Інженерна графіка

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРАКТИКУМ

Інженерна та комп'ютернаграфіка

С. І. Кормановський

О. М. Козачко

А. О. Козачко

Вінниця, 2011



УДК 744:004

ББК 74.580.266.5

К 66

Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України (протокол №від2011 р.)

Рецензенти:

В. Ю. Кучерук, доктор технічних наук, професор

Л. І. Тимченко, доктор технічних наук, професор

І. П. Паламарчук, доктор технічних наук, професор

Кормановський, С. І.,Козачко О. М., Козачко

К 66 Інженерна такомп'ютерна графіка. Практикум / С. І.Кормановський, О. М. Козачко, А. О. Козачко - Вінниця : ВНТУ, 2011. -163 с.

В практикумівикладено методи побудови зображень геометричних образів на площинах проекцій. Містяться загальні вимоги до побудови і оформлення схем. Наводяться тестові запитання для самоконтролю і варіанти завдань до виконання графічних робіт. Практикум розраховано для студентів напрямів підготовки:«Комп'ютерні науки», «Комп'ютерна інженерія», «Програмна інженерія».

УДК 744:004

ББК 74.580.266.5



1. МЕТОДІЕЛЕМЕНТИПРОЕКЦІЮВАННЯ. ТОЧКА

Побудова зображень у нарисній геометрії основана на методі проекцій.

Проекція - це зображення предмета, “відкинуте” на площину за допомогою променів. Спроекціювати предмет на площину - це значить побудувати його зображення на площині.

Елементи проекціювання: S - центр проекції; А - точка в просторі, об'єктпроекціювання; П1 - площина проекції; А1 - проекція точки A; SA1 - промінь. площина точка проекція пряма

Проекціювання може бути центральним і паралельним.

Якщо проекціювальні промені виходять з однієї точки, таке проекціювання називається центральним.Суть центрального проекціювання полягає в тому, що із центра проекції (точкиS)через кожну точку A, B, Cі т.д. будь-якого просторового об'єкта проходить промінь, що називається проекціювальним. Цей промінь, перетинаючи площину проекцій П1, дає проекцію даної точки. На площині проекцій кожній точці A, B, Cі т.д. просторового об'єкта буде відповідати тільки одна точка A1, B1, C1 і т.д. Сукупність усіх проекцій цих точок і дає проекцію даного об'єкта на площині креслення.

Якщо проекціювальні промені паралельні між собою, таке проекціювання називається паралельним.

Якщо проекціювальні промені не перпендикулярні до площини проекцій, проекціювання називається косокутним чи похилим. В тому випадку, коли проекціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій - прямокутним або ортогональним.

Надалі буде використовуватися тільки паралельне, ортогональне проекціювання.



1.1 Епюр Монжа

Будь-яке креслення повинно бути оборотним. Пряма задача - будь-яку точку, що знаходиться в просторі, завжди можна cпроекціювати на площину проекції й одержати проекцію цієї точки. Обернена задача - за проекцією точки необхідно визначити її положення в просторі. Якщо дана тільки одна площина проекції, то одній проекції точки в просторі відповідаєнескінченна кількість точок. Виходить, одна проекція не визначає положення об'єкта в просторі. Отже, щоб зробити креслення оборотним, потрібні дві проекції точки.

Якщо горизонтальну площину проекційП1 повернути навколо осі Оx до суміщення в одну площину з площиною П2, то таке розгорнуте зображення називають епюром.

Метод ортогонального проекціювання на дві площини проекцій був запропонований французьким ученим Гаспаром Монжем, а тому метод названий методом Монжа, а отриманий епюр - епюром Монжа.

1.2 Проекціювання точки на три площини проекцій

Сукупність двох прямокутних проекцій на дві взаємно перпендикулярні площини дозволяє однозначно визначити форму і положення предмета у просторі. Однак в кресленніпри побудові зображень часто використовують три площини проекцій.

Нехай задані три взаємно-перпендикулярні площини проекцій, які утворюють прямий тригранний кут: П1 - горизонтальна, П2 - фронтальна і П3 - профільна площини проекцій;лінії Ох, Оу, Оz взаємного перетину площин проекцій - осі проекцій, а точка О - початок координат.В просторі задана точка А і потрібно побудувати її проекції на площини П1, П2 і П3. Для цього із точки А проводять проекціювальні промені АА1, АА2, АА3, перпендикулярні до площин проекцій, до перетину з ними. В результаті перетину отримують А1 - горизонтальну, А2 - фронтальну іА3 - профільну проекції точки А.

Використовувати таку просторову модель на плоскому кресленні незручно. Тому виконується розгортка площин проекцій. Якщо площини проекцій П1 і П3 повернути відповідно навколо осей Ох і Оzв напрямку, вказаному стрілками, до суміщення з площиною проекційП2, то отримаємо епюр, який містить у собі три проекції точки.

Часто положення точки в просторі задається її координатами. Координати точки у просторі записуютьА(х,у,z). Відстань від точки А до площини проекції П1 визначається координатою z, до площини проекціїП2 - координатою у, до площини проекції П3 - координатою х. Для побудови горизонтальної проекції точки необхідно знати координати ХА і УА. Побудова фронтальної проекції точки ведеться за координатами ХА і ZA, профільної проекції точки - за координатами УА і ZA . Пряма А1А2 називається вертикальною лінією зв'язку, А2А3 - горизонтальною лінією зв'язку.

Якщо одна з координат точки дорівнює нулю, то точка належить одній з площини проекцій. Наприклад, точка B належить площині П2 ; точка C належить площині П3 .

Якщо дві координати точки дорівнюють нулю, то точка належить осі проекцій. Наприклад, точка D знаходиться на осі Ох ; точка E знаходиться на осі Оу .

1.3 Точка в різних чвертях простору

Площинами проекцій П1 і П2 простір поділяється на чотири чверті (або квадранти) .

Для отримання епюра площину проекцій П1 повертаємо відносно осі Ох1,2за годинниковою стрілкою до суміщення із площиною П2. При цьому передня напівплощина П1 суміститься з нижньою напівплощиною П2, а задня - з верхньою.

Якщо точка знаходиться у перший чверті, то на епюрі її фронтальна проекція розміститься над віссю Ох1,2, а горизонтальна - під нею.

Якщо точка знаходиться у другій чверті, то на епюрі її проекції розмістяться над віссю Ох1,2.

Якщо точка знаходиться у третій чверті, то на епюрі її горизонтальна проекція розміститься над віссю Ох1,2, а фронтальна - під нею.

Якщо точка знаходиться у четвертій чверті, то горизонтальна і фронтальна проекція знаходяться під віссю Ох1,2.

1.4 Конкуруючі точки

Точки, які розташовані на одному проекціювальному промені називаються конкуруючими. За допомогою конкуруючих точок визначається видимість геометричних фігур.

Показано дві пари конкуруючих точок А і В, С і D. Точки А і В конкурують (збігаються) на П1, точка В невидима. Точки С і D конкурують на П2, точка D невидима. В дужках на епюрі зображають невидимі точки.

Тестидля самоконтролю

1. Точка А з координатами (0;0;8) знаходиться:

а) на площині П1;

б) на площині П2;

в) на осі Ох;

г) на осі Оz.

2. Креслення фронтально конкуруючих точок показане на рисунку…

1 2 3 4



2. ПРЯМА

Оскільки положення прямої в просторі визначається її точками, то для побудови прямої лінії необхідно побудувати проекції двох точок, які належать даній прямій. Такими точками є крайні точки відрізка прямої.

Одна проекція прямої не визначає положення прямої в просторі. В площині б можна провести кілька прямих. Їхні проекції можуть збігатися з проекцією прямої АВ на П1 .

Дві проекції прямої повною мірою визначають її положення у просторі.

2.1 Пряма загального положення

Пряма, яка не паралельна (не перпендикулярна) ні одній з площин проекцій називаєтьсяпрямою загального положення. Відрізок АВ займає загальне положення. На П1, П2 і П3 відрізок АВ не паралельний (не перпендикулярний) до осей координат. Така пряма не має натуральної величини і реальних кутів нахилу на основних площинах проекцій.

2.2 Прямі окремого положення

До прямих окремого положення відносяться прямі рівня і проекціювальні прямі.

2.2.1 Прямі рівня

Прямі рівня - це прямі, що паралельні одній з площин проекцій.

1. Горизонтальна пряма (горизонталь) паралельна П1, має реальні кути нахилу: до П2, до П3. Горизонтальна проекція h1 горизонталі має натуральну величину (н.в.).

2. Фронтальна пряма (фронталь) паралельна П2, має реальні кути нахилу до П1, до П3. Фронтальна проекція f2 фронталі має натуральну величину.

3. Профільна прямапаралельнаП3 , має реальні кути нахилу: до П1, до П2. Профільна проекція р3має натуральну величину.

2.2.2 Проекціювальні прямі

Прямі, що перпендикулярні до однієї з площин проекцій, мають назву проекціювальні.

1. Горизонтально-проекціювальна прямаперпендикулярнадо П1. Така пряма відображається на П1 в точку. На П2і П3 відрізок має натуральну величину [А2 В2] = [А3 В3] = н.в.

2. Фронтально-проекціювальна прямаперпендикулярнадо П2. Така пряма відображається на П2 в точку. На П1і П3 відрізок має натуральну величину [А1 В1] = [А3 В3] = н.в.

3. Профільно-проекціювальна прямаперпендикулярнадо П3. Така пряма відображається на П3 в точку. На П1і П2 відрізок має натуральну величину [А1 В1] = [А2 В2] = н.в.

2.3 Сліди прямої

Слідом прямої називається точкаперетинупрямої з площиною проекцій. Пряма mзадана відрізком AB, у якої точкаH - горизонтальний слід, точка F - фронтальний слід.

Для побудови горизонтального сліду прямої на епюрі необхідно продовжити фронтальну проекцію відрізка A2B2 до перетину з віссю Охв точці H2 (H2 - фронтальна проекція горизонтального сліду) і з отриманої точки провести вертикальну лінію зв'язку на продовженнягоризонтальної проекції відрізка A1B1. Там, де лінія зв'язку перетинає проекцію прямої m1 визначається точка H1 (H1 - горизонтальна проекція горизонтального сліду). Аналогічно виконується побудова фронтального сліду прямої m. Горизонтальну проекцію відрізка A1B1 продовжують до перетину з віссю Ох в точці F1 (F1 - горизонтальна проекція фронтального сліду) і з отриманої точки проводять вертикальну лінію зв'язку на продовження фронтальноїпроекції відрізка A2B2. Там, де лінія зв'язку перетинає фронтальну проекцію прямої m2 визначається точка F2 - фронтальна проекція фронтального сліду.

2.4 Точка і пряма

Розглянемо положення точки і прямої для з'ясування їх позиційних і деяких метричних властивостей.

Точка може лежати на прямій або знаходитися поза прямою. Якщо точка належить прямій, то проекції цієї точки знаходяться на однойменних проекціях прямої.

Для того, щоб встановити належність точки до будь якої прямої, іноді достатньо встановити належність двох проекцій точки відповідним проекціям прямої.

Точки D і К не лежать на заданій прямій. У точки D горизонтальна проекція не співпадає з горизонтальною проекцією прямоїl, у просторі точка D розташована перед прямою l. У точки К горизонтальна проекція розташована вище осі Ох, фронтальна - нижче осі Ох, тобто точка К знаходиться у третій чверті.

2.5 Взаємне положення прямих

Дві прямі у просторі можуть займати взаємне положення:

1. Дві прямі паралельні. Якщо дві прямі паралельні, то паралельні також їх однойменні проекції. Паралельність двох профільних прямих визначають за їхніми профільними проекціями.

2. Дві прямі перетинаються. Якщо прямі перетинаються, то перетинаються також їхні однойменні проекції. Проекції точки перетину знаходяться на одній лінії зв'язку .

3. Дві прямі мимобіжні.Якщо дві прямі не паралельні і не перетинаються між собою, то вони називаються мимобіжними. Ознакою мимобіжних прямих є наявність пар конкуруючих точок.

Тести для самоконтролю

1. Профільною прямою називається пряма:

а) паралельна до П3;

б) перпендикулярна до П3;

в) паралельна до П1;

г) паралельна до П2.

2. Профільно-проекціювальною прямою називається пряма:

а) перпендикулярна до П3;

б) паралельна до П2;

в) перпендикулярна до П1;

г) перпендикулярна до П2.

3. Фронтально-проекціювальною площиною називається площина:

а) перпендикулярна до П2;

б) паралельна до П2;

в) перпендикулярна до П1;

г) паралельна до П1.

4. Фронталлю називається пряма:

а) паралельна до П1;

б) паралельна до П2;

в) паралельна до П3;

г) перпендикулярна до П1.

5. Горизонтально-проекціювальною прямою називається пряма:

а) перпендикулярна до П1;

б) перпендикулярна до П2;

в) перпендикулярна до П3;

г) паралельна до П1.

6. Пряма належить площині, якщо вона:

а) має з нею дві спільні точки;

б) не має спільних точок;

в) паралельна до площини;

г) має одну спільну точку.

7. Креслення горизонталі показано на рисунку …

1 2 3 4

8. ВідрізокАВпроекціюється наП1 і П2без спотворення у випадку …

1 2 3 4



3. ПЛОЩИНА

3.1 Способи задання площин

Площину можна задати шістьома способами:

1. Трьома точками.

2. Точкою і прямою.

3. Двома паралельними прямими.

4. Двома прямими, що перетинаються.

5. Відсіком будь-якої форми (трикутник, багатокутник, плоска замкнена крива).

6. Слідами.

Приклади задання площини різними способами наведені на рисунках 3.3 … 3.8.

Слідомплощини називається лінія перетину площини з площиною проекції.

Позначення проекцій слідів:

- горизонтальна проекція

горизонтального сліду

- фронтальна проекція

горизонтального сліду

- горизонтальна проекція

фронтального сліду

-фронтальна проекція

фронтального сліду

Площини в просторі можуть займати різне положення відносно площин проекцій. Площини бувають загального положення і окремого положення. До площин окремого положення відносяться площини рівня і проекціювальні площини.



3.2 Площини загального положення

Площиною загального положення називається площина, яка не паралельна (не перпендикулярна) ні одній з площин проекцій.

3.3 Площини окремого положення

До площин окремого положення відносяться площини рівня і проекціювальні площини.

3.3.1 Площини рівня

Площини рівня - це площини, які паралельні одній з площин проекцій.

1. Площина паралельна П1називається горизонтальною. Горизонтальна площина в системі площин проекцій П1/П2відображається на П2в пряму лінію, паралельну осі Ох. На П1 має натуральну величину

2. Площина паралельна П2називається фронтальною. Фронтальна площина в системі площин проекцій П1/П2відображається на П1в пряму лінію, паралельну осі Ох. На П2 має натуральну величину

3. Площина паралельна П3називається профільною. Профільна площина відображається на П1 іП2 в прямі лінії, які паралельні осямОу і Оz. На П3 має натуральну величину.

3.3.2 Проекціювальні площини

Проекціювальні - називаються площини, що перпендикулярні до однієї з площин проекцій.

1. Площина перпендикулярна до П1 називається горизонтально-проекціювальною. Така площина відображається на П1 в пряму лінію і має реальні кути нахилу до П2 і П3

2. Площина перпендикулярна до П2 називається фронтально-проекціювальною. Така площина відображається на П2 в пряму лінію і має реальні кути нахилу до П1 і П3.

3. Площина перпендикулярна до П3 називається профільно-проекціювальною. Така площина відображається на П3 в пряму лінію і має реальні кути нахилу до П1 і П2.

Способи задання профільно-проекціювальної площини

1 Трьома точками

2 Точкою і прямою

3 Двома паралельними прямими

4 Двома прямими, що перетинаються

5 Трикутником

6 Слідами

Тести для самоконтролю

1. Фронтальною площиною називається площина:

а) паралельна до П1;

б) паралельна до П2;

в) паралельна до П3;

г) перпендикулярна до П1.

2. Площину можна задати:

а) прямою і точкою, що не лежить на прямій;

б) прямою і точкою, що лежить на прямій;

в) двома мимобіжними прямими;

г) двома точками.

3. Горизонтальна площина проекцій позначається:

а) П1;

б) П2;

в) П3;

г) П4.

4. Скільки існує способів завдання площини:

а)3;

б)4;

в)5;

г)6.

5. Фронтальна площина рівня задана на кресленні …

1 2 3 4



4. ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ

У нарисній геометрії розглядають дві групи задач: позиційні та метричні. Групу позиційних задач складають задачі: 1) на взаємний порядок геометричних фігур; 2) на взаємну належність геометричних фігур; 3) на взаємний перетин геометричних фігур.

4.1 Точка і пряма, що належать площині

Точка належить площині, якщо вона знаходиться на прямій, яка належить даній площині. Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що належать площині.

Алгоритм розв'язання задачі

1. Через точку М (М2) проводять пряму l (l2), що належить заданій площині (mn)

2. Визначають точки перетину прямої l з прямими m і nі будують горизонтальну проекцію прямої. Будують горизонтальну проекцію точки М1на l1.

4.2 Прямі рівня площини загального положення

Горизонталь площини - це пряма, яка належить площині і паралельна горизонтальній площині проекції П1. На фронтальній площині проекції П2 проекція горизонталі h2 завжди паралельна осі х1.2. Визначають точку перетину горизонталі зі стороною ВС: h2 В2 С2 = 12. Точку 1 проекціюють на П1, з'єднують з вершиною трикутника А1 і отримують горизонтальну проекцію горизонталі h1.

Фронталь площини - це пряма, яка належить площині і паралельна фронтальній площині проекції П2. Побудову фронталі починають на горизонтальній площині проекції. Горизонтальну проекцію фронталіf1 проводять в площині (mn) паралельно осі х1,2. Визначають точки перетину f1 з горизонтальними проекціями прямих m1 і n1:f1 m1 = 11,f1 n1 = 21. Точки 1 і 2 проекціюють на П2, з'єднують і отримають фронтальнупроекцію фронталі площиниf2.

Задача. Побудувати горизонтальну проекцію трикутника АВС, що належить площині.

Розв'язування. Горизонтальну проекцію трикутника АВС можна побудувати за допомогою прямих рівня, наприклад горизонталей. Через фронтальні проекції точок А2, В2і С2 проводять фронтальні проекції горизонталей h12, h22i h32 , потім будують горизонтальні проекції цих прямих. На горизонтальні проекції горизонталейh11, h21i h31 за допомогою вертикальних ліній зв'язку проекціюють горизонтальні проекції точокА1, В1і С1 , з'єднують їх і отримують горизонтальну проекцію трикутника.

4.3 Перетин прямої з площиною загального положення

Ця задача - одна з основних задач нарисної геометрії.

Алгоритм розв'язання задачі

1. Через задану пряму проводять допоміжну площину окремого положення.

2. Будують лінію перетину двох площин - заданої і допоміжної.

3. Визначають точку перетину прямої з площиною.

4. Визначають видимість прямої відносно площини за допомогою конкуруючих точок.

Показано просторову модель для розв'язання цієї типової задачі. Розглянемо приклад, де пряма а загального положення перетинає площину(АВС) загального положення. Через горизонтальнупроекцію прямої а1 проводять допоміжну площину окремого положення - горизонтально-проекціювальну П1. Будують лінію перетину двох площин DE: (АВС) = DE.Отриманий відрізок DE належить площині(АВС), тому шукана точка визначаєтьсяна перетині двох прямиха і DE, що належать площині: а DE = К. Видимість прямої а відносно площини(АВС) визначається за допомогою двох пар конкуруючих точок.Точки D і F конкурують на П1: D1 (F1), D В, F а. На П1 відрізок F1K1 проекції прямої а1 невидимий. Точки G і H конкурують на П2: H1 (G1), H а, G АС. На П2 відрізок F2K2 проекції прямої а2 - видимий.

4.4 Прямапаралельна площині

Пряма лінія паралельна площині, якщо вона паралельна прямій (будь-якій), що належить даній площині.

Задача. Побудувати фронтальну проекцію прямої с, що паралельна площині, яка задана паралельними прямими a і b -(ab).

Алгоритм розв'язання задачі

1. В площині(ab) будують пряму d, яка паралельна прямій c іперетинає пряміa і b в точках 1 і 2:

d1 a1 = 11, d1 b1 = 21;d2 a2 = 12, d2 b2 = 22d (аb).

2. На П2 будують фронтальну проекцію прямоїc2 паралельно d2

4.5 Перетин двох площин. Друга позиційна задача

Дві площини, які не збігаються, перетинаються між собою.

Дві площини перетинаються по прямій лінії, положення якої визначається двома точками. Необхідно знайти дві точки, спільні для обох площин і з'єднати їх.

1. Дві площини проекціювальні. Якщо перетинаються дві фронтально-проекціювальні площини, то лінія перетину буде фронтально-проекціювальна пряма m: m.

Таким чином, якщо перетинаються дві проекціювальні площини однієї назви, то лінія перетину - проекціювальна пряма. У цьому разі для побудови лінії перетину достатньо визначити положення однієї точки і знати напрямок лінії перетину.

2. Якщо одна площина проекціювальна, а друга - загального положення, то проекція лінії перетину площин збігається зі слідом проекціювальної площини.

Лінію перетину 1,2 знаходять на горизонтальній площині проекції П1 , там де горизонтальний слід 1 площиниперетинає горизонтальні проекції прямих a1і b1: 1 (a1b1 ) 1 = 11 ,21. Потім точки лінії перетину 1 і 2 проекціюють на відповідні проекції прямих a2і b2.

3. Якщо перетинаються площини загального положення, то лінію перетину знаходять способом допоміжних перерізів, які виконують за допомогою площин рівня або проекціювальних площин.

Алгоритм розв'язування задачі

1. Дві площини загального положення перетинають допоміжною площиною окремого положення.

2. Будують лінію перетину допоміжної площини з першою заданою площиною.

3. Будують лінію перетину допоміжної площини з другою заданою площиною.

4. Позначають точку перетину ліній.

5. Повторюють пункти 1-4 для другої допоміжної площини.

6. З'єднують дві точки, що побудовані, і отримують проекції лінії перетину.

Показано побудову лінії перетину двох площин загального положення, одна з яких задана паралельними прямими, друга - трикутником.

4.6 Паралельність двох площин

Дві площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини. Площина задана прямими а і b, що перетинаються,площиназадана прямими m і n, що перетинаються. Площини (а b) і( mn) паралельні, тому що пряма а площини паралельна прямій m площини , а пряма b площини паралельна прямійn площини .

4.7 Багатогранники

Об'єднанняскінченного числа багатокутників називається багатогранною поверхнею. Багатогранна поверхня називається простою, якщо усі її точки належать данимбагатокутникам або загальним сторонам двох багатокутників, або є вершинами багатогранних кутів, плоскими кутами яких служать кутицих багатокутників.

Багатокутники, що складають багатогранну поверхню, називаються її гранями,сторони багатокутників - ребрами, а вершини - вершинами багатогранної поверхні.

З усіх простих багатогранників практичний інтерес становлять піраміди та призми.

Пірамідою називають багатогранник, усі грані якого, крім однієї, мають спільну вершину. Оскільки всі бічні грані піраміди - трикутники, піраміда повністю визначається заданням її основи та вершини.

Призмою називають багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома паралельними площинами, не паралельними ребрам призми. Ці дві грані називаються основами призми, грані призматичної поверхні - бічними гранями, а її ребра - ребрами призми. Основами призми є рівні між собою багатокутники, бічні ребра призми дорівнюють одне одному. Якщо основи не паралельні між собою, призму називають зрізаною. Коли основами призми є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні, призму називають прямою, якщо ця умова не виконується - похилою.

Показано приклад багатогранника в трьох проекціях, а в таблиці 1 виконано дослідження цього багатогранника, тобто положення ребер і граней відносно площин проекцій.

Тести для самоконтролю

1. Точка належить площині якщо вона:

а) лежить на прямій, яка паралельна до цієї площини;

б) лежить на двох, що перетинаються й паралельні до цієї площини;

в) лежить на прямій, яка належить цій площині;

г) лежить на прямій, що перетинає цю площину.

2. Пряма належить площині, якщо вона:

а) має з нею дві спільні точки;

б) не має спільних точок;

в) паралельна до площини;

г) має одну спільну точку.

3.Точка А належить площині Г(а II b) у випадку …

1 2 3 4

4.8 Графічна робота № 1

Умова:

1. За двома заданими проекціями багатогранника (фронтальною та горизонтальною) побудувати третю (профільну).

2. Визначити положення ребер та граней багатогранника відносно площин проекцій та записати їх до таблиці.

3. Визначити взаємне положення ребер та граней багатогранника і також занести їх до таблиці.

4. Методом прямокутного трикутника побудувати натуральну величину ребра загального положення і визначити кути нахилу цього ребра до площин проекцій П1, П2, П3.

5. Побудувати сліди ребра загального положення на П1 та П2.

Мета завдання:

Навчитись за двома проекціями предмета (багатогранника) будувати третю, уявити його обємне зображення, вміти аналізувати положення ребер та граней, уміти будувати натуральну величину і кути нахилу до площин проекцій прямої загального положення, уміти будувати сліди прямої загального положення на площинах проекцій.

Послідовність виконання

1. Побудувати дві проекції багатогранника, позначити всі його вершини великими латинськими буквами А, В, С,... Побудувати третю проекцію за допомогою ліній зв'язку.

2. Визначити положення ребер багатогранника, кожне з яких являє собою відрізок прямої. Для цього необхідно вивчити тему «Пряма». Результати записати в таблицю.

3. Визначити положення граней багатогранника, кожна з яких являє собою площину. Для цього необхідно вивчити тему «Площина», познайомитись з епюрами площин загального та окремого положення. Результати необхідно теж записати до таблиці.

При аналізі прямих (ребер) і площин (граней) враховують, що кожна пряма і кожна площина може мати лише одну назву. Тому для самоконтролю необхідно порахувати скільки ребер та скільки граней має заданий багатогранник.

4. Визначити взаємне положення тієї чи іншої пари прямих (ребер) та площин (граней), враховуючи всі можливі варіанти: паралельності, перетину або мимобіжності. До таблиці записати лише по два ребра або дві грані.

Завдання для графічної роботи № 1 студент вибирає з таблиці за варіантом, який йому пропонує викладач.



5. КРИВІ ЛІНІЇ ТА ПОВЕРХНІ

5.1 Криві лінії

У нарисній геометрії криві лінії важливо розглядати як твірні кривих поверхонь. Крива лінія може бути утворена переміщенням точки у просторі, перетином кривих поверхонь площиною, взаємним перетином двох поверхонь. Криві лінії бувають плоскими і просторовими.

Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині, просторовими - криві лінії, всі точки яких не належать одній площині.

5.2 Класифікація кривих поверхонь

Поверхнею називають геометричне місце послідовних положень лінії (твірних), що переміщаються у просторі за якимось законом (напрямною).

Способи задання поверхонь:

1. Аналітичний 2. Каркасом 3. Кінематичний 4. Визначником.

Аналітичний спосіб задання поверхні - це задання поверхонь рівнянням. Цей спосіб вивчається в аналітичній геометрії.

Задання поверхні каркасом - це задання поверхні достатньо щільною мережею точок чи ліній, що належать цим поверхням.

Якщо каркас поверхні заданий точками, він називається точковим, якщо лініями, - лінійним.

Кінематичний спосіб задання поверхонь в основному вивчається в курсі нарисної геометрії.

Поверхня утворюється безупинним переміщенням твірної лінії в просторі.

Твірна лінія може бути: пряма і крива; плоска і просторова; закономірна і незакономірна. Твірна в процесі переміщення може зберігати чи змінювати свою форму. У залежності від виду твірної і характеру її переміщення всі поверхні поділяються на класи.

За виглядом твірноїповерхні поділяються на два класи:

прямолінійчаті - де твірною є пряма лінія;

криволінійчаті - де твірною є крива лінія.

За ознакою розгортання поверхні поділяються також на два класи:

розгортні - поверхні, що можуть бути точно сумісні з однією площиною без складок і розривів (конічні, циліндричні й інші); розгортними можуть бути тільки ті поверхні, в яких два безкінечно близьких положення твірних або паралельні між собою, або перетинаються.

нерозгортні - поверхні, які можна сумістити з однією площиною приблизно (сфера, еліпсоїд і т.д.).

За законами утворення:

закономірні - поверхні, які можна задати рівнянням; незакономірні - поверхні, які точним рівнянням описати не можна.

За способом утворення: поверхні переносу; поверхні обертання; гвинтові поверхні.

Крім графічного способу поверхню можна задати визначником.

Визначником називається сукупність параметрів, що відрізняють дану поверхню від усіх інших. Визначник має геометричну й алгоритмічну частини Ф[(Г),(А)].

Геометричною частиною визначника поверхні є геометричні фігури, за допомогою яких зв'язуються параметри множини ліній простору. Алгоритмічна частина характеризує закон руху твірної.

Для більшої наочності ряд поверхонь звичайно задаються обрисом.

Обрис поверхні - це проекція контурної лінії поверхні, тобто лінія, що обмежує дану поверхню на кресленні і розділяє видиму її частину від невидимої.



5.3 Циліндрична поверхня

Циліндричною поверхнею називається поверхня, яка утворена переміщенням прямої твірної по кривій напрямній. Всі твірні паралельні між собою.

Визначник циліндричної поверхні: Ф = [(l,m) (l m;lk || l1)],

де:l -твірна, пряма лінія,

m - напрямна, крива просторова лінія,

S- невласна точка.

5.4 Конічна поверхня

Конічна поверхня утворюється шляхом переміщення прямої твірної лінії по кривій напрямній. Всі твірні перетинаються в одній точці. Ця точка називається вершиною конічної поверхні (власна точка).

Визначник конічної поверхні:Ф = [(l,m,S)(l m; l S )],

де:l - твірна, пряма лінія,

m - напрямна, крива лінія,

S - вершина (власна точка).

5.5 Поверхня з ребром звороту

Поверхня з ребром звороту (торс) утворюється переміщенням твірної, яка у всіх своїх положеннях є дотичною до напрямної (просторової кривої лінії). Визначникторсової поверхні: Ф = [(l,m) (l m)],

де:l - твірна, пряма лінія,

m - напрямна, крива лінія.

Крива напрямна називається ребром звороту.



5.6 Поверхні з двома напрямними лініями

Ця група поверхонь має дві напрямні. Твірна (пряма лінія) безперервно переміщується по двох напрямних і залишається паралельною до площини, яка називається площиною паралелізму. Площиною паралелізму може бути проекціювальна площина, або площина рівня, а також площина проекції.Ця група поверхонь називається “Поверхні з площиною паралелізму”. Їх ще називають поверхнями Каталана.

Є три поверхні Каталана:

- коса площина (гіперболічний параболоїд),

- коноїд,

- циліндроїд.

Визначник поверхонь Каталана:Ф = [(l,m,n, ) (l m,n; l || )],

де:l - твірна, пряма лінія,

m, n - напрямні, криві або прямі лінії, площинапаралелізму.

Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У цієї поверхні обидві напрямніm іn мимобіжні прямі лінії.

Коноїд

Коноїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У коноїда одна напрямна - пряма лінія, друга напрямна - крива лінія.

Циліндроїд

Циліндроїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму.У циліндроїда обидві напрямні - криві лінії.

5.7 Поверхні обертання

Прямолінійчаті поверхні обертання.

Прямолінійчатою поверхнею обертання називається поверхня утворена обертанням твірної (прямої лінії) навколо нерухомої осі.

Розглянемо три випадки:

1. Твірна пряма lта вісь і перетинаються - круговийконус

2. Твірна прямаlпаралельна до осі обертання - круговий циліндр.

3. Твірна пряма l мимобіжна з віссю обертання і - однополосний гіперболоїд обертання.

Криволінійчаті поверхні обертання

У криволінійчатих поверхонь твірна - крива лінія.

Поверхні, які утворені обертанням твірної лінії навколо нерухомої осі, називають поверхнями обертання. Твірна може бути кривою як плоскою, так і просторовою.

Визначник поверхонь обертання:Ф = [(l,i) (l i)]

де: l - твірна (пряма або крива лінія),

i - вісь обертання

До поверхонь обертання відносяться:

1. Сфера.

2. Тор.

3. Еліпсоїд обертання.

4. Параболоїд обертання.

5. Гіперболоїд обертання.

Кола на поверхні обертання називаються паралелями. Паралель утворюється площиною, яка перетинає поверхню перпендикулярно до осі обертання. При обертанні твірної кожна точка на ній описує коло з центром на осі обертанняі.

Паралель, діаметр якої більший за діаметр інших паралелей називається екватором.

Паралель, діаметр якої менший за діаметри інших паралелейназивається горлом.

У загальному випадку поверхня обертання може мати кілька екваторів і горловин. Площини, що проходять через вісь обертання, називаються меридіональними, а лінії, по яких вони перетинають поверхню - меридіанами .

Меридіональна площина У, паралельна площині проекцій, називається головною меридіональною площиною, а лінія її перетину з поверхнею обертання - головним меридіаном.

Наведено приклад поверхні обертання загального вигляду, де побудовані ці лінії, а такожпобудована крива лінія l на цієї поверхні. Окремі точки А, E, B, N, C, D, що належать поверхні, будують за допомогою паралелей, з'єднують і отримують криву лінію l.

Розглянемо деякі поверхні обертання:

1. Сфера.

Поверхня сфери утворюється при обертанні кола навколо осі (діаметра). Сферу можна розглядати як окремий випадок тора.

2. Тор.

Поверхня тора утворюється при обертанні твірного кола навколо осіі. Відомі два види тора:

а) відкритий - твірне коло не перетинає ось обертання

б) закритий - твірне коло перетинається з віссю обертання

3. Еліпсоїд обертання.

Поверхня еліпсоїда обертання утворюється при обертанні еліпса навколо його осі.

4. Параболоїд обертання.

Поверхня параболоїда обертання утворюється при обертанні параболи навколо її осі.

5. Гіперболоїд обертання.

Однополосний гіперболоїд обертання утворюється при обертанні гіперболи навколо її уявної осі а двополосний - при обертанні гіперболи навколо її дійсної осі.



5.8 Точка і лінія на кривій поверхні

Точка належить поверхні, якщо вона лежить на лінії (прямій або кривій), яка належить цій поверхні. Для побудови точки A на криволінійчатій поверхні обертання, вісь обертання якої перпендикулярна до П1, через фронтальну проекцію точки проводять паралель. На П2 ця паралель відображається в пряму лінію перпендикулярну до осі обертання. Потім паралель проекціюють на П1, де вона зображається у вигляді кола. Радіус паралелі R вимірюють від осі обертання до контура поверхні. Із фронтальної проекції точки А проводять вертикальну лінію зв'язку на горизонтальну проекцію паралеліі отримують проекцію точки А1 на П1. На прямолінійчатих поверхнях точки будують за допомогою прямих ліній, що утворюють поверхню. Показано приклад побудови точки Вна поверхні прямого кругового конуса. Через фронтальну проекцію точки В2 проводять твірну лінію, яка проходить через вершину S2 і перетинає основу конуса (коло) в точці М2. Потім будують горизонтальну проекцію твірноїS1 М1 і знаходять на неї горизонтальну проекцію точкиВ1.

Показано приклад побудови точок на поверхні нахиленого конуса (загального вигляду). Точки 1, 2, 3, 4 будують за допомогою прямих твірних ліній, які проходять через вершину конуса і перетинають основу - напрямну криву лінію (коло).

Показано приклад побудови точок 1, 2, 3, 4 на поверхні нахиленого циліндра. Проекції точок також будують за допомогою прямих твірних ліній, які паралельні між собою.

Показано приклад побудови точок на криволінійчатих поверхнях, які мають назву відкритий торі закритий тор.

Тести для самоконтролю

1. Визначником Ф{й, m[(й//й)? m]}задається поверхня:

а) конічна;

б) циліндрична;

в) коноїд;

г) гвинтова поверхня.

2. Проекціі проеціюючої поверхні зображено на кресленні …

1 2 3 4

3. ТочкаАналежить даній поверхні у випадку …

1 2 3 4

4. Даний предмет описують … поверхн(і,ею) (включаючи площини)

1 2 3 4



СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Кормановський С. І. Конспект лекцій з інженерної графіки: Конспект лекцій / Кормановський С. І. - Вінниця: ВНТУ, 2009. - 116 с.

2. Кормановський С. І. Комп'ютерна графіка та моделювання. Графічні зображення схем: практикум / [Кормановський С. І., Козачко О. М., Слободянюк О. В.] - Вінниця: ВНТУ, 2010. - 110 с.

3. Кормановський С. І. Інженерна та комп'ютерна графіка: посібник / [Кормановський С. І., Слободянюк О.В., Пащенко В. Н.] - Вінниця: ВНТУ, 2006. - 114 с.

4. Вітюк О. П. Креслення електричних схем та друкованих плат: Навчальний посібник / [Вітюк О. П., Колесницький О. К., Кормановський С. І., Пащенко В. Н., Василецький С. А.] - Вінниця: ВДТУ, 2001. - 108 с.

5. Михайленко В. Є. Інженерна графіка: Підручник/ Михайленко В. Є.,Ванін В. В., Ковальов С. М.; за ред. В. Є. Михайленка. - К.: “Каравела”, 2008. - 272 с.

6. Збірник задач з інженерної та комп'ютерної графіки: Навчальний посібник/ [Михайленко В. Є., Найдиш В. М., Підкоритов А. М.,Скидан І. А.]; за ред. В. Є. Михайленка. - К.: Вища шк., 2002. - 300 с.

7. Михайленко В. Є.Інженерна та комп'ютерна графіка:Підручник/ [Михайленко В. Є., Найдиш В. М., Підкоритов А. М., Скидан І. А.];за ред. В. Є. Михайленка. - К.: Вища шк., 2001. - 350 с.

8. Нарисна геометрія: Підручник / [Михайленко В. Є., Євстифєєв М. Ф., Ковальов С. М., Кащенко О. В.];за ред. В. Є. Михайленка. - К.: Вища шк., 1993. - 271 с.

9. Павлова А. А. Начертательная геометрия: Учебник /Павлова А. А. - М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2001. - 304 с.

10. Методичні вказівки до виконання графічних робіт з нарисної геометрії. /[Вітюк О. П., Кормановський С. І., Пащенко В. Н.] - Вінниця ВДТУ, 1994. - 64 c.

11. Начертательная геометрия:Учеб. для вузов - 6 изд. / [Крылов Н. Н., Иконникова Г. С.,Николаев В. Л.,Лаврухина Н. М.];Под ред.

Н. Н. Крылова. - М.: Высш. шк., 1990. - 240 с.

12. Бубырь Ю. В. Начертательная геометрия: Учебно-методические материалы для самостоятельного изучения курса / Бубырь Ю. В.,Пресис А. М.- Харьков : УЗПИ, 1989. - 306 с.

13. Лагерь А. И. Инженерная графика: Учеб. для инж.-техн. спец. вузов/ Лагерь А. И., Колесникова Э. А.- М.: Высш. шк., 1985. - 176 с.

Размещено на Allbest.ru

...