Пирамида и ее свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

СГГА Кафедра высшей математики

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Выполнил

Студент группы 1Г-с

Плюснина Е.С.

Проверил(а)

Кенескалиев Ж.К.

2013/14 учебный год

г. Новосибирск

Контрольная работа №1

Задача 1.1

Условие: Заданы матрицы A, B, C. Найти: а) (3А+2В)*С; б) вычислить определитель матрицы А.

Дано:

А=; В=; С=

Решение:

а)

1) 3А=; 2В=;

2) 3А+2В==

3) (3А+2В)*С==

==

б) Вычисление определителя матрицы А разложением по первой строке.

?А==(-2)-1+1=(-2)(0*1-(-2)*1)-(2*1-(-2)*(-4)+(2*1-0*(-4))=-4-(-6)+2=4

Ответ: а) (3А+2В)*С=; б) ?А=4.

матрица пирамида высота медиана

Задача 1.3

Условие: Решить систему уравнений методом Гаусса.

Дано:

Решение:

1)В=-(умножим первую строку на 1 и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-1,5) и сложим с третьей)=

=-(умножим вторую строку на 6,5 и сложим с третьей)=

2) В соответствии с полученной матрицей, система линейных уравнений выглядит так:

3) Преобразуем полученную матрицу так, чтобы она стала диагональной и приняла вид:

где p1;р2-некоторые числа.

Для этого прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на:

~ ~

4) Теперь к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на:

~

Полученная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Ответ:

Задача 1.5

Условие: Даны вершины пирамиды А(x1,y1,z1); B(x2,y2,z2); C(x3,y3,z3); D(x4,y4,z4). Найти: а) угол между векторами и ; б) площадь грани ABC; в) проекцию вектора на вектор ; г) объем пирамиды;

д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

Дано:

Решение:

а) Угол между векторами и находится по формуле:

;

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

6)

б) Площадь грани АВС найдем как площадь треугольника АВС

Чертеж:

1) =

2)

3)

в)

1) Из формул:

и ; следует, что

2) Используя свойства скалярного произведения, находим:

3)

4)

г)

д) Объем пирамиды равен

, тогда

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ;

д)

Задача 1.6

Условие: Даны вершины пирамиды А(x1,y1,z1); B(x2,y2,z2); C(x3,y3,z3); D(x4,y4,z4). Найти: а) угол между гранями и ; б) каноническое и параметрическое уравнения прямой CD; в) уравнение плоскости параллельной плоскости АВС, проходящей через точку D; г) каноническое уравнение высоты пирамиды;

Дано:

Решение:

а) Угол между гранями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

1) Найдем нормали плоскостей по формулам:

б) Найдем вектор , который будет направляющим вектором прямой CD, в качестве известной точки возьмем точку С. Запишем общее каноническое уравнение прямой:

;

но так, как в данном случае и , то каноническое уравнение примет вид:

;

т.е. прямая CD, параллельна оси абцисс Х.

Значит, её направляющим вектором является вектор.

Тогда каноническое уравнение прямой CD имеет вид:

Теперь перейдем от канонического уравнения к параметрическому уравнению

в) Нормаль к плоскости ABC уже найдена и равна: . Применим формулу , где в качестве известной точки берем точку тогда: или уравнение искомой плоскости.

г) Для нахождения высоты пирамиды используем в качестве направляющего вектора высоты: - нормаль к плоскости ABC, тогда - каноническое уравнение высоты пирамиды.

Ответ: а) ; б) ; ;

в) ; г) .

Задача 1.7

Условие: Даны три точки на плоскости А(x1,y1); B(x2,y2); C(x3,y3,). Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты, опущенной из вершины А; в) уравнение медианы, опущенной из вершины В; г) уравнение прямой, параллельной прямой ВС, проходящей через точку А; д) угол при вершине В. Сделать чертеж.

Дано:

Решение:

а) Если известны две точки с известными координатами, то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

- уравнение стороны АВ

Чертеж:

б) Найдем вектор нормали высоты AL, вектором нормали является прямая CB.

. Находим уравнение прямой:

- уравнение высоты, опущенной из вершины А.

в) Найдем координаты точки К-середины отрезка АС по формулам:

;

Запишем уравнение медианы , зная :



- уравнение медианы, опущенной из вершины В.

г) Так как прямые CB и AD параллельны, направляющим вектором прямой AD можно взять вектор СВ.

, тогда

- уравнение прямой, параллельной прямой ВС, проходящей через точку А.

д) Найдем векторы и .

.

Угол при вершине В находится по формуле:

Ответ: а); б) ; в) ; г) ; д).

Задача 1.8

Условие: Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, выяснить, что это за кривая. Найти координаты смещенного центра. Построить кривую на плоскости.

Решение:

Выделим «полный квадрат» по обеим переменным, для этого прибавим и отнимем внутри каждой скобки половину коэффициента при х или у соответственно, это позволит применить формулу:

Разделим левую и правую части равенства на -14; получим:

Чертеж

Ответ: .

Контрольная работа №2

Задача 2.1

Условие: Найти пределы.

Дано:

Решение: Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В этом случае говорят, что имеет место неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной на .

так как, при каждая из дробей стремится к нулю.

Ответ: 0.

Решение: Неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя.



Ответ: .

Решение: Неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя.

Предел выражения при есть 1: = .

Использование непрерывности cos(x) при x=0 запишем как

Ответ: .

Решение:

Ответ: .

Задача 2.2

Условие: Найти производную если функция y(x) задается так:

Дано:

Решение: Преобразуем квадратный корень в степень:

Ответ:

Решение:

Данная функция относится к виду показательно-степенной функций . Для нахождения ее производной используем формулу:

Ответ:

Решение:

При нахождений неявной функций важно учитывать, что - функция, - независимая переменная. Дифференцируем обе части данного уравнения.

Ответ:

Решение:

Производную параметрически заданной функций находим по формуле:

, где

Ответ: .

Задача 2.3

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функций на отрезке .

Дано:

Решение:

Найдем стационарные точки. Для этого найдем и выясним, где и где не существует.



Ответ: - наибольшее значение функций, - наименьшее значение функций.

Задача 2.6

Условие: Найти частные производные первого порядка.

Дано:

Решение:

Ответ:

Задача 2.7

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функций.

Дано:

Решение:

1) Построим область D.



Наибольшего наименьшего значения функция достигает:

а) в стационарных точках, если они принадлежат области D,

б) на границах области D,

в) в точках пересечения границ D.

2) Найдем стационарные точки. Для этого сначала находим частные производные первого порядка:

Координаты стационарных точек являются решениями системы уравнений:



Но точка не попадает в область, следовательно, значение функций в этой точке не рассматривается.

3) Исследуем функцию на границах области. Её границы задаются уравнениями:

Найдём стационарные точки данной функций:

.

Получаем стационарную точку не попадающую в область.

Найдем стационарные точки:

Получаем стационарную точку не принадлежащую области.

Найдем стационарные точки:

Получаем критическую точку , не попадающую в область.

4) Угловые точки области -это точки пересечения линий

между собой.

Получили три точки, в которых функция может достигать наибольшего и наименьшего значений: Вычислим значения функций z в этих точках и выберем из них наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение , наименьшее значение .

Задача 2.9

Условие: Найти неопределенные интегралы.

Дано:

Решение:

.

Ответ:

Решение:

Ответ:

Решение:

Применим формулу интегрирования по частям. Данный интеграл-интеграл 1-го класса.

Ответ:

Задача 2.10

Условие: Найти плоскую меру множества, ограниченного заданными линиями на плоскости Оху, сделать чертеж.

Дано:

Решение:

Плоская мера множества равна площади фигуры, ограниченной указанными линиями.

1) Находим точки пересечения линий :



Ответ:

Контрольная работа №3

Задача 3.1

Условие: Выполнить действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Дано:

Вычислить

Решение:

1) Вычислим выражение . Для этого подставим в него значение , получим:

Теперь найдём значение , для этого подставим в него , получим:

2) Вычислим выражение . Для этого по определению сопряженного комплексного числа найдем , подставим в формулу

Ответ:

Задача 3.2

Условие: Выполнить действия с комплексными числами

в тригонометрической форме.

Дано:

Вычислить

Решение:

1) Запишем комплексные числа в тригонометрической форме, для этого найдем их модули и аргументы. Изобразим комплексные числа на комплексной плоскости (см. чертеж).

Комплексное число лежит в четвертой четверти, тогда для нахождения его аргумента, воспользуемся формулой:

Модуль комплексного числа равен

Тогда комплексное число в тригонометрической форме равно:

Комплексное число лежит в четвертой четверти.

Чертеж

Комплексное число лежит в первой четверти.

2) Выполним действия, используя тригонометрические формы чисел.

б) Чтобы найти , найдем комплексное число , как сопряженное комплексному числу . Оно будет равно . Так как

Ответ:

Задача 3.3

Условие: Выяснить, какие линий удовлетворяют условию .

Дано:

Решение:

У нас: . Найдем: , отдельно выделим действительную и мнимую части, тогда получим:

Найдем модуль этого комплексного числа, где вместо подставим соответствующую действительную часть :

Тогда условие задачи примет вид:

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

Получили уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и радиусом равным 3. Изобразим эту линию на комплексной плоскости.

Ответ: Образом линий, которая удовлетворяет данному условию, является окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом равным 3.

Задача 3.4

Условие: Выяснить, какие области удовлетворяют условию .

Дано:

Решение:

Границей искомой области является парабола

с вершиной в точке

Чертеж

Ответ: Данному условию удовлетворяет парабола, заданной уравнением:

.

Задача 3.5

Условие: Вычислить производную функций в точке

Дано:

Решение:

Ответ:

Задача 3.6

Условие: Решить систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Дано:

Решение:

Найдем определитель основной матрицы системы

Найдем определитель , для этого заменим в определителе первый столбец свободных членов, получим:

Найдем определитель , для этого заменим в определителе второй столбец свободных членов, получим:

Используя формулы Крамера, найдем неизвестные :

Ответ:

Размещено на Allbest.ur

...