Еліптичні інтеграли
Поняття еліптичного інтеграла, зведення їх до канонічного вигляду. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду. Задачі про визначення довжин деяких кривих, які приводять до еліптичних інтегралів. Повні еліптичні інтеграли. Задачі про довжину дуги кривої.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 25.05.2017 |
| Размер файла | 562,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені М.П. ДРАГОМАНОВА
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ІНСТИТУТ
Курсова робота
«Еліптичні інтеграли»
студентки 31 МЕІ групи
Янової Любові Сергіївни
Науковий керівник професор,
кандидат фізико-математичних наук
Колесник Тамара Всеволодівна
Київ 2011
Зміст
Вступ
1. Загальні зауваження та означення
2. Зведення еліптичних інтегралів до канонічного вигляду
3. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду
4. Повні еліптичні інтеграли
5. Задачі про довжину дуги кривої
Висновок
Література
Вступ
Еліптичні інтеграли мають важливе історичне значення внаслідок того, що ряд важливих властивостей таких інтегралів були відкриті Ейлером та Лежандром раніше, ніж з'ясувалося, що варто було б розглядати як основні функції швидше обернені функції деяких канонічних типів таких інтегралів, ніж самі інтеграли.
Першим математиком, який розглядав еліптичні функції як обернені функції еліптичних інтегралів, був Гаусс, але вперше результати були опубліковані Абелем (Journal fur Math., II (1827), ст. 101-196) і Якобі. Якобі виклав своє відкриття в двох листах, датованих 13 червнем 1827 р. і 2 серпня 1827 р., до Шумахера, який опублікував витяги з них в Astr. Nach. VI (№123), у вересні 1827 р., тобто в тому ж місяці, коли з'явився мемуар Абеля. На результати отримані Абелем, Якобі вказав Лежандру негайно після опублікування Лежандром “Traite des functions elliptiques”. В додатках (том ІІІ (1828), ст. 1) Лежандр говорить про їх відкриття наступними словами:
«Як тільки моя робота побачила світ, як тільки могло стати відомою іноземним вченим її назва, я дізнався як з подивом, так і задоволенням, що двом молодим геометрам, Якобі в Кенігсберзі і Абелю в Христіанії, вдалося незалежно один від одного внести значні вдосконалення в теорію еліптичних функцій, і до того ж в найскладніших її питаннях».
Цікаве листування між Лежандром і Якобі було надруковане Journal fur Math. LXXX (1875), ст. 205-279. В одному із своїх листів Лежандр згадує про твердження Гаусса про те, що він отримав більшість результатів, опублікованих Якобі і Абелем, ще у 1809 році. Справедливість цього твердження була встановлена Шерінгом (Gauss, Werke, III (1876), ст. 493б 494), хоча дослідження Гаусса (Werke, III, ст. 404-460) залишались неопублікованими до його смерті.
Нині продовжується вивчення еліптичних інтегралів і обернених до них функцій, а також систематизація минулих досліджень. Тому метою цієї курсової роботи було познайомитися з еліптичними інтегралами, їх канонічною формою, різновидами, а також розгляд задач, що приводять до цих інтегралів.
1. Загальні зауваження та означення
Розглянемо інтеграл виду:
,
де є алгебраїчною функцією від , тобто задовольняє алгебраїчне рівняння
(тут - цілий відносно та многочлен). Подібного роду інтеграли отримали назву інтегралів Абеля. До їх числа відносяться інтеграли
, .
Справді, функції
,
задовольняють, відповідно, алгебраїчні рівняння
, .
З геометричної точки зору інтеграл Абеля вважають пов'язаним з тією алгебраїчною кривою, яка визначається рівнянням . Наприклад, інтеграл
пов'язаний з кривою другого порядку .
Якщо крива може бути представлена параметрично
,
так, що функції і є раціональними (в цьому випадку крива називається унікурсальною), то в інтегралі є можливою раціоналізація підінтегральною виразу: підстановкою воно зводиться до вигляду
.
До цього класу і відносяться два згадані вище випадки. Зокрема, можливість раціоналізації підінтегрального виразу в інтегралі типу пов'язана саме з тим фактом, що крива другого порядку є унікурсальною.
Очевидно, що змінні та пов'язані алгебраїчним рівнянням так, що є алгебраїчною функцією від . Якщо розширити клас елементарних функцій, включивши до нього і всі алгебраїчні функції, то можна сказати, що у випадку унікурсальності кривої , інтеграл завжди виражається через елементарні функції в скінченному вигляді.
Однак така ситуація є винятком. В загальному випадку крива не унікурсальна, а тоді інтеграл не завжди, тобто не при будь-якій функції , може бути вираженим у скінченному вигляді (хоча не виключається можливість цього при деяких конкретних ).
З цим ми зустрічаємось вже при розгляді важливого класу інтегралів
,
,
які містять квадратний корінь з многочленів 3-ого або 4-го степеня і очевидно приєднуються до інтегралів . Інтеграли типу - як правило - вже не виражаються у скінченному вигляді через елементарні функції навіть при розширеному розумінні цього терміну.
Многочлени під коренем в , передбачається, мають дійсні коефіцієнти. Крім того, завжди будемо вважати, що у них немає кратних коренів, тому що інакше можна було б винести лінійний множник з-під знаку кореня; задача зводилася б до інтегрування виразів іншого типу (які не входять в коло наших досліджень), і інтеграл виражався б у скінченному вигляді. Останнє може мати місце і при умові відсутності кратних коренів; наприклад, мають місце наступні рівності:
,
,
Інтеграли від виразів виду взагалі називають еліптичними [у зв'язку з тим, що вперше з ними зустрілись при розв'язуванні задачі про довжину дуги еліпса]. Проте ця назва, в точному сенсі, відноситься зазвичай лише до тих з них, які не беруться в скінченному вигляді; інші, типу тільки що вказаних, називають псевдоеліптичними.
Вивчення і табулювання (тобто складання таблиць значень) інтегралів від виразів при довільних коефіцієнтах зрозуміло, проблематично. Тому природне бажання звести всі ці інтеграли до небагатьох таких, в яких містилося б по можливості менше довільних коефіцієнтів (параметрів).
Це досягається за допомогою елементарних перетворень, які розглядатимуться надалі.
Допоміжні перетворення
1.Зазначимо, перш за все, що достатньо обмежитися випадком многочлена 4-го степеня під коренем, оскільки до нього легко зводиться і випадок, коли під коренем многочлен третього степеня.
Справді, многочлен третього степеня з дійсними коефіцієнтами обов'язково має дійсний корінь, наприклад, , а, отже, має місце дійсний розклад
.
Підстановка (або ) і здійснює необхідне подання у вигляді
.
Зокрема, матимемо:
,
.
Тоді підставимо
.
Розглядаючи цей вираз під коренем і отримаємо .
Навпаки, якщо - поліном третього степеня, то в результаті дробово-лінійного перетворення
ми отримаємо деякий поліном, в загальному випадку, четвертого степеня.
Надалі будуть розглядатися лише інтеграли, які містять корінь з многочлена 4-го степеня.
2. Згідно відомої теореми алгебри многочлен четвертого степеня з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у вигляді добутку двох квадратних тричленів з дійсними коефіцієнтами:
.
Тепер будемо намагатися деякою підстановкою знищити в обох тричленах одразу члени першого степеня.
Якщо , то наша мета досягається простою підстановкою
.
Нехай тепер ; в такому випадку застосуємо дробово-лінійну підстановку
.
Можливість встановлення дійсних і до того ж різних значень для коефіцієнтів і зумовлюється нерівністю
.
Ця нерівність є справедливою, якщо один з тричленів, що розглядається, має уявні корені.
Справді, перепишемо умову в рівносильній формі
.
Нехай тричлен має уявні корені. Тоді
.
Тому нерівність виконується, якщо одночасно
.
Залишається дослідити випадок, коли і . Тоді
, і .
Оскільки
,
то
Тут двічі знак нерівності поєднується із знаком рівності, але рівність не може мати місце в обох випадках одночасно: якщо , то рівності, напевно, немає в першому випадку, а при , напевно, немає у другому. Таким чином, нерівність , а з нею і , доведена у випадку, коли один з тричленів має уявні корені.
Нехай тепер тричлени обидва мають дійсні корені, наприклад, перший - корені і , а другий - корені і . Підставляючи
, , , ,
можна переписати у вигляді
,
а для справедливості цієї нерівності достатньо лише, щоб корені тричленів
не перемежовувались (наприклад, щоб було ), що ми можемо зробити.
Можна зазначити, що представлення нерівності у формі може бути використано для доведення його і в тих випадках, коли корені недійсні. Якщо лише перший тричлен має недійсні, тобто комплексні спряжені корені і , а числа і дійсні, то множники і будуть спряженими, таким чином їх добуток буде, як відомо дійсним додатним числом; те ж стосується і множників і . Якщо ж як корені , , так і корені , попарно спряжені комплексні числа, спряженими будуть множники і , а також і , і їх добутки знову дадуть додатні дійсні числа.
Таким чином, підібравши і , за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо
,
що можна також (якщо виключити випадки виродження, коли якийсь з коефіцієнтів рівний нулю) переписати у вигляді
,
якщо , і відмінні від нуля.
3. Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого:
.
Розкладемо тепер раціональну функцію на два доданки
.
Перший не змінює свого значення при заміні на , отже, зводиться до раціональної функції від : ; другий при вказаній заміні змінює знак, а тому має вигляд . Інтеграл, що розглядається, представляється у вигляді суми інтегралів
.
Але другий з них підстановкою одразу зводиться до елементарного інтегралу
і береться в скінченному вигляді. Таким чином, досліджувати потрібно лише інтеграл
.
2. Зведення еліптичних інтегралів до канонічного вигляду
Покажемо, нарешті, що кожний інтеграл виду може бути представлений у вигляді
,
де деякий додатний правильний дріб: . Назвемо цю форму канонічною.
Покладемо
.
Не порушуючи загальності, вважатимемо тут ; крім того, для визначеності обмежимося додатними значеннями . Розглянемо тепер різні комбінації знаків , , і вкажемо для кожного випадку підстановку, яка безпосередньо зводить інтеграл до канонічної форми.
1) , , (). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб було або . Припускаємо
, де або .
Тоді
,
так що за слід взяти .
2) , , (, ). Для того щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями .
Покладемо
, де .
Тоді
,
і можна взяти .
3) , , (). Змінна нічим не обмежена. Покладаємо
, де .
В цьому випадку
і .
4) , , (, ). Змінна обмежена нерівністю . Візьмемо
, де ,
так що
і .
5) , , (). Змінна може змінюватися лише між і . Покладаємо
, де .
Маємо
і .
Цим вичерпуються всі можливі випадки, адже у випадку, коли і обидва числа , , радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник не говорилось нічого, оскільки у всіх випадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від .
Відмітимо, що розглядаючи інтеграл , можемо обмежитися значеннями ; випадок зводиться до цього підстановкою , де .
3. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду
Тепер розглянемо найпростіші з інтегралів , до яких могли б бути зведені всі інтеграли цього вигляду, а отже, і всі еліптичні інтеграли.
Виділимо з раціональної функції , яка фігурує в інтегральному виразі , цілу частину , а правильно-дробову її частину розкладемо на прості дроби. Якщо не об'єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх кожний окремо, подібно до дійсних коренів, то можна подати у вигляді суми степенів () і дробів вигляду (), де може бути і уявним числом, помножених на числові коефіцієнти. Звідси зрозуміло, що інтеграл , в загальному випадку, є лінійним агрегатом наступних інтегралів:
і .
() ()
Зупинимось на інтегралах . Якщо проінтегрувати тотожність
то отримаємо рекурентне співвідношення
,
яке пов'язує три послідовних інтеграли . Покладаючи тут , виразимо через і ; якщо взяти і замість підставити його вираз через і , то виразиться через ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожний з інтегралів () виражається через і , і навіть, враховуючи , можна встановити і вигляд формули, що їх пов'язує
,
де і - константи, а є непарний многочлен степеня . Звідси зрозуміло, що якщо є многочленом -го степеня від , то
,
де і - константи, а є деякий многочлен -го степеня від . Визначення цих констант і коефіцієнтів многочлена може бути здійснено
(якщо многочлен конкретно заданий за методом невизначених коефіцієнтів).
Зазначимо, що із можна було б виразити через і інтеграли і при від'ємних значеннях (), так що в інтегралах достатньо обмежитися випадком .
Переходячи до інтегралів (наприклад, при дійсних ), подібним чином встановлюється для них рекурентне співвідношення
справедливе і при від'ємних і при нульовому значеннях . Звідси всі виразяться через три з них:
,
,
,
тобто остаточно через , і .
Підкреслимо, що все це зберігає силу і при уявних значеннях параметра .
Отже, в результаті всіх міркувань приходимо до загального висновку: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок - і з точністю до доданків, що виражаються у скінченному вигляді, - зводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:
,
,
,
де .
Останній отримується з введенням замість нового параметра .
Ці інтеграли, як показав Ліувіль (J. Liouville), в скінченному вигляді вже не беруться. Їх Лежандр назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметр , а останній, крім нього, ще (комплексний) параметр .
Лежандр вніс в ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку ( змінюється від до ). При цьому перший з них безпосередньо переходить у інтеграл
.
Другий перетворюється наступним чином:
,
тобто зводиться до попереднього інтегралу і до нового інтегралу
.
Третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в
.
Інтеграли , і також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду - в формі Лежандра (тригонометрична форма еліптичних інтегралів). Аргумент називається амплітудою еліптичного інтеграла.
З них особливе значення та часте застосування мають перші два. Якщо вважати, що ці інтеграли при рівні нулю, і тим фіксувати довільні константи, які містяться в них, то отримаємо дві визначені функції від , які Лежандр позначив відповідно через і . Тут, крім незалежної змінної , вказаний також параметр , що називається модулем, який входить до виразів цих функцій.
; .
Крім цього, є прийняте позначення для еліптичного інтеграла 3-го роду:
.
Еліптичні інтеграли - непарні функції від (і від ) і парні від модуля . Якщо дійсне і , то еліптичні інтеграли першого і другого роду дійсні для дійсних , таких, що , тобто для дійсних .
Размещено на http://www.allbest.ru/
На рисунку зображено неповний еліптичний інтеграл першого роду : а) як функція при постійному ; б) як функція модулярного кута при постійному .
Лежандром були складені великі таблиці значень цих функцій при різних і різних , які вперше були опубліковані в 1826 році. В них не лише аргумент , що трактується як кут, виражається в градусах, але і модуль (правильний дріб) розглядається як синус деякого кута , який і вказується в таблиці замість модуля, і притому також в градусах. Ця таблиця містить значення інтегралів для і від до через один градус. Значення інтегралів подані з дев'ятьма десятковими знаками.
Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відноситься до них, і т.д. завдяки цьому функції і Лежандра ввійшли до функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями.
Приклади
Приклад 1. Виразити заданий інтеграл через еліптичний:
.
Розв'язання.
Поклавши , зведемо його до канонічного вигляду
.
Таким же чином і за допомогою цієї ж підстановки отримаємо
.
Приклад 2. Виразити заданий інтеграл через еліптичний:
Розв'язання.
Застосуємо введення нової змінної за формулою
,
тоді отримаємо
.
Приклад 3. Звести заданий інтеграл до простішого вигляду:
Розв'язання.
В даному випадку підрадикальний поліном розкладається на два дійсні множники другого степеня
.
Взагалі якщо підрадикальний поліном четвертого степеня має всі корені уявні і розкладається на дійсні множники другого степеня
,
то треба визначити числа і за формулами
і здійснити заміну змінної
,
де - найменше з двох чисел
і .
В даному випадку заміна змінних буде мати вигляд
,
і в результаті такого перетворення заданий інтеграл набуде вигляду
.
Нескладно перевірити, що вираз, що стоїть під знаком радикалу, є добутком
на , і ми отримуємо остаточну формулу, яка дає змогу звести заданий інтеграл до канонічного вигляду:
.
4. Повні еліптичні інтеграли
Повними називаються інтеграли і Лежандра при ; в цьому випадку в їх позначенні звичайно не зазначають другий аргумент і пишуть , . Для повних інтегралів існують спеціальні таблиці.
Отже, функції
,
відповідно відомі як повні еліптичні інтеграли Лежандра першого і другого роду; і називаються додатковими модулями; і називаються зв'язаними еліптичними інтегралами першого роду, а і - зв'язаними еліптичними інтегралами другого роду.
До того ж справедливими є рівності:
(відношення Лежандра)
і
, ,
, .
Зазвичай повні еліптичні інтеграли табулюються у вигляді функцій модулярного кута . При цьому додатковому модулю відповідає кут .
На рисунку: повні еліптичні інтеграли: а) і ; б) і як функції модулярного кута .
Зокрема, науковці розглядають деякі властивості повних еліптичних інтегралів, розглядаючи їх як функції модуля.
Якщо формулу
продиференціювати по , диференціюючи під знаком інтеграла, то отримаємо
.
Місце мають і наступні рівності:
.
Якщо покласти , , тоді ці формули набудуть вигляду
, .
Справедливими є також рівності
, .
Приклади
Приклад 1. Час повного коливання простого маятника з довжиною і амплітудою коливання виражається формулою
,
де - прискорення сили тяжіння. Виразити цей інтеграл через еліптичний.
Розв'язання.
Нескладно виразити даний інтеграл у вигляді повного еліптичного інтеграла першого роду. Для цього введемо константу і замість введемо нову змінну за формулою . Тоді ми отримаємо
і крім того
або ,
звідки остаточно отримаємо, беручи до уваги, що в силу змінна повинна змінюватися від до :
.
Приклад 2. Виразити еліптичний інтеграл
,
де через і . Покласти, що верхня межа знаходиться на проміжку , де визначається з рівняння .
Розв'язання.
Введемо замість нову змінну за формулою . Зміни будуть обмежуватися деяким проміжком , де і після елементарних перетворень отримаємо:
,
звідки
.
Якщо верхня межа , то , і ми отримаємо згідно позначень:
.
Таким же чином можна розглянути і інтеграл
при . Зокрема, будемо мати
.
5. Задачі про довжину дуги кривої
До еліптичних інтегралів приходимо, визначаючи довжини деяких кривих.
1. Еліпс.
.
Зручніше, все ж таки, взяти рівняння еліпса в параметричній формі
, .
Очевидно,
,
Де
є ексцентриситетом еліпса.
Обчислюючи довжину дуги еліпса від верхнього кінця малої вісі до будь-якої його точки в першому квадранті, отримаємо
.
Таким чином, довжина дуги еліпса виражається еліптичним інтегралом 2-го роду. Як зазначалося, саме цей факт став приводом для назви «еліптичний».
Зокрема, довжина чверті обводу еліпса виражається через повний еліптичний інтеграл
.
Довжина всього обводу буде
.
Цікаво зазначити, що для довжини однієї хвилі синусоїди , де , отримується в точності такий самий результат. Геометрично це пояснити легко. Уявимо прямий коловий циліндр, в перетині його поверхні з площиною, нахиленою до твірних буде еліпс. Якщо розрізати поверхню циліндра по твірній, що проходить через вершину малої вісі, і повернути, то обвід еліпса перейде в синусоїду.
Аналогічно до еліптичних інтегралів (обох родів) зводиться і обчислення дуги гіперболи.
2. Равлик.
.
Тут і
.
Тому (при ) для довжини дуги від точки, для якої , до точки з будь-яким отримаємо вираз у вигляді еліптичного інтеграла (2-го роду)
Довжина всієї кривої буде виражатися повним еліптичним інтегралом:
.
Однак для окремого випадку - кардіоїди () завдання значно спрощується. В цьому випадку
,
так що ()
.
Довжина всієї кардіоїди буде .
3. Лемніската.
4.
.
Обчислимо довжину дуги лемніскати від вершини, що відповідає , до будь-якої точки з полярним кутом . Тоді отримаємо
,
звідки
.
В такому випадку
,
Використаємо відому формулу
.
Тоді
.
Знову приходимо до еліптичного інтеграла (1-го роду). Так як таблиці обчислені для інтегралів, в яких множник при менше одиниці, то застосуємо заміну змінної. Покладемо (оскільки , то , і кут звідси визначити дійсно можна); тоді
, ,
, .
Отже,
.
Розглядаючи в граничному випадку , а , для довжини чверті лемніскати отримаємо вираження через повний еліптичний інтеграл
;
довжина всієї лемніскати буде
.
Висновки
еліптичний інтеграл канонічний крива
У курсовій роботі розглядається поняття еліптичного інтеграла, зведення його до канонічної форми, види інтегралів, повні еліптичні інтеграли та задачі про визначення довжин деяких кривих, які приводять до еліптичних інтегралів.
У першому розділі роботи вводиться поняття еліптичного інтеграла, наводяться приклади псевдоеліптичних інтегралів, а також виконуються деякі допоміжні перетворення, які надають можливість спрощення і подальшого зведення до канонічної форми даних інтегралів.
Другий розділ ілюструє зведення еліптичних інтегралів до канонічної форми. У третьому розділі роботи розглядаються найпростіші інтеграли, до яких могли б бути зведені всі інтеграли канонічного вигляду, тобто еліптичні інтеграли 1-го, 2-го та 3-го родів. Також даний розділ містить рисунки еліптичного інтегралу першого роду як функції при постійному та як функції модулярного кута при постійному , а також приклади з даного питання.
Четвертий розділ роботи присвячений повним еліптичним інтегралам. Вводяться основні поняття, подається рисунок і , а також і як функції модулярного кута . Також розглядаються властивості повних еліптичних інтегралів як функції модуля. До того ж розділ містить приклади на використання даних інтегралів.
У п'ятому розділі роботи розглядаються задачі про довжину дуги деяких кривих, де приходимо до еліптичних інтегралів. Це, зокрема, еліпс, равлик, лемніската.
Еліптичні інтегралі мають досить широке застосування, наприклад, обчислення довжини дуги еліпса, при розв'язуванні рівнянь коливань маятника та багатьох інших задачах, зокрема, математичного аналізу. Для еліптичних інтегралів складено таблиці значень, що спрощує роботу з ними, але не позбавляють питань, що ще потребують детального вивчення науковцями.
Література
1. Араманович И.Г., Гутер Р.С., Люстерник Л.А. и др. Математический анализ. Дифференцирование и интегрирование - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит, 1961. - 350 с. (- С. 311-313).
2. Беляков В. М., Кравцова Р. П., Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических интегралов: В 2-х томах. Т.1. - М.: Изд. АН СССР, 1962. - 655 с. Т.2. - М.: Изд. АН СССР, 1963. - 785 с.
3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит, 1963. - 1108 с. (- С. 649-652).
4. Зорич В. А. Математический анализ: Учебник. Ч. II. - М.: Наука, 1984. - 640 с. (- С. 387, 403-404, 426).
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М: Наука, 1974. - 832 с. (п. 4.6-7. - С. 119, п. 21.6-3 - 21.6-6 - С. 750-761).
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М: Наука, 1973. - 749 с. (п. 102. - С. 694-703).
7. Никольский С.М. Курс математического анализа. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 592 с. (§8.12. - С. 302).
8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - Т. 1. - М.: Наука, 1985. - 432 с. (- С. 348).
9. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - Т.3. Ч.2. - М: Наука, 1974. - 672 с. (- С. 582-596).
10. Тихомандрицкий М. Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций. - Харьков: Типография Зильберберга, 1895. - 207 с.
11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - Т.2. - М.: Наука, 1969. - 800 с. (- С. 84-93).
12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - Т. 1. - М.: Наука, 1968. - 440 с. (§5. п. 173-174. - С. 316-319).
13. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. - М.-Л.: Гос. Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1949. - 420 с. (- С. 150-188).
14. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции (Формулы. Графики. Таблицы.) - М.: Наука, 1964. - 344 с. (- С. 94-119).
15. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. - Ч. 2. - М.: Наука, 1963. - 515 с. ( - С. 404-438).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Проблеми відновлення функції по відомій її похідній для науки та техніки серед множини абелевих інтегралів та алгебраїчних кривих і функцій. Інтегрування виразів до многочленів під коренем як вид еліптичних інтегралів. Перетворення до канонічної форми.
курсовая работа [150,8 K], добавлен 25.05.2009Поняття подвійного та потрійного інтегралів. Кратні інтеграли в криволінійних координатах. Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів. Криволінійні й поверхневі інтеграли. Спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого та другого роду.
курсовая работа [278,9 K], добавлен 14.01.2011Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги). Обчислення криволінійних інтегралів першого роду. Застосування криволінійного інтеграла першого роду. Фізичний зміст та поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах).
реферат [535,9 K], добавлен 10.03.2011Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.
курсовая работа [782,9 K], добавлен 05.02.2011Криволінійний інтеграл по довжині дуги. Обчислення визначеного інтеграла. Параметричні рівняння кривої. Властивості криволінійного інтеграла першого роду. Форми шляху інтегрування. Властивості визначеного інтеграла. Зміна напряму руху по кривій.
лекция [169,5 K], добавлен 30.04.2014Суть поверхневих інтегралів першого роду, які є узагальненням подвійних інтегралів. Лист Мебіуса, як приклад односторонньої поверхні. Формула Остроградського-Гаусса, яка встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні. Формула Стокса.
реферат [634,6 K], добавлен 16.03.2011Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.
реферат [1,1 M], добавлен 18.07.2010Зведення до канонічного вигляду кривих і поверхонь другого порядку методом ортогональних перетворень, побудова їх за заданими канонічними рівняннями. Визначення лінійних операторів та квадратичних форм. Власні вектори та значення лінійного оператора.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 13.11.2012Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійного інтеграла, умови його існування та властивості. Адитивність подвійного інтеграла та його оцінка.
контрольная работа [631,2 K], добавлен 22.03.2011Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах. Застосування формул перетворення координат та оберненого перетворення. Функціональний визначник Якобі або якобіан. Подвійні інтеграли в рішенні задач з геометрії й механіки.
контрольная работа [453,4 K], добавлен 23.03.2011Теорія приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду в системі побудови графіків. Основні поняття (лінійний оператор, власний вектор і власне значення матриці, характеристичне рівняння, квадратична форма) і теореми.
курсовая работа [328,3 K], добавлен 13.11.2012Обчислення довжини дуги для просторової кривої, що задана параметрично. Варіант розрахунку у випадку задання кривої в полярній системі координат. Формули для обчислення площі поверхні обертання. Вираз площі циліндричної поверхні через елементарні функції.
научная работа [103,7 K], добавлен 12.05.2010Таблиця формул основних інтегралів. Методи обчислення площі плоскої фігури в декартових координатах. Означення потрійного інтеграла. Знаходження площі фігури обмеженої лініями, розрахунок обсягу просторового тіла. Властивості визначеного інтеграла.
презентация [467,7 K], добавлен 23.02.2013Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.
задача [320,6 K], добавлен 31.05.2010Поняття приватного інтеграла. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із приватним інтегралом у вигляді параболи, окружності або гіперболи. Умови існування в системи двох часток інтегралів. Якісне дослідження побудованих класів систем.
дипломная работа [290,0 K], добавлен 14.01.2011Введення поняття інтеграла Стільєса та його розробка. Визначення проблеми моментів. Загальні умови та класи випадків існування інтеграла Стільєса. Теорема про середній. Застосування інтеграла Стільєса в теорії ймовірностей та у квантовій механіці.
дипломная работа [797,1 K], добавлен 25.02.2011Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Означення і основні властивості інтеграла Стілтьєса, його зв’язок, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів і загальні умови існування. Приклади застосування інтеграла для розв’язку різних класів задач. Узагальнення інтегралу Рімана.
курсовая работа [370,2 K], добавлен 21.05.2009Задача продавлення шкідливих збурень. Збурювальні задачі, що видвинуті для розгляду радіотехнікою, в деякому розуміння протилежні задачам класичної теорії збурень. Дійснi нелінійнi диференціальнi рівняння. Завдання радіотехніки, задачі генерації збурень.
дипломная работа [890,8 K], добавлен 17.06.2008
