задача о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве сведена к решению интегро-дифференциального уравнения, не содержащего оператора Лапласа [1]. Это уравнение позволило получить приближённое решение задачи в форме двукратного интеграла по области Щ, занятой трещиной. При этом считается, что область Щ имеет две взаимно-ортогональные оси симметрии, а ограничивающий эту область контур L является достаточно гладким.
Для уточнения полученного решения построен рекуррентный процесс, аналогичный предложенному в [2]. Результаты вычислений свидетельствуют о его сходимости. Данное решение является обобщением результатов работы [3], где рассмотрена задача для трещины, форма которой в плане близка к круговой.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение задачи о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве в виде
(1)
Здесь - амплитуда раскрытия трещины; - интенсивность нормальной нагрузки, приложенной к берегам трещины; , E - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона. Функция удовлетворяет очевидному условию
(2)
Непосредственное интегрирование уравнения (1) и учёт симметрии задачи приводит его к виду:
(3)
Если кривизна контура L, рассматриваемая как функция дуги S, принадлежит , то решение уравнения (3) имеет вид [1]
(4)
где - уравнение контура L, ограничивающего область трещины Щ, a - постоянная, имеющая размерность длины.
При сделанных предположениях относительно области Щ функция является четной функцией по обеим переменным. С учетом этого, преобразуем уравнение (3) к виду
(5)
(6)
Можно показать, что является четной функцией по о и з и нечетной - по x и y.
е - отношение характерных размеров трещины a и b в плане, соответственно, по осям Ox и Oy: - интенсивность нормальной нагрузки, приложенной к берегам трещины (рисунок 1);
(рис. 1)
РЕШЕНИЕ
Для решения задачи в безразмерных величинах использована следующая замена переменных
Итерационный процесс определения последовательных приближений функции строится по следующей схеме
(7)
(8)
Из предположения о том, что удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным, можно сделать вывод, что выделение в (7) разностных множителей (в отличие от [2]) позволяет устранить сингулярную особенность по одной из переменных. Это приводит к повышению эффективности вычислительного процесса по схеме (7).
На осях симметрии функция принимает вид
(9)
(10)
Из (9) легко найти
(11)
Интегралы в (9) - (11) могут быть вычислены с использованием формулы Адамара.
Соотношения (9) и (10) получены соответствующими предельными переходами (6). Предварительно произведена группировка слагаемых в (6), в результате чего
(12)
где
Интеграл (12) представим в виде суммы интегралов
где
Учтём, что
Здесь также учтено, что область, занятая трещиной, является симметричной относительно обеих осей, ее контур задан уравнением
где m,n - натуральные числа.
При m=2, n=1 имеем
Для повышения эффективности вычисления интеграла , область интегрирования разобьем на две, выделив внутри круг максимального радиуса , т.е. , где контур области - определяется уравнением
В результате для рассматриваемой области получим:
где
Выделим разностный множитель в выражение для
где
E(k) - полный эллиптический интеграл 2-го рода,
Итак, суммируя проведённые рассуждения, получим:
(13)
Подставляя выражение (13) в (8), получим начальное приближение
(14)
Вычисление функций в схеме (7) осуществлялось по следующей методике. уравнение трещина гельдер лагранж
Рассчитывались значения функций в узлах равномерной сетки , после чего функция в интегралах (7) заменялась интерполяционным многочленом Лагранжа
(15)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Задача о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве решена на основе интегро-дифференциального уравнения (1).
Нулевым приближением решения является уравнение (14). Для уточнения полученного решения построен рекуррентный процесс (7).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физмалит, 1993. 224 с.
[2] Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного плоскими трещинами //ПММ.1984.Т. 48. Вып. 6. с. 1030-1038.
[3] Рашидова Е.В., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесная плоская симметричная трещина в неограниченной упругой среде. В кн.: Одиннадцатая международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007 г.
ANNOTATION
The system of calculating equilibrium state of elastic environment weakened by flat symmetric crack. Voloshin A.G., Stupina M.V.
Flat crack's problem of normal rupture in the elastic space is shown equivalent the decision of Integra-differential equation [1]. This equation allows to get approximate decision of the problem as a double integral in area occupied by crack. We assume that area has two mutual-orthogonal axes of symmetry, and area's boundary L is smooth enough. The recurrent process has been built to specify decision finally obtained. Results of calculations testify that recurrent process converges.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнения с разделяющими переменными. Частное решение линейного дифференциального уравнения. Оценка вероятностей с помощью неравенства Чебышева. Нахождение плотности нормального распределения. Построение гистограммы и выборочной функции распределения.
контрольная работа [387,4 K], добавлен 09.12.2011Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Применение функции Лагранжа в выпуклом и линейном программировании. Простейшая задача Больца и классического вариационного исчисления. Использование уравнения Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи. Краевые условия для нахождения констант.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.01.2013Получение выражений для рассеянного поля и волн (падающей, отраженной, прошедшей), нахождение волнового поля внутри неоднородного цилиндрического слоя по методу Гаусса с выбором главного элемента и реализация данных алгоритмов в виде прикладной программы.
курсовая работа [162,4 K], добавлен 25.05.2010Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Основные правила расчета значений дифференциального уравнения. Изучение выполнения оценки погрешности вычислений, осуществления аппроксимации решений. Разработка алгоритма и написание соответствующей программы. Построение интерполяционного многочлена.
курсовая работа [212,6 K], добавлен 11.12.2013Основные признаки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функций. План решения текстовых задач на экстремум. Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. Длина плоской кривой.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.11.2010Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.
задача [226,9 K], добавлен 21.06.2009Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Исследование системы на совместность, составление канонического уравнения эллипса. Изучение функции методами дифференциального исчисления, поиск точки разрыва функции.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 16.04.2010Итерационные методы (методы последовательных приближений) для решения уравнений. Одношаговые итерационные формулы. Метод последовательных приближений Пикара. Возникновение хаоса в детерминированных системах. Методы решения систем алгебраических уравнений.
контрольная работа [166,2 K], добавлен 04.09.2010Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.
презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013Применение теоремы Лагранжа при решении задач. Ее использование при решении неравенств и уравнений, при нахождении числа корней некоторого уравнения. Решение задач с использованием условия монотонности. Связи между возрастанием или убыванием функции.
реферат [726,8 K], добавлен 14.03.2013Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
курсовая работа [160,5 K], добавлен 23.12.2010
