Математическое моделирование и компьютерная визуализация сложных геометрических форм
Применение метода, основанного на применении математических преобразований к аналитическим представлениям исходных хорошо известных поверхностей. Параметрические уравнения преобразованных конусов. Конус с синусоидально преобразованной поверхностью.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.05.2017 |
| Размер файла | 336,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математическое моделирование и компьютерная визуализация сложных геометрических форм
Г.С. Рачковская
Одним из эффективных методов моделирования сложных поверхностей является метод, основанный на применении математических преобразований к аналитическим представлениям исходных хорошо известных поверхностей (базовых поверхностей). Так как исходные поверхности и используемые математические преобразования содержат в своем аналитическом представлении варьируемые параметры, то в результате комбинирования этих параметров появляется возможность получить широкий набор преобразованных поверхностей, а использование методов компьютерной композиции визуальных объектов позволяет успешно решать задачи по аналитическому и визуальному моделированию произвольных сложных геометрических форм заданного вида.
На основе аналитических поверхностей [1], таких как плоскость (1), сфера (2), конус (3), цилиндр (4), эллипсоид вращения (5), параболоид вращения (6), однополостной гиперболоид вращения (7), гиперболический параболоид (8), являющихся в данной работе базовыми поверхностями (рис. 1), а также на основе аналитических поверхностей, полученных в результате математических преобразований приведенных базовых поверхностей (рис. 2, 3), разработана компьютерная методика интерактивного моделирования и визуализации сложных геометрических форм технических, природных и архитектурных образов.
Рис. 1. Базовые поверхности
Рис. 2. Производные конической поверхности
Рис. 3. Производные цилиндрической поверхности
В качестве примера, для конуса и цилиндра продемонстрированы в графическом виде (рис. 2, 3) действия некоторых математических преобразований, использованных в настоящей разработке. Действия этих математических преобразований приведены ниже в аналитическом виде на примере уравнений исходного и преобразованных конусов.
Параметрические уравнения исходного конуса (1):
Параметрические уравнения преобразованных конусов.
1. Правильная k-гранная пирамида (2):
.
2. Конус с синусоидально преобразованной поверхностью (3):
,
где k - кратность преобразования, d - амплитуда волновой поверхности.
3. Конус с эпициклоидально преобразованной поверхностью (4):
,
где k - количество долей на конической поверхности.
Кроме этих трех преобразований, использованы преобразования кручения вдоль оси oz (5) и изгибания (6), а также преобразование локального (по оси oz) уширения или сужения (7), предназначенное для образования на боковой поверхности плавных выпуклых или вогнутых кольцевых областей (это преобразование построено на основе уравнения кривой “локон Аньези” [2]).
4. Преобразованная поверхность конуса кручением вдоль оси oz для граненой боковой поверхности (5):
,
где x, y, z рассчитываются по формулам для k-гранной пирамиды, а
определяет направление и степень кручения.
5. Преобразованная поверхность конуса изгибанием по оси oy (6):
,
где x, y, z рассчитываются по формулам для исходной поверхности конуса, а q определяет направление и степень изгибания.
6. Преобразованная поверхность конуса локальным (по оси oz) уширением (рис. 7):
,
где x, y, z рассчитываются по формулам для исходной поверхности конуса, p определяет степень уширения, а vc определяет положение (по оси oz) локального уширения.
Результаты последовательного действия нескольких преобразований на исходную коническую поверхность показаны на рис. 2 (5, 8, 9).
Аналогичные результаты действия одного или последовательного действия нескольких математических преобразований на исходную цилиндрическую поверхность продемонстрированы в графическом виде на рис. 3.
Другие методические примеры приведены на рис. 4. Так, изгибание цилиндра позволяет получить тор, а компьютерная композиция нескольких геометрических объектов позволяет получить, например, два сцепленных тора (рис. 4.1) или изображение сложного геометрического объекта, состоящего, в частности, из четырех сопряженных между собой преобразованных цилиндров (рис. 4.2).
1 2 3 4
Рис. 4. Компьютерные модели технических, природных и архитектурных форм
Примеры более сложных компьютерных композиций, включающих аналитическую аппроксимацию природных объектов и элементов архитектуры [3, 4], приведены на рис. 4.3 и 4.4 соответственно.
Компьютерная визуализация всех смоделированных геометрических объектов проведена с помощью ранее разработанного приложения AMG (“ArtMathGraph”) [5]. Следует подчеркнуть, что AMG-приложение основано только на методах аналитической геометрии и компьютерной графики и каждое построенное изображение имеет математическое описание, которое может быть получено в аналитическом виде.
В AMG-приложении предусмотрена возможность в интерактивном режиме формировать из отдельных построенных геометрических образов компьютерные композиции, как модели сложных технических, природных или архитектурных объектов.
конус преобразованный поверхность уравнение
Литература
1. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. - М. : Наука, 2010. - 556 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике.- М. :ГИТТЛ, 1964. - 608 с.
3. Kharabayev Yu.N., Rachkovskaya N.S., Rachkovskaya G.S. Development and Computer Graphics of Intricate Geometrical Forms. [Текст] // Proceedings of the International Conference on Computing, Communications and Control Technologies (CCCT 2005), Austin (Texas), USA, 2005. Vol.1, P. 42-45.
4. Rachkovskaya, G.S., Kharabayev, Yu.N. Towards the Construction of Artistic Visual Images by Means of Analytical Geometry and Computer Graphics. [Текст] // The Journal of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics, Vol.16. Poland. 2006. P. 37-40.
5. Rachkovskaya, G.S., Kharabayev, Yu.N., and Rachkovskaya, N.S. Computer composition of the transformed classical surfaces as the ways and means of the construction of visual models of realistic objects (The new software application “ArtMathGraph”). Proceedings of the 15-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision 2007, Plzen, Czech Republic, 2007.
Размещено на Allbest.ur
...Подобные документы
Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Особенности математических моделей и моделирования технического объекта. Применение численных математических методов в моделировании. Методика их применения в системе MathCAD. Описание решения задачи в Mathcad и Scilab, реализация базовой модели.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 13.01.2016Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Основные признаки поверхности. Эллипсоид: понятие; плоскости симметрии. Сфера как замкнутая поверхность. Параметрические уравнения тора и катеноида. Общее понятие про геликоид. Параболоид как поверхность вращения. Параметрические уравнения цилиндра.
реферат [950,6 K], добавлен 21.11.2010Физическое и математическое определение центра масс. Основные свойства центров масс. Изучение закона Харди-Вайнберга. Решение геометрических задач барицентрическим методом. Применение барицентрических координат в химических и топологических задачах.
курсовая работа [903,5 K], добавлен 25.02.2015Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Особенности использования метода секущих плоскостей для создания проекции и разветки пересечения поверхностей фигур. Порядок построения изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур. Характеристика процесса создания фигуры с вырезом, опоры и стойки.
реферат [21,3 K], добавлен 27.07.2010Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Обоснование алгоритма уточнения решения. Свойства последовательности стохастических матриц, которые гарантируют существование предельного конуса. Условия, при которых уточнённое по последовательности конусов оптимальное решение является единственным.
дипломная работа [117,9 K], добавлен 14.01.2011Свойства, применение и способы получения озона. Строение и виды озонаторов. Моделирование тепловых явлений в озонаторе. Физические законы тепловыделения, теплопроводности и теплопереноса. Расчет построенной модели на языке программирования Pascal.
курсовая работа [284,2 K], добавлен 23.03.2014Математическое моделирование динамики биологических видов (популяций) Т. Мальтусом. Параметры и основное уравнение модели "хищник-жертва", ее практическое применение. Качественное исследование элементарной и обобщенной модификаций модели В. Вольтерра.
курсовая работа [158,1 K], добавлен 22.04.2011Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Назначение, состав и структура математического обеспечения в автоматизированных системах, формализация и моделирование управленческих решений, этапы разработки. Модели и алгоритмы обработки информации. Характеристика метода исследования операции.
презентация [17,7 K], добавлен 07.05.2011Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.
презентация [499,0 K], добавлен 08.04.2012Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.
реферат [35,0 K], добавлен 15.05.2007Подробный анализ поверхностей Каталана и условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА. Доказательство утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 06.06.2011Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.
курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010Понятие конических сечений. Конические сечения-пересечения плоскостей и конусов. Виды конических сечений. Построение конических сечений. Коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.
реферат [808,4 K], добавлен 05.10.2008Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи разложения в ряд Тейлора. Применение метода индуцированной алгебры. Решение уравнения гармонического осциллятора при помощи метода индуцированной алгебры. Сравнение работоспособности методов решений.
курсовая работа [92,0 K], добавлен 24.05.2012Знакомство с основными требованиями к вычислительным методам. Рассмотрение особенностей математического моделирования. Вычислительный эксперимент как метод исследования сложных проблем, основанный на построении математических моделей, анализ этапов.
презентация [12,6 K], добавлен 30.10.2013
