Динаміка точки

H1cos(p1t) +H2sin( p2t)

Визначити рівняння руху вантажу Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо коефіцієнт тертя для вантажу Р до похилої площини рівний f .

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.18 по варіантах.



Рисунок Д3.18

Таблиця Д3.18

Задача Д3.19

На похилій площині з кутом до горизонту розташований вантаж Р мaсою m, який закріплено до двох пружин жорсткостями с1 і с2 і до демпфера D, що показано на рис. Д3.19. Система знаходиться в положенні статичної рівноваги . При русі тіла демпфер D створює силу опору залежну від швидкості: R = ?V. В початковий момент часу тілу Р надають початкове зміщення xo і початкову швидкість Vo , після чого воно рухається вздовж осі х .

Визначити рівняння руху вантажу Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо коефіцієнт тертя для вантажу Р до площини рівний f .

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.19 по варі-антах.

Рисунок Д3.19

Таблиця Д3.19

Задача Д3.20

Вантаж Р1 знаходиться на невагомій платформі В, яка підтримується системою пружин жорсткостями с1, с2 і с3 як показано на рис. Д3.20. При вільних коливаннях вантажу Р1 циклічна частота рівна k , а в положенні статичної рівноваги платформа В зміщена на ст .

В початковий момент часу на вантаж Р1 кладуть вантаж Р2, при цьому вони набувають початкову швидкість Vo у вертикальному напрямку. Маси вантажів Р1 і Р2 складають відношення : m2/m1 = n. Знайти рівняння коливного руху вантажів Р1 і Р2 як одного тіла, по-будувати графік залежності кординати від часу, визначити амплітуду ( А ), період ( Т ) та початкову фазу ( o ), якщо платформа В рухається поступально, а опором середовища нехтуємо.

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.20 по варі-антах.

Рисунок Д3.20

Таблиця Д3.20

Задача Д3.21

До жорсткого невагомого стержня D, підвішеного до чотирьох вертикальних пружин жорсткостями с1 , с2 і с3 , як показано на рис. Д3.21, прикріплено вантаж Р1, а до нього вантаж Р2 . В початковий момент часу вантаж Р2 миттєво від'єднують від вантажу Р1 і надають вантажу Р1 початкову швидкість V0 , направлену по вертикалї.

Вважаючи, що стержень D переміщується поступально, знайти рівняння руху вантажу Р1 , а також ті величини, які вказані в таблиці Д3.21, де позначено: А - амплітуда коливань, k - циклічна частота,

Т - період коливань. Побудувати графік залежності координати від часу.

Задані параметри і величини, які потрібно знайти, знаходяться в таблиці Д3.21 по варіантах.

Рисунок Д3.21



Таблиця Д3.21

Задача Д3.22

На похилій площині, яка утворює кут з горизонтом, розміщені два вантажі Р і Р2 , що прикріплені до системи пружин жорсткостями с1 , с2 і с3 як показано на рис. Д3.22. В деякий момент часу ван-таж Р2 миттєво від'єднують від вантажу Р1 і надають йому початкову швидкість V0 , після чого він рухається по площині, де тертя відсутнє. Знайти рівняння руху вантажу Р1, побудувати графік залежності координати від часу.

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.22 по варі-антах, де m1, m2 маси вантажів Р1 і Р2, відповідно, А - амплітуда коливань, k - циклічна частота, Т - період коливань.



Рисунок Д3.22

Таблиця Д3.22

Задача Д3.23

До невагомого стержня В , прикріпленого до трьох пружин жорсткостями с1 , с2 , с3 і демпфера D, підвішено вантажі Р і Р2 , рис. Д3.23, масами m1, m2, відповідно. В деякий момент часу вантаж Р2 миттєво від'єднують від вантажу Р1 і надають йому початкову швидкість V0 . Визначити рівняння руху вантажу Р1, побудувати графік залежності координати від часу, якщо стержень B рухається поступально, а демпфер D створює силу опору, яка пропорційна швидкості R = V .

Дані для остаточних розрахунків знаходяться в таблиці Д3.23 по варіантах, де А - амплітуда коливань, k - циклічна частота, Т - період затухаючих коливань.

Рисунок Д3.23

Таблиця Д3.23

Задача Д3.24

До вертикального повзуна В прикріплено систему з трьох пружин жорсткостями с1 і с2 , а до неї підвішені вантажі Р і Р2 масами m1 і m2, відповідно, рис. Д3.24 . В деякий момент часу вантаж Р2 миттєво від'єднують від вантажу Р, при цьому вантаж Р отримує швидкість Vo , а повзун В починає виконувати вертикальний рух за законом

H1 sin(p1t) + H2 sin(p2t)

Визначити рівняння руху вантажу Р1 і побудувати графік залежності координати від часу. Масою з'єднувального стержня D нехтуємо.

Дані для остаточних розрахунків в таблиці Д3.24 по варіантах.

Рисунок Д3.24

Таблиця Д3.24

Задача Д3.25

На горизонтальну платформу D1 помістили тіло Р масою m , яке приєднали до системи пружин жорсткостями с1 і с2, причому на пружини жорсткістю с1 діє в горизонтальному напрямку повзун В, що показано на рис. Д3.25. В деякий момент часу тілу Р надають початкову швидкість V0, а повзун В починає виконувати рух за законом

H1 sin(p1t) + H2 sin(p2t).

Визначити рівняння руху тіла Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо тіла D1 і D2 вважаються невагомими, рухаються поступально, а тертя відсутнє.

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.25 по варі-антах.

Рисунок Д3.25

Таблиця Д3.25



Задача Д3.26

Тіло Р масою m приєднано до горизонтальних пружин жорсткостями с1, с2 , с3 і демпфера D за допомогою невагомого стержня В, як показано на рис. Д3.26. При русі тіла Р демпфер створює силу опору R , яка має напрямок протилежний до швидкості V і описується залежністю R = V, де коефіцієнт в'язкості рідини, яка міститься в демпфері. В початковий момент часу тілу Р надають початкову швидкість V0 і зміщення xo , після чого воно виконує рух вздовж горизонтальної осі x.

Визначити рівняння руху тіла Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо стержень В рухається поступально, відхилення від положення рівноваги малі і горизонтальні.

Дані для остаточних розрахунків в таблиці Д3.26 по варіантах.

Рисунок Д3.26



Таблиця Д3.26

Задача Д3.27

Тіло Р масою m ковзає по похилій гладенькій площині з кутом до горизонту після чого падає на невагому платформу В, яка опирається на пружини жорсткостями с1, с2, с3 і демпфер D, як показано на рис. Д3.27. На початку руху тілу Р надають початкову швидкість U в напрямку площини і воно до дотику з платформою В проходить шлях l. При русі тіла Р разом з платформою демпфер D створює силу опору R , яка має напрямок протилежний до швидкості V і описується залежністю R = V, де коефіцієнт в'язкості рідини, яка міститься в демпфері.

Визначити рівняння руху тіла Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо платформа В рухається поступально, а удар тіла Р до платформи В абсолютно непружний.

Дані для остаточних розрахунків в таблиці Д3.27 по варіантах.



Рисунок Д3.27

Таблиця Д3.27

Задача Д3.28

На похилій площині з кутом 30o до горизонту розташований вантаж Р мaсою m, який закріплено до нижнього кінця системи пружин с1 , с2 і с3, а до верхнього кінця пружин прикріплено повзун В, що показано на рис. Д3.28. Система знаходиться в положенні статичної рівноваги. В деякий момент часу повзун В починає вздовж похилої площини рух за законом

H1 sin(p1t) + H2 cos(p2t).



Визначити рівняння руху вантажу Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо тертя відсутнє, а масою пластини D, яка рухається поступально, нехтуємо.

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.28 по варі-антах.

Рисунок Д3.28

Таблиця Д3.28

Задача Д3.29

На похилій площині з кутом до горизонту розташований вантаж Р мaсою m, який закріплено до верхнього кінця системи пружин с1 , с2 , с3 і до демпфера D, що показано на рис. Д3.29. Система знаходиться в положенні статичної рівноваги . При русі тіла демпфер D створює силу опору залежну від швидкості: R = V. В початковий момент часу тілу Р надають початкове зміщення xo і початкову швидкість Vo , після чого воно рухається вздовж осі х .

Визначити рівняння руху вантажу Р і побудувати графік залежності координати від часу, якщо тертя відсутнє, а масою тіла В, яке рухається поступально, нехтуємо.

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.29 по варіантах.

Рисунок Д3.29

Таблиця Д3.29



Задача Д3.30

Два вантажі Р1 і Р2 масами m1 і m2 , відповідно, знаходяться на невагомій платформі В, яка підтримується системою пружин жорсткостями с1, с2 , с3 і c4 як показано на рис. Д3.30. Маси вантажів Р1 і Р2 складають відношення : m1/m2 = n , а при вільних коливаннях вказаних вантажів циклічна частота рівна k. В положенні статичної рівноваги платформа В зміщена на ст .

В початковий момент часу вантаж Р2 знімають, при цьому вантаж Р1 набуває початкову швидкість Vo в вертикальному напрямку. Знайти рівняння коливного руху вантажу Р1, побудувати графік залежності координати від часу, визначити амплітуду ( А ), період ( Т ) та початкову фазу ( o ), якщо платформа В рухається поступально, а опором середовища нехтуємо.

Дані для остаточних розрахунків містяться в таблиці Д3.30 по варіантах.

Рисунок Д3.30



Таблиця Д3.30

2.6 Приклад розв'язування задачі Д3

До двох вертикальних послідовно з'єднаних пружин жорсткостями с1 і с2 і паралельного до них демпфера Д підвішено вантаж масою m1, що показано на рис. Д3.31. В початковий момент часу до вантажу масою m1, який знаходиться в стані статичної рівноваги, миттєво приєднують вантаж масою m2 так, що обидва вантажі як одне ціле набувають вертикальну швидкість Vo направлену вниз. Під час руху вантажів демпфер Д створює силу опору пропорційну швидкості:

R = V.

Визначити залежність координати вантажів від часу x = x( t ), по-будувати графік цієї залежності. В остаточних розрахунках прийняти m1 = 20 кг , m2 = 12 кг, с1 = 10 Н/см , с2 = 40 Н/см , ?= 192 Н с/м ,

Vo = 2 м/с .

Розв'язання

Знайдемо жорсткість с пружини, яка буде еквівалентною пружинам з жорсткістю с1 і с2 . При послідовному з'єднанні величина с рівна

. (3.12)

Покажемо на рис.Д3.32 поряд з рисунком Д3.31 розрахункову схему сил що діють на систему вантажів m1 і m2 в довільний момент руху.

Рис.Д3.31 Рис.Д3.32

Сили, що зображені на рис. Д3.32 означають: Р = mg - сумарна вага двох вантажів, m = m1 + m2 , R = ?V - сила опору демпфера,

F = c ( x + ст) - сила реакції пружини.

Складаємо диференціальне рівняння руху точки сумарної маси m в проекції на вісь Ох .



. (3.13)

Тоді диференціальне рівняння (3.1) зводиться до вигляду

. (3.14)

В положенні статичної рівноваги виконується mg = cст (3.15)

Після спрощення із (3.14) отримуємо

. (3.17)

де , а с визначається формулою (3.12).

Знайдемо числові значення коефіцієнтів при і х.

, .

З числовими коефіцієнтами диференціальне рівняння (3.17) запишеться

. (3.18)

Порівнюючи (3.18) і (3.3) встановлюємо що n = 3, k = 5, тобто k > n.

За зразком (3.7) запишемо розв'язок для (3.18) попередньо встановивши, що

,

. (3.20)

Знайдемо похідну від (3.20) і використаємо для знаходження сталих інтегрування С1 і С2 початкові умови:

при t = 0 .

.

Відносно С1 і С2 одержуємо систему рівнянь

-0,147 = 0 + C2

2 = -3C2 +4C1 ,

звідки С1 = 0,389м = 38,9 см, С2 = -0,147м = -14,7см .

Підставляючи С1 і С2 в (3.20) одержуємо шукане рівняння руху

. (3.21)



Рис. Д3.33

На рис. Д3.33 наведено графік залежності (3.21), побудований за допомогою програми EXEL .

Функція (3.21) та її графік на рис. Д3.33 свідчать про те, що вантажі здійснюють затухаючі коливання.

2.7 Дослідження руху точки під дією сил залежних від часу і швидкості

Важке тіло D масою m рухається по трубці АВ, а потім по трубці ВС. Точки А, В, С розташовані в одній вертикальній площині, положення ділянок АВ і ВС визначається кутами, варіанти завдань від 1 до 30 зображені на рис. Д4.1 - Д4.5.

Тіло D, одержавши в точці А початкову швидкість Vo , на ділянці АВ рухається під дією постійної сили F і сили опору середовища, яка залежить від швидкості за законом R = V + V2, проходить шлях АВ = l за час і досягає в точці В швидкості VB. В точці В тіло D переходить на ділянку ВС зі швидкістю VB, яка змінює напрямок не змінюючи величину. На ділянці ВС на тіло D діє сила тертя, для якої заданий коефіцієнт тертя f=0,1, і змінна сила H = =H(t), аналітичний вигляд якої записаний поряд з рисунками.

Вважаючи тіло D матеріальною точкою, визначити залежності пройденого шляху від часу x = x(t) та швидкості від часу V = V(t) на ділянці ВС, побудувати графіки таких залежностей.

В остаточних розрахунках прийняти значення величин, що задані по варіантах в таблиці Д4.1.

Таблиця Д4.1



Рисунок Д4.1



Рисунок Д4.2



Рисунок Д4.3



Рисунок Д4.4



Рисунок Д4.5



2.8 Приклад розв'язування задачі Д4

Умова задачі. Точка D масою m = 0,5кг починає рухатись по трубці АВ з початковою швидкістю Vo= 10м/с, де на неї крім сили ваги діє постійна сила F = 10Н і сила опору пропорційна квадрату швидкості R=0,8 V2.. Точка D проходить шлях АВ = l = 1м і в точці В потрапляє на ділянку ВС, де на неї крім ваги діє сила тертя з коефіцієнтом тертя f = 0,1 і змінна сила H = 40sin(t). Положення ділянок АВ і ВС та напрямки сил F і H показано на рис. Д4.6.

Рис. Д4.6

Знайти шлях як функцію від часу для точки D на ділянці ВС x(t) та залежність швидкості від часу V(t) на цій же ділянці. Побудувати графіки цих залежностей.

Розв'язання. Складаємо диференціальне рівняння руху точки D на ділянці АВ. Зображаємо сили, що діють на точку D на цій ділянці, і показуємо їх на рис. Д4.7.



Рис. Д4.7

Застосовуємо диференціальне рівняння руху точки, яке в проекції на вісь х має вигляд

. (4.1)

Знаходимо суму проекцій сил на вісь x

.

Тому отримуємо

. (4.2)

Переходимо в диференціальному рівнянні (4.2) від змінної t до змінної x. Цей перехід обумовлений тим, що в умові задачі дано, що рухома точка D досягає певної швидкості в точці В після того, як вона пройшла шлях АВ.

. (4.3)



Розділимо змінні і запишемо інтеграл

, звідки отримуємо

. (4.4)

Початковою умовою для цього інтеграла буде при x = 0,

тому .

Тоді інтеграл (4.3) має остаточний вигляд

. (4.5)

При умові, що х=АВ = l = 1м маємо, що V = VB . З виразу (4.5) знаходимо

м/с . (4.6)

Складаємо диференціальне рівняння руху точки D на ділянці ВС. Вказуємо сили, які діють на точку і показуємо їх на рисунку Д4.8.

Знаходимо суму проекцій сил на вісь Bx.

,

де .

Підставляємо її в рівняння (4.1)



.

Рис.Д4.8

Після підстановки даних умови одержуємо диференціальне рівняння руху точки D на ділянці ВС.

. (4.7)

Звідки записуємо інтеграл

.

Після інтегрування одержуємо

.

Початковою умовою для цього інтеграла буде при t = 0, тому стала інтегрування С3 рівна 

.

Остаточно перший інтеграл диференціального рівняння (4.7) буде

. (4.8)

Знаходимо залежність координати x від часу. Оскільки , тому

.

Після інтегрування одержуємо

.

Початковою умовою для цього інтеграла буде x = 0 при t = 0 , тому

С4 =0. Остаточно залежність x(t) має вигляд:

. (4.9)

Числові значення залежності шляху від часу x(t) і швидкості від часу V(t) одержуються за формулами (4.9) і (4.8). Графіки вказаних функцій побудовані в програмі EXEL наведені на рисунках Д4.9 і Д4.10.



Рис. Д4.9

Рис. Д4.10



Література

1. Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник. - К.: Техніка, 2002. 512 с. - ISBN 966-575-164-0.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для техн. вузов / А. А.Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфзон и др.; под редакцией А. А. Яблонского.-4-е изд. Перераб. и дополн. - М.: ВШ, 1985. - 367 с.

3. Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания. Под ред. С. М. Тарга - 4-е изд. - М.: Высш. шк., 1989. -111с.

4. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 798 с.

5. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы Перевод с англ. Н. В. Леви. Изд. второе. „Наука”, Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1966. - 228 с.

6. Яскілка М. Б. Збірник завдань для розрахунково-графічних робіт з теоретичної механіки. Посібник. - К.: Вища школа: Веселка, 1999. - 351 с. - ISBN 5-11-004833-9.

7. Теоретична механіка: Збірник задач/О. С. Апостолюк, В. М. Воробйов, Д .І. Ільчишина та ін.; За ред. М. А. Павловського. - К.: Техніка, 2007. - 400с. - ISBN 966-575-059-3.



Додаток

Словник найбільш вживаних термінів

Активні сили force activity

Амплітуда amplitude

Варіант version

Відстань distance

Віртуальні переміщення virtual move

Вектор vector

Вертикаль vertical line

Горизонт horizon

Графік graph

Деформація deformation

Ділянка district

Закон law

Збурення perturbation

Звільнення від в'язей liberation from tie

Зусилля в опорах effort in the bearing

Ковзання slip

Коефіцієнт тертя friction coefficient

Координата coordinate

Кулька ( точка) point

Кут corner

Метод кінетостатики cinetostatics metod

Момент сил інерції moment of force inertia

Напрямок руху direction motion

Натуральні осі natural axle

Натяг паса force belt

Невільна матеріальна точка constrained material point

Нездеформована пружина undeformation spring

Однорідне тіло uniformitu bodi

Опір рідини liquid resistance

Параметр parameter

Період period

Перешкода obstacle

Перпенликулярно perpendicularly

Повітря air

Постійна швидкість constant speed

Поступально translational movelment

Початкова швидкість elementary speed

Площина plane

Прискорення acceleranion

Радіус інерції radius inertia

Реакція ansmer

Реакції в'язей force tie

Результат result

Рідина liquid

Рівняння equation

Рух motion

Сила Архімеда force of Archimad

Сила опору force resistance

Сила тертя force friction

Сила тяжіння force gravity

Стержень pivot

Стійкість steadfastness

Східчастий шків stpped pulley

Таблиця table

Траєкторія trajektory

Трос rope

Узагальнена координата generalize coordinate

Циліндричний шарнір immovable bearing

Центр мас centr of mass

Циклічна частота frequency cyclical

Час time

Частота frequency

Швидкість speed

Шнур flex (string)

Шорстка поверхня not smoothly surface

Размещено на Allbest.ru

...