Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей

А.С. Нитейский, К.Л. Панчук,

ОмГТУ, каф. ИГ и САПР, г. Омск

В работах [1, 2] были представлены результаты исследования соприкосновения косых (неразвертывающихся) линейчатых поверхностей по их общей образующей прямой.

Рассмотрим применение этих результатов для соприкасающихся линейчатых развертывающихся поверхностей (ПЛР).

Уравнение линейчатой поверхности может быть выражено в дуальной векторной форме [3]:

, щ²=0,

где - единичный вектор образующей прямой; - момент вектора относительно начала координат системы отнесения; - дуальный единичный вектор с координатным представлением

,

;

t - вещественный параметр T₀ ? t ? T₁. Полагаем, что дуальная векторная функция обладает на отрезке изменения параметра т непрерывными производными любого порядка. В центральной точке А образующей линии линейчатой поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:

; ; .

Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид [3]:

, (1)

Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра:

.

Пусть для другой ПЛР с уравнением:

, щ²=0

имеют место геометрические предпосылки, аналогичные указанным для первой:

.

Если разложить дуальные векторные функции и в ряд Тейлора по степеням приращения ?t их образующих t₀ и то, учитывая существование функции:

,

можно получить дуальный вектор расхождения соприкасающихся ПЛР в их общей образующей:

,

представимый также в виде разложения в ряд Тейлора. Вектор , характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей образующей, определяется двумя образующими и , каждая из которых смещена по своей ЛП на одну и ту же дуальную дугу от общей образующей.

Если и - поверхности ПЛР, но не цилиндрические и не конические, то параметры Р иих образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг ?s и - вещественные числа ?s₀ и . Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР , ее образующая будет касательной в точке А ребра возврата, - главной нормалью и - бинормалью, поскольку по определению определяет ось вещественного угла: развертывающаяся линейчатая поверхность соприкосновение

,

принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где k и - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).

Для соприкосновения порядка n=1 из условий обеспечения данного порядка:

;;, (1)

.

В итоге получаем:

,

(2)

Таким образом, соприкосновение n = 1 для двух ПЛР приводит к совпадению их триэдров:

и к выполнению равенства (2). Если к первым двум равенствам (1) добавить:

;

то получим условия обеспечения соприкосновения второго порядка двух линейчатых поверхностей. Поскольку имеют место уравнения:

; , (3)

то в общей образующей соприкасающихся ПЛР выполняются условия:

;;, (4)

из которых следуют равенства:

; ; ,

;

- элементы дуальных дуг ЛП, образованных бинормалями и соответственно стрикций (ребер возврата) соприкасающихся ПЛР, при этом

.

Из дифференциального уравнения стрикции линейчатой поверхности [3]

с учетом условий для ПЛР: h₁=0, q₁?0, следует уравнение ее стрикции:

.

Из него следует:

.

Таким образом, с произвольным знаком получаем:

(5)

с учетом (5) можно получить:

(6)

Из третьего дуального равенства (4) следуют вещественные равенства:

что позволяет записать:

(7)

Учитывая (2), получаем итоговый результат:

(8)

Для элемента дуальной дуги, образованной перемещением бинормали , можно записать [3] дуальные равенства:

,

из которых, по разделению главных и моментных компонент, на основании (7) следует:

;

Таким образом, имеет место следующий результат:

(9)

Элемент дуальной дуги бинормали ребра возврата ПЛР может быть выражен известным образом [4]:

(10)

где - кручение линии (А) в точке А. Поскольку имеет место результат (9), то следует:

(11)

т.е. кручения ребер возврата (А) и () соприкасающихся ПЛР в центральных точках их совмещенных образующих также равны. Из (10) и предыдущих результатов, следует:

что позволяет получить следующие результаты:

Для параметра элемента дульной дуги имеют место соотношения:

(12)

что приводит с учетом (11) к равенству:

(13)

Определим теперь элемент дуальной дуги, описываемой главной нормалью линии (А) на основании дуального уравнения [4]

(14)

Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты, получим:

После подстановки в это уравнение ранее полученных результатов, а именно:

,

приходим к следующей формуле:

Рис. 1. К соприкосновению двух ПЛР

Из формулы (14), с учетом ранее доказанных равенств:

и ,

(15)

Для параметра дуального элемента на основании (8) и (11) можно записать:

(16)

Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная формула [4]

, (17)

- дульный угол между образующей поверхности ПЛР и соответствующей ей прямой, определяемой единичным винтом , представляющем собой главную часть единичного дуального вектора:

(Рис. 1).

Если подставить в формулу (17) выражение элементов и , то получим уравнение:

(18)

из которого, с учетом (8) и (11), следует:

(19)

Если же деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной координатной форме, то для случая ПЛР получим уравнения:

(20)

где тройки {x,y,z}, {x₁,y₁,z₁} и {б,в,г} суть координаты единичных дуальных векторов , исоответственно.

;

;

;

где - единичный дуальный вектор главной нормали поверхности ПЛР для ее образующей прямой . С учетом изложенного и уравнений (20) получаем:

Таким образом, у соприкасающихся ПЛР вдоль их общей образующей совмещены триэдры эволют первого порядка:

Из равенства следует:

, .

По этому уравнению можно определить вторую производную:

(21)

(21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего условия (4). Определим производную дуальной кривизны линейчатой поверхности со стрикционной линией () исходя из (17) и (21):

.

На основании (21) следует:

;.

Предшествующее уравнение для с помощью подстановок выражений для и можно последовательно привести к окончательному виду:

(22)

,

Из формулы (17) и

следует равенство:

.

Учитывая, что выполняются условия:

из последнего равенства получаем:

представляет собой дуальный изгиб д поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство:

(23),

из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в их общей образующей имеют равные дуальные изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в ее образующей линии имеет место формула [4]:

- дуальный угол, соответствующий эволюте () ПЛР (Рис. 1), то:

, (24)

что позволяет утверждать о совмещении триэдров эволют второго порядка соприкасающихся ПЛР:

Предположим, что трехгранники стрикций (А) и () двух соприкасающихся ПЛР в точке А= совмещены, т.е. .

Можно показать, что этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР. Имеют место равенства:

,

.

Если совпадают трехгранники стрикций двух соприкасающихся ПЛР и имеет место условие , то:

,

Нетрудно показать, что в этом случае не нарушаются условия соприкосновения n = 1 и не выполняются условия соприкосновения n = 2.

Если выполняется условие при совпадении трехгранников стрикций соприкасающихся ПЛР, то получаем равенство и совмещены дуальные триэдры эволют первого порядка:

Но поскольку в исходных условиях отсутствует задание непрерывного изменения:

.

дуальной кривизны е у соприкасающихся ПЛР, то их соприкосновение не является полным для n = 2, поскольку не выполняется одно из условий (4) этого соприкосновения. На основании (17) можно получить:

(25)

Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения n = 2 двух ПЛР в их общей образующей необходимо существование в этой образующей значения дуального изгиба Значение же последнего, как следует из (25), зависит от кривизны k, дуального угла R и от дуальной величины , которая, согласно (18), определяется k и ч, их производными и , и значениями этих производных в точке А ? двух стрикций (А) и () - ребер возврата соприкасающихся ПЛР.

На рисунках 3 и 4 приведены иллюстрации примеров стыковки торсовых поверхностей, образующих линейчатые развертывающиеся полосы и ребра возврата, которых представляют собой сегменты пространственного кусочного сплайна. В качестве сегментов выбраны эрмитовы сплайны [5]. Расчет полос выполнен в системе компьютерной алгебры Maple.



Рис. 3. Линейчатая полоса первого порядка гладкости стыковки сегментов ПЛР

Рис. 4. Замкнутая линейчатая полоса полного второго порядка гладкости стыковки сегментов ПЛР

Литература

1. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. - Омск: ОмПИ, 1987. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 - В 87.

2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач: межвуз. темат. сб. науч. тр. - Омск, 1987. - С. 62-66.

3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст]/ В. Бляшке. - М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. - 330 с.

4. Зейлигер, Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст]/ Д.Н. Зейлигер. - М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196 с.

5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука. 1980. 352 с.

Размещено на Allbest.ru

...